Modelo de tamaño de lote dinámico

El modelo de tamaño de lote dinámico en la teoría de inventarios es una generalización del modelo de cantidad económica de pedido que considera que la demanda del producto varía con el tiempo. El modelo fue introducido por Harvey M. Wagner y Thomson M. Whitin en 1958. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Disponemos de una previsión de la demanda de producto d _t durante un horizonte temporal relevante t=1,2,...,N (por ejemplo, podríamos saber cuántos widgets se necesitarán cada semana durante las próximas 52 semanas). Existe un coste de preparación s _t incurrido por cada pedido y un coste de mantenimiento de inventario i _t por artículo por período ( s _t e i _t también pueden variar con el tiempo si se desea). El problema consiste en determinar cuántas unidades x _t pedir ahora para minimizar la suma del coste de preparación y el coste de inventario. Denotemos el inventario :

${\displaystyle I=I_{0}+\sum _{j=1}^{t-1}x_{j}-\sum _{j=1}^{t-1}d_{j}\geq 0}$

La ecuación funcional que representa la política de costo mínimo es:

${\displaystyle f_{t}(I)={\underset {x_{t}\geq 0 \atop I+x_{t}\geq d_{t}}{\min }}\left[i_{t-1}I+H(x_{t})s_{t}+f_{t+1}\left(I+x_{t}-d_{t}\right)\right]}$

Donde H() es la función escalón de Heaviside . Wagner y Whitin ^{[ 1 ]} demostraron los siguientes cuatro teoremas:

• Existe un programa óptimo tal que I x _t =0; ∀t
• Existe un programa óptimo tal que para todo t: o bien x _t =0 o bien${\displaystyle x_{t}=\textstyle \sum _{j=t}^{k}d_{j}}$para algún k (t≤k≤N)
• Existe un programa óptimo tal que si d _t* es satisfecho por algún x _t** , t**<t*, entonces d _t , t=t**+1,...,t*-1, también es satisfecho por x _t**.
• Dado que I = 0 para el período t, es óptimo considerar los períodos 1 a t - 1 por separado.

Los teoremas precedentes se utilizan en la demostración del Teorema del Horizonte de Planificación. ^{[ 1 ]} Sea

${\displaystyle F(t)=\min \left[{{\underset {1\leq j<t}{\min }}\left[s_{j}+\sum _{h=j}^{t-1}\sum _{k=h+1}^{t}i_{h}d_{k}+F(j-1)\right] \atop s_{t}+F(t-1)}\right]}$

Denotemos por F(t) el programa de costo mínimo para los periodos 1 a t. Si en el periodo t* el mínimo en F(t) ocurre para j = t** ≤ t*, entonces en los periodos t > t* es suficiente considerar solo t** ≤ j ≤ t. En particular, si t* = t**, entonces es suficiente considerar programas tales que x _t* > 0.

Wagner y Whitin dieron un algoritmo para encontrar la solución óptima mediante programación dinámica . ^{[ 1 ]} Comencemos con t*=1:

1. Consideremos las políticas de pedido en el período t**, t** = 1, 2, ... , t*, y de satisfacción de las demandas d _t , t = t**, t** + 1, ... , t*, mediante este pedido.
2. Sume H( x _t** ) s _t** + i _t** I _t** a los costos de actuar de manera óptima para los períodos 1 a t**-1 determinados en la iteración anterior del algoritmo.
3. De entre estas t* alternativas, seleccione la política de costo mínimo para los períodos 1 a t*.
4. Proceda al período t*+1 (o deténgase si t*=N).

Debido a que algunos percibieron este método como demasiado complejo , varios autores también desarrollaron heurísticas aproximadas (por ejemplo, la heurística de Silver-Meal ^{[ 3 ]} ) para el problema.

• Tasa de llenado infinita para la pieza que se está produciendo: Cantidad económica de pedido
• Tasa de llenado constante para la pieza que se está produciendo: Cantidad de producción económica
• La demanda es aleatoria: modelo clásico del vendedor de periódicos
• Varios productos fabricados en la misma máquina: Problema de programación económica de lotes
• Punto de reorden
• Modelo base de stock

• Lee, Chung-Yee, Sila Çetinkaya y Albert PM Wagelmans . " Un modelo dinámico de dimensionamiento de lotes con ventanas de tiempo de demanda ". Management Science 47.10 (2001): 1384–1395.
• Federgruen, Awi y Michal Tzur. "Un algoritmo directo simple para resolver modelos generales de dimensionamiento de lotes dinámicos con n períodos en 0 (n log n) o 0 (n) tiempo." Management Science 37.8 (1991): 909–925.
• Jans, Raf y Zeger Degraeve. «Metaheurísticas para el dimensionamiento dinámico de lotes: una revisión y comparación de enfoques de solución». European Journal of Operational Research 177.3 (2007): 1855–1875.
• HM Wagner y T. Whitin, "Versión dinámica del modelo de tamaño económico de lote", Management Science , vol. 5, págs.  89-96, 1958.
• HM Wagner : "Comentarios sobre la versión dinámica del modelo de tamaño de lote económico", Management Science , vol. 50, n.º 12, suplemento, diciembre de 2004.

• Resolución del problema de dimensionamiento de lotes mediante el algoritmo de Wagner-Whitin
• Modelo de tamaño de lote dinámico
• Implementación en Python del algoritmo de Wagner-Whitin.