Análisis de supervivencia

Los siguientes términos se utilizan comúnmente en los análisis de supervivencia: ^{[ 3 ]}

• Evento: Muerte, aparición de enfermedad, recurrencia de la enfermedad, recuperación u otra experiencia de interés.
• Tiempo: El tiempo desde el inicio de un período de observación (como una cirugía o el inicio del tratamiento) hasta (i) un evento, o (ii) el final del estudio, o (iii) la pérdida de contacto o el retiro del estudio.
• Censura / Observación censurada: La censura se produce cuando disponemos de información sobre el tiempo de supervivencia de un individuo, pero desconocemos dicho tiempo con exactitud. El sujeto queda censurado en el sentido de que no se observa ni se conoce nada sobre él después del momento de la censura. Un sujeto censurado puede o no experimentar algún evento tras finalizar el periodo de observación.
• Función de supervivencia S(t): La probabilidad de que un sujeto sobreviva más tiempo que t.

Este ejemplo utiliza el conjunto de datos de supervivencia de leucemia mielógena aguda "aml" del paquete "survival" en R. El conjunto de datos es de Miller (1997) ^{[ 4 ]} y la pregunta es si el curso estándar de quimioterapia debe extenderse ("mantenerse") para ciclos adicionales.

En el recuadro se muestra el conjunto de datos aml ordenado por tiempo de supervivencia.

• El tiempo se indica mediante la variable "tiempo", que es el tiempo de supervivencia o de censura.
• El evento (recurrencia del cáncer de leucemia mieloide aguda) se indica mediante la variable "estado". 0  = sin evento (censurado), 1  = evento (recurrencia).
• Grupo de tratamiento: la variable "x" indica si se administró quimioterapia de mantenimiento.

La última observación (11), a las 161 semanas, está censurada. La censura indica que el paciente no tuvo un evento (sin recurrencia del cáncer de LMA). Otro sujeto, la observación 3, fue censurado a las 13 semanas (indicado por status=0). Este sujeto estuvo en el estudio solo durante 13 semanas, y el cáncer de LMA no recurrió durante ese período. Es posible que este paciente se haya inscrito cerca del final del estudio, por lo que solo se le pudo observar durante 13 semanas. También es posible que el paciente se haya inscrito al principio del estudio, pero se haya perdido el seguimiento o se haya retirado del estudio. La tabla muestra que otros sujetos fueron censurados a las 16, 28 y 45 semanas (observaciones 17, 6 y  9 con status=0). Todos los sujetos restantes experimentaron eventos (recurrencia del cáncer de LMA) mientras estaban en el estudio. La pregunta de interés es si la recurrencia ocurre más tarde en los pacientes que recibieron mantenimiento que en los que no lo recibieron.

Prueba de log-rank: Prueba de diferencias en la supervivencia en los datos de leucemia mieloide aguda (LMA).

La prueba de log-rank compara los tiempos de supervivencia de dos o más grupos. ^{[ 6 ]} Este ejemplo utiliza una prueba de log-rank para detectar diferencias en la supervivencia entre los grupos de tratamiento con y sin mantenimiento en los datos de aml. El gráfico muestra diagramas de Kaplan-Meier para los datos de aml desglosados ​​por grupo de tratamiento, indicado por la variable "x" en los datos.

La hipótesis nula para una prueba de log-rank es que los grupos tienen la misma supervivencia. El número esperado de sujetos que sobreviven en cada punto temporal en cada grupo se ajusta según el número de sujetos en riesgo en los grupos en cada momento del evento. La prueba de log-rank determina si el número observado de eventos en cada grupo es significativamente diferente del número esperado. ^{[ 7 ]} La prueba formal se basa en un estadístico chi-cuadrado. Cuando el estadístico de log-rank es grande, es evidencia de una diferencia en los tiempos de supervivencia entre los grupos. El estadístico de log-rank tiene aproximadamente una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad, y el valor p se calcula utilizando la prueba chi-cuadrado .

Para los datos de ejemplo, la prueba de log-rank para la diferencia en la supervivencia arroja un valor p de p=0,0653, lo que indica que los grupos de tratamiento no difieren significativamente en la supervivencia, asumiendo un nivel alfa de 0,05. El tamaño de la muestra de 23 sujetos es modesto, por lo que hay poca potencia para detectar diferencias entre los grupos de tratamiento. La prueba de chi-cuadrado se basa en una aproximación asintótica, por lo que el valor p debe interpretarse con precaución para tamaños de muestra pequeños . ^{[ 8 ]}

Las curvas de Kaplan-Meier y las pruebas de log-rank son más útiles cuando la variable predictora es categórica (p. ej., fármaco vs. placebo) o toma un número pequeño de valores (p. ej., dosis de fármaco de 0, 20, 50 y 100  mg/día) que pueden tratarse como categóricos. ^{[ 9 ]} La prueba de log-rank y las curvas KM no funcionan fácilmente con predictores cuantitativos como la expresión génica, el recuento de glóbulos blancos o la edad. Para variables predictoras cuantitativas, un método alternativo es el análisis de regresión de riesgos proporcionales de Cox . Los modelos de riesgos proporcionales de Cox también funcionan con variables predictoras categóricas, que se codifican como variables indicadoras o ficticias {0,1}. La prueba de log-rank es un caso especial de un análisis de riesgos proporcionales de Cox y puede realizarse utilizando el software de riesgos proporcionales de Cox.

Ejemplo: Análisis de regresión de riesgos proporcionales de Cox para el melanoma

Este ejemplo utiliza el conjunto de datos de melanoma del capítulo 14 de Dalgaard. ^{[ 10 ]}

Los datos se encuentran en el paquete ISwR de R. La regresión de riesgos proporcionales de Cox, realizada con  R, proporciona los resultados que se muestran en el recuadro.

Los resultados de la regresión de Cox se interpretan de la siguiente manera.

• El sexo se codifica como un vector numérico (1: mujer, 2: hombre). El  resumen de R para el modelo de Cox proporciona la razón de riesgo (HR) para el segundo grupo en relación con el primero, es decir, hombres frente a mujeres.
• coef = 0,662 es el logaritmo estimado de la razón de riesgo para hombres versus mujeres.
• exp(coef) = 1,94 = exp(0,662) - El logaritmo del cociente de riesgos (coef = 0,662) se transforma en el cociente de riesgos mediante exp(coef). El resumen del modelo de Cox proporciona el cociente de riesgos para el segundo grupo en relación con el primero, es decir, hombres frente a mujeres. El cociente de riesgos estimado de 1,94 indica que los hombres tienen un mayor riesgo de muerte (menores tasas de supervivencia) que las mujeres, según estos datos.
• se(coef) = 0,265 es el error estándar del logaritmo del cociente de riesgos.
• z = 2,5 = coef/se(coef) = 0,662/0,265. Dividiendo el coeficiente por su error estándar se obtiene la puntuación z.
• p=0,013. El valor p correspondiente a z=2,5 para el sexo es p=0,013, lo que indica que existe una diferencia significativa en la supervivencia en función del sexo.

El resumen de resultados también proporciona intervalos de confianza del 95% superior e inferior para la razón de riesgo: límite inferior del 95% = 1,15; límite superior del 95% = 3,26.

Finalmente, el resultado proporciona valores p para tres pruebas alternativas de significancia general del modelo:

• Prueba de razón de verosimilitud = 6,15 con 1 grado de libertad, p = 0,0131
• Prueba de Wald = 6,24 en 1 grado de libertad, p = 0,0125
• Puntuación (prueba de log-rank) = 6,47 en 1 gl, p=0,0110

Estas tres pruebas son asintóticamente equivalentes. Para un N suficientemente grande, arrojarán resultados similares. Para un N pequeño, pueden diferir ligeramente. La última fila, "Prueba de puntuación (logrank)", muestra el resultado de la prueba log-rank, con p=0,011, el mismo resultado que la prueba log-rank, ya que esta última es un caso especial de una regresión de riesgos proporcionales de Cox. La prueba de razón de verosimilitud presenta un mejor comportamiento para tamaños de muestra pequeños, por lo que generalmente se prefiere.

Modelo de Cox utilizando una covariable en los datos de melanoma

El modelo de Cox extiende la prueba de log-rank al permitir la inclusión de covariables adicionales. ^{[ 11 ]} Este ejemplo utiliza el conjunto de datos de melanoma donde las variables predictoras incluyen una covariable continua, el grosor del tumor (nombre de la variable = "thick").

En los histogramas, los valores de espesor presentan asimetría positiva y no siguen una distribución de probabilidad simétrica tipo Gaussiana . Los modelos de regresión, incluido el modelo de Cox, generalmente ofrecen resultados más fiables con variables que siguen una distribución normal. Para este ejemplo, podemos utilizar una transformación logarítmica . El logaritmo del espesor del tumor parece seguir una distribución más normal, por lo que los modelos de Cox utilizarán el logaritmo del espesor. El análisis de riesgos proporcionales de Cox mediante R proporciona los resultados que se muestran a continuación.

biblioteca ( ISwR ) # CRAN v2.0-11 biblioteca ( supervivencia ) # CRAN v3.8-3# Ejecutar análisis de riesgos proporcionales de Cox para el conjunto de datos de melanoma con la covariable logaritmo del grosor del tumor f <- coxph ( Surv ( days , status == 1 ) ~ sex + log ( thick ), data = melanom )# Mostrar resumen de salida de Cox PH ( f ) # Llamada: # coxph(formula = Surv(days, status == 1) ~ sex + log(thick), data = melanom) # # n= 205, número de eventos= 57 # # coef exp(coef) se(coef) z Pr(>|z|) # sex 0.4580 1.5809 0.2687 1.705 0.0883 . # log(thick) 0.7809 2.1834 0.1573 4.963 6.94e-07 *** # --- # Códigos de significancia: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 # # exp(coef) exp(-coef) inferior .95 superior .95 # sexo 1.581 0.6326 0.9337 2.677 # log(grosor) 2.183 0.4580 1.6040 2.972 # # Concordancia = 0.749 (se = 0.033 ) # Prueba de razón de verosimilitud = 33.45 en 2 gl, p=5e-08 # Prueba de Wald = 31 en 2 gl, p=2e-07 # Prueba de puntuación (logrank) = 32.52 en 2 gl, p=9e-08

El valor p para las tres pruebas generales (verosimilitud, Wald y puntuación) es significativo, lo que indica que el modelo es significativo. El valor p para${\displaystyle \log({\text{grueso}})}$es6,94 × 10 ⁻⁷ , con una razón de riesgo${\displaystyle HR=\exp({\text{coef}})=2.183}$, lo que indica una fuerte relación entre el grosor del tumor y un mayor riesgo de muerte.

Por el contrario, el valor p para${\displaystyle {\text{sexo}}}$ahora es${\displaystyle p=0.088}$. El índice de riesgo${\displaystyle HR=\exp({\text{coef}})=1.581}$, con un intervalo de confianza del 95% de 0,9337 a 2,677. Debido a que el intervalo de confianza para HR incluye 1, estos resultados indican que el sexo contribuye en menor medida a la diferencia en el HR después de controlar el grosor del tumor. Examen de los gráficos de${\displaystyle log({\text{grueso}})}$por sexo y una prueba t de${\displaystyle log({\text{grueso}})}$Según el sexo, ambos indican que existe una diferencia significativa entre hombres y mujeres en el grosor del tumor cuando acuden por primera vez al médico.

El modelo de Cox asume que los riesgos son proporcionales. Esta suposición de riesgos proporcionales puede comprobarse mediante la  función cox.zph()`survival` del paquete R. Un valor p inferior a 0,05 indica que los riesgos no son proporcionales.

cox.zph ( f ) # chisq df p # sexo 1.33 1 0.248 # log(grueso) 6.23 1 0.013 # GLOBAL 6.70 2 0.035

Para los datos de melanoma, obtenemos${\displaystyle p=0.248}$para el sexo. Por lo tanto, no podemos rechazar la hipótesis nula de que los riesgos del sexo sean proporcionales.

El modelo de regresión de riesgos proporcionales de Cox es un modelo lineal. Es similar a la regresión lineal y a la regresión logística. Específicamente, estos métodos asumen que una sola línea, curva, plano o superficie es suficiente para separar grupos (vivos, muertos) o para estimar una respuesta cuantitativa (tiempo de supervivencia).

En algunos casos, las particiones alternativas proporcionan una clasificación o estimaciones cuantitativas más precisas. Un conjunto de métodos alternativos son los modelos de supervivencia con estructura de árbol, ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} incluyendo bosques aleatorios de supervivencia. ^{[ 15 ]} Los modelos de supervivencia con estructura de árbol pueden ofrecer predicciones más precisas que los modelos de Cox. Examinar ambos tipos de modelos para un conjunto de datos determinado es una estrategia razonable.

Ejemplo de análisis de árbol de supervivencia

Este ejemplo de análisis de árbol de supervivencia utiliza el  paquete "rpart" de R. ^{[ 16 ]} El ejemplo se basa en 146  pacientes con cáncer de próstata en estadio C del conjunto de datos stagec en rpart. Rpart y el ejemplo stagec se describen en Atkinson y Therneau (1997), ^{[ 17 ]} que también se distribuye como una viñeta del paquete rpart. ^{[ 16 ]}

Las variables en las etapas son:

• pgtime : tiempo hasta la progresión o último seguimiento sin progresión.
• pgstat : estado en el último seguimiento (1=progresó, 0=censurado)
• edad : edad al momento del diagnóstico
• eet : terapia endocrina temprana (1=no, 0=sí)
• ploidía : patrón de ADN diploide/tetraploide/aneuploide
• g2 :  % de células en fase G2
• grado : grado del tumor (1-4)
• Gleason : Grado de Gleason (3-10)

El árbol de supervivencia generado por el análisis se muestra en la figura.

Cada rama del árbol indica una división según el valor de una variable. Por ejemplo, la raíz del árbol divide a los sujetos con una calificación inferior a 2,5 frente a los sujetos con una calificación igual o superior a 2,5. Los nodos terminales indican el número de sujetos en el nodo, el número de sujetos que presentan eventos y la tasa relativa de eventos en comparación con la raíz. En el nodo de la izquierda, los valores 1/33 indican que uno de los 33 sujetos del nodo presentó un evento y que la tasa relativa de eventos es de 0,122. En el nodo inferior derecho, los valores 11/15 indican que 11 de los 15 sujetos del nodo presentaron un evento y que la tasa relativa de eventos es de 2,7.

Los avances recientes en el aprendizaje de representación profunda se han extendido a la estimación de supervivencia. El modelo DeepSurv ^{[ 19 ]} propone reemplazar la parametrización log-lineal del modelo CoxPH con un perceptrón multicapa. Otras extensiones, como Deep Survival Machines ^{[ 20 ]} y Deep Cox Mixtures ^{[ 21 ],} implican el uso de modelos de mezcla de variables latentes para modelar la distribución del tiempo hasta el evento como una mezcla de distribuciones paramétricas o semiparamétricas, mientras se aprenden conjuntamente representaciones de las covariables de entrada. Los enfoques de aprendizaje profundo han demostrado un rendimiento superior, especialmente en modalidades de datos de entrada complejas, como imágenes y series temporales clínicas.

El objeto de interés primordial es la función de supervivencia , convencionalmente denotada S , que se define como$${\displaystyle S(t)=\Pr(T>t)}$$ donde t es un tiempo, T es una variable aleatoria que denota el tiempo de muerte, o más generalmente cualquier evento, y "Pr" significa probabilidad . Es decir, la función de supervivencia es la probabilidad de observar un tiempo de evento mayor que un tiempo t especificado . ^{[ 7 ]} La ​​función de supervivencia también se llama función de supervivencia o función de supervivencia en problemas de supervivencia biológica, y función de confiabilidad en problemas de supervivencia mecánica. ^{[ 22 ]} En este último caso, la función de confiabilidad se denota R ( t ).

Por lo general se asume que S (0) = 1, aunque podría ser menor que 1  si existe la posibilidad de muerte o fallo inmediato.

La función de supervivencia debe ser no creciente: S ( u ) ≤ S ( t ) si u ≥ t . Esta propiedad se deduce directamente porque T > u implica T > t . Esto refleja la idea de que la supervivencia hasta una edad avanzada solo es posible si se alcanzan todas las edades más tempranas. Dada esta propiedad, la función de distribución de la vida útil y la densidad de eventos ( F y f a continuación) están bien definidas. ^{[ 2 ]}

Generalmente se asume que la función de supervivencia tiende a cero a medida que la edad aumenta sin límite (es decir, S ( t ) → 0 cuando t → ∞), aunque el límite podría ser mayor que cero si la vida eterna es posible. Por ejemplo, podríamos aplicar el análisis de supervivencia a una mezcla de isótopos de carbono estables e inestables ; los isótopos inestables se desintegrarían tarde o temprano, pero los isótopos estables durarían indefinidamente.

Las cantidades relacionadas se definen en términos de la función de supervivencia.

La función de distribución de la vida útil , convencionalmente denotada F , se define como el complemento de la función de supervivencia,

$${\displaystyle F(t)=\Pr(T\leq t)=1-S(t).}$$ Si F es diferenciable , entonces la derivada, que es la función de densidad de la distribución de la vida útil, se denota convencionalmente como f ,

$${\displaystyle f(t)=F'(t)={\frac {d}{dt}}F(t).}$$ La función f a veces se denomina densidad de eventos ; es la tasa de eventos de muerte o falla por unidad de tiempo.

La función de supervivencia puede expresarse en términos de funciones de distribución de probabilidad y de densidad de probabilidad.

$${\displaystyle S(t)=\Pr(T>t)=\int _{t}^{\infty }f(u)\,du=1-F(t).}$$ De manera similar, se puede definir una función de densidad de eventos de supervivencia como

$${\displaystyle s(t)=S'(t)={\frac {d}{dt}}S(t)={\frac {d}{dt}}\int _{t}^{\infty }f(u)\,du={\frac {d}{dt}}[1-F(t)]=-f(t).}$$ En otros campos, como la física estadística, la función de densidad de eventos de supervivencia se conoce como densidad de tiempo de primer paso .

La función de riesgo${\displaystyle h}$se define como la tasa de eventos en el tiempo${\displaystyle t,}$condicionado a la supervivencia en el momento${\displaystyle t.}$

Los sinónimos de función de riesgo en diferentes campos incluyen tasa de riesgo, función de intensidad, ^{[ 23 ]} fuerza de mortalidad ( demografía y ciencia actuarial , denotada por${\displaystyle \mu }$), fuerza de falla o tasa de falla ( ingeniería , denotada${\displaystyle \lambda }$). Por ejemplo, en ciencias actuariales,${\displaystyle \mu (x)}$indica la tasa de mortalidad para personas de edad${\displaystyle x}$, mientras que en ingeniería de confiabilidad${\displaystyle \lambda (t)}$indica la tasa de falla de los componentes después de operar durante un tiempo${\displaystyle t}$.

La función de riesgo representa la probabilidad de que un sujeto experimente un evento en el siguiente intervalo de tiempo pequeño, dividido por la duración de este intervalo, dado que ha sobrevivido hasta el momento.${\displaystyle t}$. ^{[ 23 ]} Formalmente, esto se puede escribir de la siguiente manera:

$${\displaystyle h(t)=\lim _{dt\rightarrow 0}{\frac {\Pr(t<T<t+dt|T>t)}{dt}}=\lim _{dt\rightarrow 0}{\frac {\Pr(t<T<t+dt)}{dt\cdot S(t)}}={\frac {f(t)}{S(t)}}=-{\frac {S'(t)}{S(t)}},}$$

donde el teorema de Bayes y la identificación${\displaystyle \Pr(T>t)}$como función de supervivencia, se ha utilizado en la primera igualdad, y la definición de la función de densidad de la distribución de la vida útil en la segunda.

Cualquier función${\displaystyle h}$es una función de riesgo si y solo si satisface las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle \forall x\geq 0\left(h(x)\geq 0\right)}$,
2. ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }h(x)dx=\infty }$.

De hecho, la tasa de riesgo suele ser más informativa sobre el mecanismo subyacente de la falla que otras representaciones de la distribución de la vida útil.

La función de riesgo debe ser no negativa,${\displaystyle \lambda (t)\geq 0}$y su integral sobre${\displaystyle [0,\infty ]}$debe ser infinito, pero no está restringido de otra manera; puede ser creciente o decreciente, no monótono o discontinuo. Un ejemplo es la función de riesgo de la curva de bañera , que es grande para valores pequeños de${\displaystyle t}$, disminuyendo hasta un mínimo y luego aumentando de nuevo; esto puede modelar la propiedad de algunos sistemas mecánicos de fallar poco después de su funcionamiento, o mucho más tarde, a medida que el sistema envejece.

La función de riesgo puede representarse alternativamente en términos de la función de riesgo acumulado , denotada convencionalmente${\displaystyle \Lambda }$o${\displaystyle H}$:

$${\displaystyle \,\Lambda (t)=-\log S(t)}$$ así transponiendo signos y potenciando

$${\displaystyle \,S(t)=\exp(-\Lambda (t))}$$ o diferenciando (con la regla de la cadena)

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Lambda (t)=-{\frac {S'(t)}{S(t)}}=\lambda (t).}$$ El nombre "función de riesgo acumulado" se deriva del hecho de que

$${\displaystyle \Lambda (t)=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,du}$$ que es la "acumulación" del peligro a lo largo del tiempo.

Desde la definición de${\displaystyle \Lambda (t)}$, vemos que aumenta sin límite cuando t tiende a infinito (suponiendo que${\displaystyle S(t)}$tiende a cero). Esto implica que${\displaystyle \lambda (t)}$no debe disminuir demasiado rápido, ya que, por definición, el riesgo acumulado tiene que divergir. Por ejemplo,${\displaystyle \exp(-t)}$no es la función de riesgo de ninguna distribución de supervivencia, porque su integral converge a 1.

La función de supervivencia${\displaystyle S(t)}$, la función de riesgo acumulado${\displaystyle \Lambda (t)}$la densidad${\displaystyle f(t)}$la función de riesgo${\displaystyle \lambda (t)}$y la función de distribución de la vida útil${\displaystyle F(t)}$están relacionados a través de $${\displaystyle S(t)=\exp[-\Lambda (t)]={\frac {f(t)}{\lambda (t)}}=1-F(t),\quad t>0.}$$

Vida útil futura en un momento dado${\displaystyle t_{0}}$es el tiempo restante hasta la muerte, dado que la supervivencia llega a la edad${\displaystyle t_{0}}$Por lo tanto, es${\displaystyle T-t_{0}}$en la notación actual. La esperanza de vida futura es el valor esperado de la esperanza de vida futura. La probabilidad de muerte a la edad o antes de la edad${\displaystyle t_{0}+t}$, dado que la supervivencia llega a la edad${\displaystyle t_{0}}$, es solo

$${\displaystyle P(T\leq t_{0}+t\mid T>t_{0})={\frac {P(t_{0}<T\leq t_{0}+t)}{P(T>t_{0})}}={\frac {F(t_{0}+t)-F(t_{0})}{S(t_{0})}}.}$$ Por lo tanto, la densidad de probabilidad de la vida futura es

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {F(t_{0}+t)-F(t_{0})}{S(t_{0})}}={\frac {f(t_{0}+t)}{S(t_{0})}}}$$ y la esperanza de vida futura es

$${\displaystyle {\frac {1}{S(t_{0})}}\int _{0}^{\infty }t\,f(t_{0}+t)\,dt={\frac {1}{S(t_{0})}}\int _{t_{0}}^{\infty }S(t)\,dt,}$$ donde la segunda expresión se obtiene mediante integración por partes .

Para${\displaystyle t_{0}=0}$, es decir, al nacer, esto se reduce a la esperanza de vida.

En los problemas de confiabilidad, la vida útil esperada se denomina tiempo medio hasta el fallo , y la vida útil futura esperada se denomina vida útil residual media .

Como la probabilidad de que un individuo sobreviva hasta la edad t o más tarde es S ( t ), por definición, el número esperado de supervivientes a la edad t de una población inicial de n recién nacidos es n × S ( t ), suponiendo la misma función de supervivencia para todos los individuos. Por lo tanto, la proporción esperada de supervivientes es S ( t ). Si la supervivencia de diferentes individuos es independiente, el número de supervivientes a la edad t tiene una distribución binomial con parámetros n y S ( t ), y la varianza de la proporción de supervivientes es S ( t ) × (1- S ( t ))/ n .

La edad a la que queda una proporción específica de supervivientes se puede calcular resolviendo la ecuación S ( t ) = q para t , donde q es el cuantil en cuestión. Normalmente, interesa la mediana de la esperanza de vida , para la cual q = 1/2, u otros cuantiles como q = 0,90 o q = 0,99.