Conjetura de Dyson

En matemáticas , la conjetura de Dyson ( Freeman Dyson, 1962 ) es una conjetura sobre el término constante de ciertos polinomios de Laurent , demostrada independientemente en 1962 por Wilson y Gunson. Andrews la generalizó a la conjetura q-Dyson , demostrada por Zeilberger y Bressoud y a veces llamada teorema de Zeilberger-Bressoud . Macdonald la generalizó aún más a sistemas de raíces más generales con la conjetura del término constante de Macdonald , demostrada por Cherednik . 

La conjetura de Dyson afirma que el polinomio de Laurent

${\displaystyle \prod _{1\leq i\neq j\leq n}(1-t_{i}/t_{j})^{a_{i}}}$

tiene término constante

${\displaystyle {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})!}{a_{1}!a_{2}!\cdots a_{n}!}}.}$

La conjetura fue demostrada por primera vez de forma independiente por Wilson (1962) y Gunson (1962) . Good (1970) posteriormente encontró una demostración breve, al observar que los polinomios de Laurent, y por lo tanto sus términos constantes, satisfacen las relaciones de recurrencia.

${\displaystyle F(a_{1},\dots ,a_{n})=\sum _{i=1}^{n}F(a_{1},\dots ,a_{i}-1,\dots ,a_{n}).}$

El caso n  =  3 de la conjetura de Dyson se deduce de la identidad de Dixon .

Sills y Zeilberger (2006) y ( Sills 2006 ) utilizaron una computadora para encontrar expresiones para coeficientes no constantes del polinomio de Laurent de Dyson.

Cuando todos los valores a _i son iguales a β/2, el término constante en la conjetura de Dyson es el valor de la integral de Dyson.

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\prod _{1\leq j<k\leq n}|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}|^{\beta }\,d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}.}$

La integral de Dyson es un caso especial de la integral de Selberg después de un cambio de variable y tiene valor

${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+\beta n/2)}{\Gamma (1+\beta /2)^{n}}}}$

lo cual proporciona otra prueba de la conjetura de Dyson en este caso particular.

Andrews (1975) encontró un q-análogo de la conjetura de Dyson, afirmando que el término constante de

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}\left({\frac {x_{i}}{x_{j}}};q\right)_{a_{i}}\left({\frac {qx_{j}}{x_{i}}};q\right)_{a_{j}}}$

es

${\displaystyle {\frac {(q;q)_{a_{1}+\cdots +a_{n}}}{(q;q)_{a_{1}}\cdots (q;q)_{a_{n}}}}.}$

Aquí ( a ; q ) _n es el símbolo q-Pochhammer . Esta conjetura se reduce a la conjetura de Dyson para q = 1, y fue probada por Zeilberger y Bressoud (1985) , utilizando un enfoque combinatorio inspirado en trabajos previos de Ira Gessel y Dominique Foata . Una prueba más corta, utilizando series formales de Laurent , fue dada en 2004 por Ira Gessel y Guoce Xin, y una prueba aún más corta, utilizando una forma cuantitativa, debida a Karasev y Petrov, e independientemente a Lason, del Nullstellensatz combinatorio de Noga Alon, fue dada en 2012 por Gyula Karolyi y Zoltan Lorant Nagy. Este último método fue extendido, en 2013, por Shalosh B. Ekhad y Doron Zeilberger para derivar expresiones explícitas de cualquier coeficiente específico, no solo del término constante; Consulte http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/qdyson.html para obtener referencias detalladas.

Macdonald (1982) extendió la conjetura a sistemas de raíces finitos o afines arbitrarios , correspondiendo la conjetura original de Dyson al caso del sistema de raíces A _{n −1} y la conjetura de Andrews al sistema de raíces afín A _{n −1} . Macdonald reformuló estas conjeturas como conjeturas sobre las normas de los polinomios de Macdonald . Las conjeturas de Macdonald fueron demostradas por Cherednik ( 1995 ) utilizando álgebras de Hecke doblemente afines.

La formulación de Macdonald de la conjetura de Dyson para sistemas de raíces de tipo BC está estrechamente relacionada con la integral de Selberg .

• Andrews, George E. (1975), "Problemas y perspectivas para las funciones hipergeométricas básicas", Teoría y aplicación de funciones especiales (Actas del Seminario Avanzado, Centro de Investigación Matemática, Universidad de Wisconsin, Madison, Wisconsin, 1975) , Boston, MA: Academic Press , págs. 191–224 , MR 0399528  
• Cherednik, I. (1995), "Álgebras de Hecke doblemente afines y conjeturas de Macdonald", The Annals of Mathematics , 141 (1): 191–216 , doi : 10.2307/2118632 , JSTOR 2118632 
• Dyson, Freeman J. (1962), "Teoría estadística de los niveles de energía de sistemas complejos. I", Journal of Mathematical Physics , 3 (1): 140– 156, Bibcode : 1962JMP.....3..140D , doi : 10.1063/1.1703773 , ISSN 0022-2488 , MR 0143556  
• Good, IJ (1970), "Demostración breve de una conjetura de Dyson", Journal of Mathematical Physics , 11 (6): 1884, Bibcode : 1970JMP....11.1884G , doi : 10.1063/1.1665339 , ISSN 0022-2488 , MR 0258644  
• Gunson, J. (1962), "Demostración de una conjetura de Dyson en la teoría estadística de los niveles de energía", Journal of Mathematical Physics , 3 (4): 752– 753, Bibcode : 1962JMP.....3..752G , doi : 10.1063/1.1724277 , ISSN 0022-2488 , MR 0148401  
• Macdonald, IG (1982), "Algunas conjeturas para sistemas de raíces", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988–1007 , doi : 10.1137/0513070 , ISSN 0036-1410 , MR 0674768  
• Sills, Andrew V. (2006), "Perturbando la conjetura de Dyson, de una manera generalmente BUENA", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 113 (7): 1368– 1380, arXiv : 1812.05557 , doi : 10.1016/j.jcta.2005.12.005 , ISSN 1096-0899 , MR 2259066 , S2CID 1565705   
• Sills, Andrew V.; Zeilberger, Doron (2006), "Perturbando la conjetura de Dyson (de una buena manera)" , Experimental Mathematics , 15 (2): 187–191 , arXiv : 1812.04490 , doi : 10.1080/10586458.2006.10128959 , ISSN 1058-6458 , MR 2253005 , S2CID 14594152   
• Wilson, Kenneth G. (1962), "Demostración de una conjetura de Dyson", Journal of Mathematical Physics , 3 (5): 1040– 1043, Bibcode : 1962JMP.....3.1040W , doi : 10.1063/1.1724291 , ISSN 0022-2488 , MR 0144627  
• Zeilberger, Doron ; Bressoud, David M. (1985), "Una demostración de la conjetura q-Dyson de Andrews", Matemáticas Discretas , 54 (2): 201–224 , doi : 10.1016/0012-365X(85)90081-0 , ISSN 0012-365X , MR 0791661