Fórmula ELSV

En matemáticas , la fórmula ELSV , que recibe su nombre de sus cuatro autores Torsten Ekedahl , Sergei Lando , Michael Shapiro y Alek Vainshtein , es una igualdad entre un número de Hurwitz (que cuenta los recubrimientos ramificados de la esfera) y una integral sobre el espacio de módulos de curvas estables .

Varios resultados fundamentales en la teoría de intersección de espacios de módulos de curvas se pueden deducir de la fórmula ELSV, incluyendo la conjetura de Witten , las restricciones de Virasoro y la${\displaystyle \lambda _{g}}$-conjetura .

Se generaliza mediante la fórmula de Gopakumar-Mariño-Vafa .

Defina el número de Hurwitz

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

como el número de recubrimientos ramificados de la línea proyectiva compleja ( esfera de Riemann ,${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ))}$que son curvas conectadas de género g , con n preimágenes numeradas del punto en el infinito que tienen multiplicidades${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$y m puntos de ramificación más simples . Aquí, si un recubrimiento tiene un grupo de automorfismos no trivial G, debe contarse con peso.${\displaystyle 1/|G|}$.

La fórmula ELSV queda entonces de la siguiente manera:

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}={\dfrac {m!}{\#{\text{Aut}}(k_{1},\ldots ,k_{n})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}.}$

Aquí la notación es la siguiente:

• ${\displaystyle g\geq 0}$es un número entero no negativo;
• ${\displaystyle n\geq 1}$es un número entero positivo;
• ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$son números enteros positivos;
• ${\displaystyle \#\operatorname {Aut} (k_{1},\ldots ,k_{n})}$es el número de automorfismos de la n -tupla${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n});}$
• ${\displaystyle m=\sum k_{i}+n+2g-2;}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$es el espacio de módulos de curvas estables de género g con n puntos marcados;
• E es el fibrado vectorial de Hodge y c(E*) la clase de Chern total de su fibrado vectorial dual;
• ψ _i es la primera clase de Chern del fibrado de recta cotangente al i -ésimo punto marcado.

Los números

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

En el lado izquierdo, tienen una definición combinatoria y satisfacen propiedades que pueden probarse combinatoriamente. Cada una de estas propiedades se traduce en una afirmación sobre las integrales en el lado derecho de la fórmula ELSV ( Kazarian 2009 ) .

Los números de Hurwitz

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

También existe una definición en términos puramente algebraicos. Con K = k ₁ + ... + k _n y m = K + n + 2 g − 2, sean τ ₁ , ..., τ _m transposiciones en el grupo simétrico S _K y σ una permutación con n ciclos numerados de longitudes k ₁ , ..., k _n . Entonces

${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{m},\sigma )}$

es una factorización transitiva de identidad de tipo ( k1 , ..., _kn ) _si el producto

${\displaystyle \tau _{1}\cdots \tau _{m}\sigma }$

es igual a la permutación identidad y al grupo generado por

${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{m}}$

es transitivo .

Definición.${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$es el número de factorizaciones transitivas de identidad de tipo ( k ₁ , ..., k _n ) dividido por K ! .

Ejemplo A. El número${\displaystyle h_{g;k}}$es 1/ k ! veces el número de listas de transposiciones${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{k+2g-1})}$cuyo producto es un k -ciclo. En otras palabras,${\displaystyle h_{g;k}}$es 1/ k veces el número de factorizaciones de un k -ciclo dado en un producto de k + 2 g − 1 transposiciones.

La equivalencia entre las dos definiciones de números de Hurwitz (contar recubrimientos ramificados de la esfera o factorizaciones transitivas) se establece describiendo un recubrimiento ramificado mediante su monodromía . Más precisamente: se elige un punto base en la esfera, se numeran sus preimágenes del 1 al K (esto introduce un factor de K !, que explica la división por él) y se consideran las monodromías del recubrimiento respecto al punto de ramificación. Esto conduce a una factorización transitiva.

El espacio de módulos${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$es una pila de Deligne-Mumford suave de dimensión (compleja) 3 g − 3 + n . (Heurísticamente, se comporta de forma muy similar a una variedad compleja, excepto que las integrales de clases características que son números enteros para las variedades son números racionales para las pilas de Deligne-Mumford).

El fibrado de Hodge E es el fibrado vectorial de rango g sobre el espacio de módulos.${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$cuya fibra sobre una curva ( C , x ₁ , ..., x _n ) con n puntos marcados es el espacio de diferenciales abelianos en C . Sus clases de Chern se denotan por

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}$

Tenemos

${\displaystyle c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.}$

Las clases ψ. Introducción de haces de líneas .${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}}$encima${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$. La fibra de${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$sobre una curva ( C , x ₁ , ..., x _n ) es la línea cotangente a C en x _i . La primera clase de Chern de${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$se denota por

${\displaystyle \psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}}_{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}$

El integrando. La fracción${\ Displaystyle 1/(1-k_ {i} \ psi _ {i})}$se interpreta como${\displaystyle 1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots }$donde la suma se puede cortar en grado 3 g − 3 + n (la dimensión del espacio de módulos). Por lo tanto, el integrando es un producto de n + 1 factores. Desarrollamos este producto, extraemos de él la parte de grado 3 g − 3 + n y la integramos sobre el espacio de módulos.

La integral como un polinomio. De ello se deduce que la integral

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}}$

es un polinomio simétrico en las variables k ₁ , ..., k _n , cuyos monomios tienen grados entre 3 g − 3 + n y 2 g − 3 + n . El coeficiente del monomio${\displaystyle k_{1}^{d_{1}}\cdots k_{n}^{d_{n}}}$igual

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}(-1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{d_{1}}\cdots \psi _{n}^{d_{n}},}$

dónde

${\displaystyle j=3g-3+n-\sum d_{i}.}$

Observación. La polinomiosidad de los números

${\displaystyle {\frac {h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}{m!}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}!}{k_{i}^{k_{i}}}}}$

Fue conjeturado por primera vez por IP Goulden y DM Jackson. No se conoce ninguna prueba independiente de la fórmula ELSV.

Ejemplo B. Sea g = n = 1. Entonces

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].}$

Sea n = g = 1. Para simplificar la notación, denotemos k ₁ por k . Tenemos m = K + n + 2 g − 2 = k + 1.

Según el Ejemplo B, la fórmula ELSV en este caso es la siguiente:

${\displaystyle h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.}$

Por otro lado, según el Ejemplo A, el número de Hurwitz h _{1, k} es igual a 1/ k veces el número de maneras de descomponer un k -ciclo en el grupo simétrico S _k en un producto de k + 1 transposiciones. En particular, h _{1, 1} = 0 (ya que no hay transposiciones en S ₁ ), mientras que h _{1, 2} = 1/2 (ya que hay una factorización única de la transposición (1 2) en S ₂ en un producto de tres transposiciones).

Sustituyendo estos dos valores en la fórmula ELSV encontramos

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}={\frac {1}{24}}.}$

De lo cual deducimos

${\displaystyle h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}}{24}}.}$

La fórmula ELSV fue anunciada por Ekedahl et al. (1999) , pero con un signo erróneo. Fantechi y Pandharipande (2002) la demostraron para k ₁ = ... = k _n = 1 (con el signo corregido). Graber y Vakil (2003) demostraron la fórmula en generalidad utilizando técnicas de localización. La demostración anunciada por los cuatro autores iniciales siguió a ( Ekedahl et al. 2001 ) . Ahora que Li (2001) ha construido el espacio de mapas estables a la línea proyectiva relativa a un punto , se puede obtener una demostración inmediatamente aplicando la localización virtual a este espacio.

Kazarian (2009) , basándose en trabajos previos de varias personas, dio una forma unificada de deducir la mayoría de los resultados conocidos en la teoría de la intersección de${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$de la fórmula ELSV.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$Sea el espacio de mapas estables f de una curva de género g a P ¹ ( C ) tales que f tiene exactamente n polos de órdenes${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$.

El morfismo de ramificación br o el mapa de Lyashko-Looijenga asigna a${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$el conjunto no ordenado de sus m puntos de ramificación en C con multiplicidades tomadas en cuenta. En realidad, esta definición solo funciona si f es una aplicación suave. Pero tiene una extensión natural al espacio de aplicaciones estables. Por ejemplo, el valor de f en un nodo se considera un punto de ramificación doble, como se puede ver al observar la familia de curvas C _t dada por la ecuación xy = t y la familia de aplicaciones f _t ( x , y ) = x + y . Cuando t → 0, dos puntos de ramificación de f _t tienden hacia el valor de f ₀ en el nodo de C ₀ .

El morfismo ramificado es de grado finito, pero tiene fibras infinitas. Nuestro objetivo ahora es calcular su grado de dos maneras diferentes.

La primera forma consiste en contar las preimágenes de un punto genérico en la imagen. En otras palabras, contamos los recubrimientos ramificados de P ¹ ( C ) con un punto de ramificación de tipo ( k ₁ , ..., k _n ) en ∞ y m puntos de ramificación simples fijos adicionales. Este es precisamente el número de Hurwitz.${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$.

La segunda forma de hallar el grado de br es observar la preimagen del punto más degenerado, es decir, juntar todos los m puntos de ramificación en 0 en C.

La preimagen de este punto en${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$es una fibra infinita de br isomorfa al espacio de módulos${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$. En efecto, dada una curva estable con n puntos marcados, enviamos esta curva a 0 en P ¹ ( C ) y adjuntamos a sus puntos marcados n componentes racionales sobre las cuales el mapa estable tiene la forma${\displaystyle z\mapsto z^{k_{1}},\dots ,z\mapsto z^{k_{n}}}$. Así obtenemos todos los mapas estables en${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$no ramificada fuera de 0 e ∞. Los métodos estándar de geometría algebraica permiten hallar el grado de una aplicación al observar una fibra infinita y su fibrado normal. El resultado se expresa como una integral de ciertas clases características sobre la fibra infinita. En nuestro caso, esta integral resulta ser igual al lado derecho de la fórmula ELSV.

De este modo, la fórmula ELSV expresa la igualdad entre dos maneras de calcular el grado del morfismo de ramificación.

• Ekedahl, T.; Lando, S.; Shapiro, M.; Vainstein, A. (1999). "Sobre los números de Hurwitz y las integrales de Hodge". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 328 (12): 1175–1180 . arXiv : matemáticas/9902104 . Código Bib : 1999CRASM.328.1175E . doi : 10.1016/S0764-4442(99)80435-2 . S2CID 15218497 . 
• Ekedahl, T.; Lando, S.; Shapiro, M.; Vainstein, A. (2001). "Números de Hurwitz e intersecciones en espacios de módulos de curvas". Invenciones Mathematicae . 146 (2): 297– 327. arXiv : matemáticas/0004096 . Código Bib : 2001InMat.146..297E . doi : 10.1007/s002220100164 . S2CID 10881259 . 
• Fantechi, B.; Pandharipande, R. (2002). "Mapas estables y divisores de ramas". Composición Matemática . 130 (3): 345– 364. arXiv : matemáticas/9905104 . Bibcode : 1999matemáticas......5104F . doi : 10.1023/A:1014347115536 . S2CID 1124032 . 
• Graber, T.; Vakil, R. (2003). "Integrales de Hodge y números de Hurwitz mediante localización virtual". Compositio Mathematica . 135 (1): 25– 36. arXiv : math/0003028 . Bibcode : 2000math......3028G . doi : 10.1023/A:1021791611677 . S2CID 15706096 . 
• Kazarian, Maxim (2009). "Jerarquía KP para integrales de Hodge" . Advances in Mathematics . 221 (1): 1– 21. arXiv : 0809.3263 . doi : 10.1016/j.aim.2008.10.017 .
• Li, Jun (2001). "Morfismos estables a esquemas singulares y morfismos estables relativos" . Journal of Differential Geometry . 57 (3): 509– 578. arXiv : math/0009097 . doi : 10.4310/jdg/1090348132 .