Teoría de la estabilidad

Si${\displaystyle \det A=0}$, entonces el rango de${\displaystyle A}$es cero o uno.

• Si el rango es cero, entonces${\displaystyle A=0}$y no hay flujo.
• Si el rango es uno, entonces${\displaystyle \ker A}$y${\displaystyle \operatorname {im} A}$ambos son unidimensionales.
  • Si${\displaystyle \ker A=\operatorname {im} A}$, entonces deja${\displaystyle v}$durar${\displaystyle \ker A}$y dejar${\displaystyle w}$ser una preimagen de${\displaystyle v}$, luego en${\displaystyle \{v,w\}}$base,${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$y por lo tanto el flujo es un cizallamiento a lo largo del${\displaystyle v}$dirección. En este caso,${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$.
  • Si${\displaystyle \ker A\neq \operatorname {im} A}$, entonces deja${\displaystyle v}$durar${\displaystyle \ker A}$y dejar${\displaystyle w}$durar${\displaystyle \operatorname {im} A}$, luego en${\displaystyle \{v,w\}}$base,${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}}$para algún número real distinto de cero${\displaystyle a}$.
    • Si${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$, entonces es inestable, divergiendo a una tasa de${\displaystyle a}$de${\displaystyle \ker A}$a lo largo de traducciones paralelas de${\displaystyle \operatorname {im} A}$.
    • Si${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$, entonces es estable, convergiendo a una tasa de${\displaystyle a}$a${\displaystyle \ker A}$a lo largo de traducciones paralelas de${\displaystyle \operatorname {im} A}$.

Si${\displaystyle \det A\neq 0}$Primero encontramos la forma normal de Jordan de la matriz para obtener una base.${\displaystyle \{v,w\}}$en el cual${\displaystyle A}$es una de tres formas posibles:

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}}$dónde${\displaystyle a,b\neq 0}$.
  • Si${\displaystyle a,b>0}$, entonces${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=-(ab)^{2}\leq 0\\\det A=ab>0\end{cases}}}$. El origen es una fuente , con curvas integrales de forma${\displaystyle y=cx^{b/a}}$
  • De manera similar para${\displaystyle a,b<0}$. El origen es un sumidero .
  • Si${\displaystyle a>0>b}$o${\displaystyle a<0<b}$, entonces${\displaystyle \det A<0}$y el origen es un punto de silla . con curvas integrales de forma${\displaystyle y=cx^{-|b/a|}}$.
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}}$dónde${\displaystyle a\neq 0}$Esto se puede simplificar aún más mediante un cambio de base con${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}}$, después de lo cual${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$Podemos resolver explícitamente para${\displaystyle {\dot {X}}=AX}$con${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$La solución es${\displaystyle X(t)=e^{At}X(0)}$con${\displaystyle e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}}$Este caso se denomina " nodo degenerado ". Las curvas integrales en esta base son dilataciones centrales de${\displaystyle x=y\ln y}$, más el eje x.
  • Si${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$, entonces el origen es una fuente degenerada . De lo contrario, es un sumidero degenerado .
  • En ambos casos,${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$
• ${\displaystyle a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$dónde${\displaystyle a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]}$. En este caso,${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0}$.
  • Si${\displaystyle \theta \in (-\pi ,-\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]}$, entonces se trata de un sumidero en espiral . En este caso, ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A<0\end{cases}}}$Las líneas integrales son espirales logarítmicas .
  • Si${\displaystyle \theta \in (-\pi /2,\pi /2)}$, entonces se trata de una fuente espiral . En este caso, ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A>0\end{cases}}}$Las líneas integrales son espirales logarítmicas .
  • Si${\displaystyle \theta =-\pi /2,\pi /2}$, entonces esta es una rotación (" estabilidad neutral ") a una velocidad de${\displaystyle a}$, sin moverse ni hacia el origen ni alejándose de él. En este caso, ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$Las líneas integrales son círculos.

El resumen se muestra en el diagrama de estabilidad de la derecha. En cada caso, excepto en el caso de${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$, los valores${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$Permite una clasificación única del tipo de flujo.

Para el caso especial de${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$, hay dos casos que no se pueden distinguir por${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$En ambos casos,${\displaystyle A}$tiene un único valor propio, con multiplicidad algebraica 2.

• Si el valor propio tiene un espacio propio bidimensional ( multiplicidad geométrica 2), entonces el sistema es un nodo central (a veces llamado " estrella " o " nodo dicrítico ") que es una fuente (cuando${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$) o un fregadero (cuando${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$). ^{[ 2 ]}
• Si tiene un espacio propio unidimensional ( multiplicidad geométrica 1), entonces el sistema es un nodo degenerado (si${\displaystyle \det A>0}$) o un flujo de cizallamiento (si${\displaystyle \det A=0}$).

Cuando${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$, tenemos${\displaystyle \det e^{At}=e^{\operatorname {tr} (A)t}=1}$, por lo que el flujo conserva el área. En este caso, el tipo de flujo se clasifica por${\displaystyle \det A}$.

• Si${\displaystyle \det A>0}$, entonces es una rotación ("estabilidad neutral") alrededor del origen.
• Si${\displaystyle \det A=0}$, entonces es un flujo de cizallamiento.
• Si${\displaystyle \det A<0}$, entonces el origen es un punto de silla.

Sea f : R → R una función continuamente diferenciable con un punto fijo a , f ( a ) = a . Consideremos el sistema dinámico obtenido al iterar la función f :

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .}$$

El punto fijo a es estable si el valor absoluto de la derivada de f en a es estrictamente menor que 1, e inestable si es estrictamente mayor que 1. Esto se debe a que cerca del punto a , la función f tiene una aproximación lineal con pendiente f' ( a ) :

$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)\left(x-a\right).}$$

De este modo

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}=f(x_{n})&\approx f(a)+f'(a)\left(x_{n}-a\right)\\&=a+f'(a)\left(x_{n}-a\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \Rightarrow f'(a)\approx {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}}$$

Esto significa que la derivada mide la velocidad a la que las iteraciones sucesivas se aproximan al punto fijo a o se alejan de él. Si la derivada en a es exactamente 1 o −1, entonces se necesita más información para determinar la estabilidad.

Existe un criterio análogo para una aplicación continuamente diferenciable f : R ⁿ → R ⁿ con un punto fijo a , expresado en términos de su matriz jacobiana en a , J _a ( f ) . Si todos los autovalores de J son números reales o complejos con valor absoluto estrictamente menor que 1, entonces a es un punto fijo estable; si al menos uno de ellos tiene un valor absoluto estrictamente mayor que 1, entonces a es inestable. Al igual que para n =1, el caso en que el mayor valor absoluto sea 1 necesita ser investigado más a fondo  : la prueba de la matriz jacobiana no es concluyente. El mismo criterio se cumple de forma más general para difeomorfismos de una variedad diferenciable .

La estabilidad de los puntos fijos de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes puede analizarse utilizando los valores propios de la matriz correspondiente.

Un sistema autónomo

$${\displaystyle x'=Ax,}$$

donde x ( t ) ∈ R ⁿ y A es una matriz n × n con entradas reales, tiene una solución constante

$${\displaystyle x(t)=0.}$$

(En otro idioma, el origen 0 ∈ R ⁿ es un punto de equilibrio del sistema dinámico correspondiente.) Esta solución es asintóticamente estable cuando t → ∞ ("en el futuro") si y solo si para todos los autovalores λ de A , Re ( λ ) < 0 . De manera similar, es asintóticamente estable cuando t → −∞ ("en el pasado") si y solo si para todos los autovalores λ de A , Re( λ ) > 0 . Si existe un autovalor λ de A con Re( λ ) > 0 entonces la solución es inestable para t → ∞ .

La estabilidad de un sistema lineal puede determinarse resolviendo la ecuación diferencial para hallar los autovalores, o bien, sin resolverla, utilizando el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz . Los autovalores de una matriz son las raíces de su polinomio característico . Un polinomio de una variable con coeficientes reales se denomina polinomio de Hurwitz si las partes reales de todas sus raíces son estrictamente negativas. El teorema de Routh-Hurwitz implica una caracterización de los polinomios de Hurwitz mediante un algoritmo que evita el cálculo de las raíces.

La estabilidad asintótica de los puntos fijos de un sistema no lineal a menudo se puede establecer utilizando el teorema de Hartman-Grobman .

Supongamos que v es un campo vectorial C 1 ^en R n ^que se anula en un punto p , v ( p ) = 0 . Entonces el sistema autónomo correspondiente

$${\displaystyle x'=v(x)}$$

tiene una solución constante

$${\displaystyle x(t)=p.}$$

Sea J _p ( v ) la matriz jacobiana n × n del campo vectorial v en el punto p . Si todos los autovalores de J tienen parte real estrictamente negativa, entonces la solución es asintóticamente estable. Esta condición se puede comprobar utilizando el criterio de Routh-Hurwitz .