Problema de programación de lotes económicos

El problema de programación económica de lotes ( ELSP , por sus siglas en inglés) es un problema de gestión de operaciones y teoría de inventarios que ha sido estudiado por muchos investigadores durante más de 50 años. El término fue utilizado por primera vez en 1958 por el profesor Jack D. Rogers de Berkeley, ^{[ 1 ]} quien extendió el modelo de cantidad económica de pedido al caso en que hay varios productos que se deben producir en la misma máquina , de modo que se debe decidir tanto el tamaño del lote para cada producto como cuándo se debe producir cada lote. El método ilustrado por Jack D. Rogers se basa en un artículo de 1956 de Welch, W. Evert. ^{[ 2 ]} El ELSP es un modelo matemático de un problema común para casi cualquier empresa o industria: planificar qué fabricar, cuándo fabricar y cuánto fabricar.

El ELSP clásico se centra en programar la producción de varios productos en una sola máquina con el fin de minimizar los costes totales incurridos (que incluyen los costes de preparación y los costes de mantenimiento de inventario).

Suponemos una demanda conocida y no variable.${\displaystyle d_{j},j=1,\cdots ,m}$Para los m productos (por ejemplo, podría haber m=3 productos y los clientes requieren 7 unidades diarias del Producto 1, 5 unidades diarias del Producto 2 y 2 unidades diarias del Producto 3). La demanda de los clientes se satisface con el inventario, el cual es reabastecido por nuestra planta de producción.

Existe una única máquina que puede fabricar todos los productos, pero no de forma perfectamente intercambiable. En cambio, la máquina debe configurarse para producir un producto, lo que conlleva un coste y/o tiempo de configuración, tras lo cual producirá este producto a un ritmo conocido.${\displaystyle P_{j}}$Cuando se desea producir un producto diferente, la máquina se detiene y se requiere otra configuración costosa para comenzar a producir el siguiente producto.${\displaystyle S_{ij}}$sea ​​el costo de configuración al cambiar del producto i al producto j y el costo de inventario${\displaystyle h_{j}}$Se cobra en función del nivel de inventario promedio de cada artículo. N es el número de lotes realizados, U la tasa de uso, L el tamaño del lote y T el período de planificación.

Para dar un ejemplo concreto, la máquina podría ser una embotelladora y los productos podrían ser cajas de jugo de manzana , jugo de naranja y leche embotellados . La configuración corresponde al proceso de detener la máquina, limpiarla y cargar el tanque con el líquido deseado. Este cambio de producto no debe hacerse con demasiada frecuencia, ya que los costos de configuración serían elevados; sin embargo, una producción excesiva de jugo de manzana sería indeseable, pues generaría una gran inversión en inventario y costos de almacenamiento para las cajas de jugo de manzana no vendidas, y posiblemente desabastecimiento de jugo de naranja y leche. El ELSP busca el equilibrio óptimo entre estos dos extremos.

1. Definir:

${\displaystyle \theta =T/N=L/U}$= período de uso

c _L =${\displaystyle {\frac {hL(PU)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}}$, el costo unitario para un lote de tamaño L

${\displaystyle C_{N}=NLc_{L}=UT\left[{\frac {hL\left(PU\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}\right]}$El costo total para N lotes. Para obtener el óptimo :

${\displaystyle {\frac {d(C_{N})}{dL}}={\frac {hT\left(PU\right)}{2P}}-{\frac {SUT}{L^{2}}}=0}$

Lo cual produce${\displaystyle L_{0}={\sqrt {\frac {2USP}{h(PU)}}}}$como el tamaño de lote óptimo. Ahora bien:

${\displaystyle C_{N_{L\pm a}}=UT\left[{\frac {h\left(L\pm a\right)\left(PU\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L\pm a}}\right]}$sea ​​el costo total para N _L±a lotes de tamaño L±a

${\displaystyle +\Delta =C_{N_{L+a}}-C_{N}=UT\left[{\frac {ha\left(PU\right)}{2PU}}-{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}+L}}\right]}$sea ​​el costo incremental de cambiar del tamaño L a L+a

${\displaystyle -\Delta =C_{N_{La}}-C_{N}=UT\left[-{\frac {ha\left(PU\right)}{2PU}}+{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}-L}}\right]}$sea ​​el costo incremental de cambiar de la talla L a la talla L

2.

Cantidad total de un artículo requerida = UT

Tiempo total de producción de un artículo = UT/P

Compruebe que se satisface la capacidad productiva :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}T}{P_{i}}}\leq T}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}}{P_{i}}}\leq 1}$

3. Calcular:

${\displaystyle \theta _{0}={\frac {L_{0}}{U}}}$como un número entero

Si para un determinado elemento, θ ₀ no es un número par, calcule:

${\displaystyle L=U\left(\theta _{0}+1\right)}$

${\displaystyle L=U\left(\theta _{0}-1\right)}$

Y cambia L ₀ a L en la dirección que genere el menor aumento de costo entre +Δ y -Δ.

4. Calcula t _p =L/P para cada elemento y enuméralos en orden creciente de θ=L/U.

5. Para cada par de elementos ij, verifique:

${\displaystyle \theta _{i}-t_{p_{i}}\geq t_{p_{j}}}$

${\displaystyle \theta _{j}-t_{p_{j}}\geq t_{p_{i}}}$

Para formar pares, tome el i- ^ésimo con el i+1, i+2, etc. Si se incumple alguna de estas desigualdades, calcule +Δ y -Δ para incrementos de tamaño de lote de 2U y, en orden de magnitud del cambio de costo, realice cambios de tamaño de lote paso a paso. Repita este paso hasta que se cumplan ambas desigualdades.

6.${\displaystyle e_{ij}=d-t_{p_{i}}\leq \theta _{i}-t_{p_{i}}-t_{p_{j}}}$

1. Forme todos los pares posibles como en el paso 5.
2. Para cada par, seleccione θ _i < θ _j
3. Determina si t _{p i} > t _{p j} , t _{p i} < t _{p j} o t _{p i} = t _{p j}
4. Seleccione un valor para e _ij (e _ij =0,1,2,3,...,θ _i - t _{p i} - t _{p j} ) y calcule t _pi +e y t _pj +e
5. Calcule M _i θ _i -M _j θ _j estableciendo M _i =k y M _j =1,2,3,...,T/θ _j ; ∀k∈(1,2,...,T/θ _i ). Luego verifique si se cumple alguna de las siguientes condiciones de contorno:

para${\displaystyle t_{p_{i}}>t_{p_{j}}}$o${\displaystyle t_{p_{i}}<t_{p_{j}}}$${\displaystyle {\begin{cases}t_{p_{i}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{i}}+e\\t_{p_{j}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>t_{p_{i}}+e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{j}}+e\end{cases}}}$

para${\displaystyle t_{p_{i}}=t_{p_{j}}}$${\displaystyle {\begin{cases}t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>t_{p_{j}}+e\\t_{p_{i}}+e=M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}=t_{p_{j}}+e\end{cases}}}$

Si no se cumple ninguna de las condiciones de contorno, entonces e _ij no interfiere: si i=1 en e _ij , seleccione el siguiente e mayor en el subpaso 4; si i≠1, vuelva al subpaso 2. Si se cumple alguna condición de contorno, vaya al subpaso 4. Si, para cualquier par, no aparece ningún e que no interfiera, vuelva al paso 5.

7. Ingresa los elementos en el cronograma y verifica su viabilidad.

En la práctica, es de suma importancia diseñar, planificar y operar capacidad compartida entre múltiples productos, considerando los tiempos y costos de cambio en un entorno de demanda incierta. Más allá de la selección de los tiempos de ciclo (esperados), con un cierto margen de seguridad ("tiempo de seguridad"), también se debe considerar la cantidad de stock de seguridad (stock de amortiguación) necesaria para alcanzar el nivel de servicio deseado. ^{[ 3 ]}

El problema es bien conocido en la comunidad de investigación operativa , y se ha generado una gran cantidad de trabajos de investigación académica para mejorar el modelo y crear nuevas variaciones que resuelvan problemas específicos.

El modelo se conoce como un problema NP-difícil, ya que actualmente no es posible encontrar la solución óptima sin comprobar prácticamente todas las posibilidades. Lo que se ha hecho sigue dos enfoques: restringir la solución a un tipo específico (lo que permite encontrar la solución óptima para el problema más restringido), o bien, aproximar la solución del problema completo utilizando heurísticas o algoritmos genéticos . ^{[ 4 ]}

• Tasa de llenado infinita para la pieza que se está produciendo: Cantidad económica de pedido
• Tasa de llenado constante para la pieza que se está produciendo: Cantidad económica de producción
• La demanda es aleatoria: modelo clásico del vendedor de periódicos
• La demanda varía con el tiempo: modelo de tamaño de lote dinámico.

• SE Elmaghraby: El problema de la programación económica de lotes (ELSP): revisión y extensiones, Management Science, vol. 24, n.° 6, febrero de 1978, págs.  587-598 .
• MA Lopez, BG Kingsman: El problema de la programación económica de lotes: teoría y práctica, Revista Internacional de Economía de la Producción, vol. 23, octubre de 1991, págs.  147-164
• Michael Pinedo, Planificación y programación en la fabricación y los servicios, Springer, 2005. ISBN 0-387-22198-0

• Gallego: El ELSP, Universidad de Columbia, 2004