Polinomios de Macdonald

En matemáticas , los polinomios de Macdonald P _λ ( x ; t , q ) son una familia de polinomios simétricos ortogonales en varias variables, introducidos por Macdonald en 1987. Posteriormente introdujo una generalización no simétrica en 1995. Macdonald originalmente asoció sus polinomios con pesos λ de sistemas de raíces finitos y usó solo una variable t , pero luego se dio cuenta de que es más natural asociarlos con sistemas de raíces afines en lugar de sistemas de raíces finitos, en cuyo caso la variable t puede ser reemplazada por varias variables diferentes t =( t ₁ ,..., t _k ), una para cada una de las k órbitas de raíces en el sistema de raíces afín. Los polinomios de Macdonald son polinomios en n variables x =( x ₁ ,..., x _n ), donde n es el rango del sistema de raíces afín. Generalizan muchas otras familias de polinomios ortogonales, como los polinomios de Jack , los polinomios de Hall-Littlewood y los polinomios de Askey-Wilson , que a su vez incluyen la mayoría de los polinomios ortogonales de una variable mencionados como casos particulares. Los polinomios de Koornwinder son polinomios de Macdonald de ciertos sistemas de raíces no reducidos. Tienen profundas relaciones con las álgebras de Hecke afines y los esquemas de Hilbert , que se utilizaron para demostrar varias conjeturas formuladas por Macdonald sobre ellos.

Primero, corrijamos algunas notaciones:

• R es un sistema de raíces finito en un espacio vectorial real V.
• R ⁺ es una elección de raíces positivas , a la que corresponde una cámara de Weyl positiva .
• W es el grupo de Weyl de R.
• Q es la red raíz de R (la red generada por las raíces).
• P es la red de pesos de R (que contiene Q ).
• Un ordenamiento de pesos :${\displaystyle \mu \leq \lambda }$si y solo si${\displaystyle \lambda -\mu }$es una combinación lineal no negativa de raíces simples .
• P ⁺ es el conjunto de pesos dominantes: los elementos de P en la cámara de Weyl positiva.
• ρ es el vector de Weyl : la mitad de la suma de las raíces positivas; este es un elemento especial de P ⁺ en el interior de la cámara de Weyl positiva.
• F es un campo de característica 0, generalmente los números racionales.
• A = F ( P ) es el álgebra de grupo de P , con una base de elementos escrita e ^λ para λ ∈ P .
• Si f = e ^λ , entonces f significa e ^{− λ} , y esto se extiende por linealidad a todo el álgebra de grupo.
• m _μ = Σ _{λ ∈ W μ} e ^λ es una suma de órbitas; estos elementos forman una base para la subálgebra A ^W de elementos fijados por W .
• ${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{r\geq 0}(1-aq^{r})}$, el símbolo q-Pochhammer infinito .
• ${\displaystyle \Delta =\prod _{\alpha \in R}{(e^{\alpha };q)_{\infty } \over (te^{\alpha };q)_{\infty }}.}$
• ${\displaystyle \langle f,g\rangle =({\text{término constante de }}f{\overline {g}}\Delta )/|W|}$es el producto interno de dos elementos de A , al menos cuando t es una potencia entera positiva de q .

Los polinomios de Macdonald P _λ para λ ∈ P ⁺ están definidos de forma única por las dos condiciones siguientes:

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{\mu \leq \lambda }u_{\lambda \mu }m_{\mu }}$donde u _{λ μ} es una función racional de q y t con u _{λ λ} = 1;

P _λ y P _μ son ortogonales si λ  < μ . 

En otras palabras, los polinomios de Macdonald se obtienen al ortogonalizar la base obvia para A ^W . La existencia de polinomios con estas propiedades es fácil de demostrar (para cualquier producto interno). Una propiedad clave de los polinomios de Macdonald es que son ortogonales : 〈P _λ , P _μ〉 = 0 siempre que λ  ≠  μ. Esto no es una consecuencia trivial de la definición porque P ⁺ no está totalmente ordenado y, por lo tanto, tiene muchos elementos incomparables. Así, es necesario comprobar que los polinomios correspondientes siguen siendo ortogonales. La ortogonalidad se puede demostrar mostrando que los polinomios de Macdonald son autovectores para un álgebra de operadores autoadjuntos conmutativos con autoespacios unidimensionales, y utilizando el hecho de que los autoespacios para autovalores diferentes deben ser ortogonales.

En el caso de sistemas de raíces no simplemente enlazados (B, C, F, G), el parámetro t puede elegirse para que varíe con la longitud de la raíz, dando lugar a una familia de polinomios de Macdonald de tres parámetros. También se puede extender la definición al sistema de raíces no reducido BC, en cuyo caso se obtiene una familia de seis parámetros (un t para cada órbita de raíces, más q ) conocida como polinomios de Koornwinder . A veces es mejor considerar los polinomios de Macdonald como dependientes de un sistema de raíces afín posiblemente no reducido. En este caso, hay un parámetro t asociado a cada órbita de raíces en el sistema de raíces afín, más un parámetro q . El número de órbitas de raíces puede variar de 1 a 5.

• Si q = t, los polinomios de Macdonald se convierten en los caracteres de Weyl de las representaciones del grupo compacto del sistema de raíces, o en las funciones de Schur en el caso de sistemas de raíces de tipo A.
• Si q = 0 , los polinomios de Macdonald se convierten en las funciones esféricas zonales (reescaladas) para un grupo p -ádico semisimple , o en los polinomios de Hall-Littlewood cuando el sistema de raíces es de tipo A.
• Si t =1 los polinomios de Macdonald se convierten en sumas sobre órbitas W , que son las funciones simétricas monomiales cuando el sistema de raíces es de tipo A.
• Si ponemos q = t ^α y dejamos que t tienda a 1, los polinomios de Macdonald se convierten en polinomios de Jack cuando el sistema de raíces es de tipo A , y en polinomios de Heckman-Opdam para sistemas de raíces más generales.
• Para el sistema de raíces afines A ₁ , los polinomios de Macdonald son los polinomios de Rogers .
• Para el sistema de raíces afines de rango 1 no reducido de tipo ( C ^∨ ₁ , C ₁ ), los polinomios de Macdonald son los polinomios de Askey-Wilson , que a su vez incluyen como casos especiales la mayoría de las familias nombradas de polinomios ortogonales en 1 variable.
• Para el sistema de raíces afines no reducido de tipo ( C ^∨ _n , C _n ), los polinomios de Macdonald son los polinomios de Koornwinder .

Si t = q ^k para algún entero positivo k , entonces la norma de los polinomios de Macdonald viene dada por

${\displaystyle \langle P_{\lambda },P_{\lambda }\rangle =\prod _{\alpha \in R,\alpha >0}\prod _{0<i<k}{1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))+i} \over 1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))-i}}.}$

Esto fue conjeturado por Macdonald (1982) como una generalización de la conjetura de Dyson , y demostrado para todos los sistemas de raíces (reducidos) por Cherednik (1995) utilizando propiedades de las álgebras de Hecke doblemente afines . La conjetura ya había sido demostrada caso por caso para todos los sistemas de raíces, excepto aquellos de tipo E _n, por varios autores.

Hay otras dos conjeturas que, junto con la conjetura de la norma, se denominan colectivamente conjeturas de Macdonald en este contexto: además de la fórmula para la norma, Macdonald conjeturó una fórmula para el valor de P _λ en el punto t ^ρ y una simetría.

${\displaystyle {\frac {P_{\lambda }(\dots ,q^{\mu _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\lambda }(t^{\rho })}}={\frac {P_{\mu }(\dots ,q^{\lambda _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\mu }(t^{\rho })}}.}$

Nuevamente, estos fueron demostrados para sistemas de raíces reducidos generales por Cherednik ( 1995 ) , utilizando álgebras de Hecke doblemente afines , con la extensión al caso BC poco después a través del trabajo de van Diejen, Noumi y Sahi. 

En el caso de sistemas de raíces de tipo A _{n − 1,} los polinomios de Macdonald son simplemente polinomios simétricos en n variables con coeficientes que son funciones racionales de q y t . Una cierta versión transformada${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$de los polinomios de Macdonald (véase la fórmula combinatoria a continuación) forman una base ortogonal del espacio de funciones simétricas sobre${\displaystyle \mathbb {Q} (q,t)}$y, por lo tanto, pueden expresarse en términos de funciones de Schur.${\displaystyle s_{\lambda }}$Los coeficientes K _λμ ( q , t ) de estas relaciones se denominan coeficientes de Kostka - Macdonald o coeficientes qt -Kostka. Macdonald conjeturó que los coeficientes de Kostka - Macdonald eran polinomios en q y t con coeficientes enteros no negativos. Estas conjeturas ya han sido demostradas; el paso final y más difícil fue demostrar la positividad, lo cual fue realizado por Mark Haiman (2001), al demostrar la conjetura n !. 

En combinatoria algebraica, sigue siendo un problema abierto fundamental encontrar una fórmula combinatoria para los coeficientes de qt -Kostka.

La conjetura n !  de Adriano Garsia y Mark Haiman afirma que para cada partición μ de n el espacio

${\displaystyle D_{\mu }=C[\partial _{x},\partial _{y}]\,\Delta _{\mu }}$

abarcado por todas las derivadas parciales superiores de

${\displaystyle \Delta _{\mu }=\det(x_{i}^{p_{j}}y_{i}^{q_{j}})_{1\leq i,j,\leq n}}$

tiene dimensión n !, donde ( p _j , q _j ) recorren los n elementos del diagrama de la partición μ, considerada como un subconjunto de los pares de enteros no negativos. Por ejemplo, si μ es la partición 3  =  2  +  1 de n  =  3, entonces los pares ( p _j , q _j ) son (0,  0), (0,  1), (1,  0), y el espacio D _μ está generado por

${\displaystyle \Delta _{\mu }=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}$

${\displaystyle y_{2}-y_{3}}$

${\displaystyle y_{3}-y_{1}}$

${\displaystyle x_{3}-x_{2}}$

${\displaystyle x_{1}-x_{3}}$

${\displaystyle 1}$

que tiene dimensión 6  =  3 ! .

La demostración de Haiman de la conjetura de positividad de Macdonald y la conjetura n ! implicó demostrar que el esquema de Hilbert isoespectral de n puntos en un plano era Cohen-Macaulay (e incluso Gorenstein ). Resultados anteriores de Haiman y Garsia ya habían demostrado que esto implicaba la conjetura n !, y que esta última implicaba que los coeficientes de Kostka - Macdonald eran multiplicidades de caracteres graduadas para los módulos D _μ . Esto implica inmediatamente la conjetura de positividad de Macdonald porque las multiplicidades de caracteres deben ser enteros no negativos.

Ian Grojnowski y Mark Haiman encontraron otra prueba de la conjetura de positividad de Macdonald al demostrar una conjetura de positividad para polinomios LLT .

En 2005, J. Haglund, M. Haiman y N. Loehr ^{[ 1 ]} dieron la primera demostración de una interpretación combinatoria de los polinomios de Macdonald. En 1988, IG Macdonald ^{[ 2 ]} dio la segunda demostración de una interpretación combinatoria de los polinomios de Macdonald (ecuaciones (4.11) y (5.13)). La fórmula de Macdonald es diferente a la del trabajo de Haglund, Haiman y Loehr, con muchos menos términos (esta fórmula también se demuestra en el trabajo seminal de Macdonald, ^{[ 3 ]} Cap. VI (7.13)). Si bien son muy útiles para el cálculo e interesantes por derecho propio, sus fórmulas combinatorias no implican inmediatamente la positividad de los coeficientes de Kostka-Macdonald.${\displaystyle K_{\lambda \mu }(q,t),}$ya que proporcionan la descomposición de los polinomios de Macdonald en funciones simétricas monomiales en lugar de en funciones de Schur.

Escrito en polinomios de Macdonald transformados.${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$en lugar de lo habitual${\displaystyle P_{\lambda }}$, ellos son

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=\sum _{\sigma$ :\mu \to \mathbb {Z} _{+}}q^{inv(\sigma )}t^{maj(\sigma )}x^{\sigma }}

donde σ es un relleno del diagrama de Young de forma μ, inv y maj son ciertas estadísticas combinatorias (funciones) definidas en el relleno σ. Esta fórmula expresa los polinomios de Macdonald en infinitas variables. Para obtener los polinomios en n variables, simplemente restrinja la fórmula a rellenos que solo utilicen los enteros 1, 2, ..., n . El término x ^σ debe interpretarse como${\displaystyle x_{1}^{\sigma _{1}}x_{2}^{\sigma _{2}}\cdots }$donde σ _i es el número de cajas en el relleno de μ con contenido i .

Los polinomios de Macdonald transformados${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$En la fórmula anterior, los términos están relacionados con los polinomios clásicos de Macdonald.${\displaystyle P_{\lambda }}$mediante una secuencia de transformaciones. Primero, la forma integral de los polinomios de Macdonald, denotada${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)}$, es un reescalado de${\displaystyle P_{\lambda }(x;q,t)}$que elimina los denominadores de los coeficientes:

${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)=\prod _{s\in D(\lambda )}(1-q^{a(s)}t^{1+l(s)})\cdot P_{\lambda }(x;q,t)}$

dónde${\displaystyle D(\lambda )}$es la colección de cuadrados en el diagrama de Young de${\displaystyle \lambda }$, y${\displaystyle a(s)}$y${\displaystyle l(s)}$denotan el brazo y la pierna del cuadrado${\displaystyle s}$Como se muestra en la figura. Nota: La figura de la derecha utiliza la notación francesa para tableau, que está invertida verticalmente con respecto a la notación inglesa utilizada en la página de Wikipedia sobre diagramas de Young. La notación francesa se usa con mayor frecuencia en el estudio de los polinomios de Macdonald.

Los polinomios de Macdonald transformados${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$entonces se puede definir en términos de la${\displaystyle J_{\mu }}$'s. Tenemos

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=t^{-n(\mu )}J_{\mu }\left[{\frac {X}{1-t^{-1}}};q,t^{-1}\right]}$

dónde

${\displaystyle n(\mu )=\sum _{i}\mu _{i}\cdot (i-1).}$

La notación entre corchetes anterior denota sustitución pletística .

Esta fórmula se puede utilizar para demostrar la fórmula de Knop y Sahi para los polinomios de Jack .

En 1995, Macdonald introdujo un análogo no simétrico de los polinomios de Macdonald simétricos, y estos últimos pueden recuperarse fácilmente a partir de su contraparte no simétrica. En su definición original, demuestra que los polinomios de Macdonald no simétricos constituyen una familia única de polinomios ortogonales a un determinado producto interno, y que, además, satisfacen una propiedad de triangularidad al expandirse en la base monomial.

En 2007, Haglund, Haiman y Loehr proporcionaron una fórmula combinatoria para los polinomios de Macdonald no simétricos.

Los polinomios de Macdonald no simétricos se especializan en caracteres de Demazure tomando q=t=0, y en polinomios clave cuando q=t=∞.

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• Macdonald, IG (1982), "Algunas conjeturas para sistemas de raíces", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988–1007 , doi : 10.1137/0513070 , ISSN 0036-1410 , MR 0674768  
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• Macdonald, IG. Funciones simétricas y polinomios ortogonales. Conferencias en memoria de la decana Jacqueline B. Lewis, presentadas en la Universidad de Rutgers, New Brunswick, NJ. Serie de conferencias universitarias, 12. Sociedad Matemática Americana, Providence, RI, 1998. xvi+53 págs. ISBN 0-8218-0770-6MR 1488699 
• Macdonald, IG Álgebras afines de Hecke y polinomios ortogonales. Seminario Bourbaki 797 (1995).
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• Página de Mike Zabrocki sobre polinomios de Macdonald .
• Algunos de los artículos de Haiman sobre polinomios de Macdonald.