Álgebra de doble Steenrod

En topología algebraica , a través de una operación algebraica (dualización), existe un álgebra conmutativa asociada ^{[ 1 ]} de las álgebras de Steenrod no conmutativas llamada álgebra dual de Steenrod . Esta álgebra dual tiene una serie de beneficios sorprendentes, como ser conmutativa y proporcionar herramientas técnicas para calcular la secuencia espectral de Adams en muchos casos (como $\pi _{*}(MU)$ ^{[ 2 ]}^{: 61–62}) con mucha facilidad.

Definición

Recordemos ^{[ 2 ]}^{: 59} que el álgebra de Steenrod ${\mathcal {A}}_{p}^{*}$ (también denotado ${\mathcal {A}}^{*}$ ) es un álgebra de Hopf graduada no conmutativa que es cocommutativa, lo que significa que su comultiplicación es cocommutativa. Esto implica que si tomamos el álgebra de Hopf dual, denotada ${\mathcal {A}}_{p,*}$ o simplemente ${\mathcal {A}}_{*}$ Entonces, esto da como resultado un álgebra graduada-conmutativa que tiene una comultiplicación no conmutativa. Podemos resumir esta dualidad dualizando un diagrama conmutativo de la estructura del álgebra de Hopf de Steenrod:

${\mathcal {A}}_{p}^{*}\xrightarrow {\psi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}\otimes {\mathcal {A}}_{p}^{*}\xrightarrow {\phi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}$

Si dualizamos obtenemos mapas

${\mathcal {A}}_{p,*}\xleftarrow {\psi _{*}} {\mathcal {A}}_{p,*}\otimes {\mathcal {A}}_{p,*}\xleftarrow {\phi _{*}} {\mathcal {A}}_{p,*}$

dando los mapas de estructura principales para el álgebra de Hopf dual. Resulta que hay un buen teorema de estructura para el álgebra de Hopf dual, separada por si el primo es $2$ o extraño.

Caso de p=2

En este caso, el álgebra dual de Steenrod es un álgebra polinómica conmutativa graduada. ${\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /2[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]$ donde el grado $\deg(\xi _ {n})=2^{n}-1$ . Entonces, el mapa de coproductos viene dado por

${\displaystyle \Delta$

envío

$\Delta \xi _{n}=\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{2^{i}}\otimes \xi _{i}$

dónde $\xi _{0}=1$ .

Caso general de p > 2

Para todos los demás números primos, el álgebra dual de Steenrod es ligeramente más compleja e involucra un álgebra exterior conmutativa graduada además de un álgebra polinómica conmutativa graduada. Si consideramos $\Lambda (x,y)$ denota un álgebra exterior sobre $\mathbb {Z} /p$ con generadores $x$ y $y$ , entonces el álgebra dual de Steenrod tiene la presentación

${\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /p[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]\otimes \Lambda (\tau _{0},\tau _{1},\ldots )$

dónde

${\begin{aligned}\deg(\xi _{n})&=2(p^{n}-1)\\\deg(\tau _{n})&=2p^{n}-1\end{aligned}}$

Además, tiene la comultiplicación ${\displaystyle \Delta$ definido por

${\begin{aligned}\Delta (\xi _{n})&=\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}\\\Delta (\tau _{n})&=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}\end{aligned}}$

¿Dónde de nuevo? $\xi _{0}=1$ .

El resto de la estructura del álgebra de Hopf en ambos casos.

El resto de las estructuras del álgebra de Hopf se pueden describir exactamente igual en ambos casos. Existe un mapa unitario en ambos. $\eta$ y mapa de counidades $\varepsilon$

${\begin{aligned}\eta &:\mathbb {Z} /p\to {\mathcal {A}}_{*}\\\varepsilon &:{\mathcal {A}}_{*}\to \mathbb {Z} /p\end{aligned}}$

que son ambos isomorfismos en grado $0$ Estos provienen del álgebra original de Steenrod. Además, también existe un mapa de conjugación. $c:{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}$ definido recursivamente por las ecuaciones

${\begin{aligned}c(\xi _{0})&=1\\\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}c(\xi _{i})&=0\end{aligned}}$

Además, lo denotaremos ${\overline {{\mathcal {A}}_{*}}}$ como núcleo del mapa de counidades $\varepsilon$ que es isomorfo a ${\mathcal {A}}_{*}$ en grados $>1$ .

Véase también

Secuencia espectral de Adams-Novikov

Referencias

↑ Milnor, John (29 de marzo de 2012), "El álgebra de Steenrod y su dual" , Topological Library , Series on Knots and Everything, vol. 50, WORLD SCIENTIFIC, pp. 357–382 , doi : 10.1142/9789814401319_0006 , ISBN 978-981-4401-30-2, consultado el 5 de enero de 2021
1 2 Ravenel, Douglas C. (1986). Cobordismo complejo y grupos de homotopía estable de esferas . Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1OCLC 316566772

[1] Milnor, John (29 de marzo de 2012), "El álgebra de Steenrod y su dual" , Topological Library , Series on Knots and Everything, vol. 50, WORLD SCIENTIFIC, pp. 357–382 , doi : 10.1142/9789814401319_0006 , ISBN 978-981-4401-30-2, consultado el 5 de enero de 2021

[Ravenel-2] 1 2 Ravenel, Douglas C. (1986). Cobordismo complejo y grupos de homotopía estable de esferas . Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1OCLC 316566772

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