Teorema de Egorov

En la teoría de la medida , un área de las matemáticas , el teorema de Egorov establece una condición para la convergencia uniforme de una secuencia convergente puntual de funciones mensurables . También se lo denomina teorema de Severini-Egoroff o teorema de Severini-Egorov , en honor a Carlo Severini , un matemático italiano , y Dmitri Egorov , un físico y geómetra ruso , quienes publicaron demostraciones independientes en 1910 y 1911 respectivamente.

El teorema de Egorov se puede utilizar junto con funciones continuas con soporte compacto para demostrar el teorema de Lusin para funciones integrables .

La primera demostración del teorema fue dada por Carlo Severini en 1910: ^{[1] [2]} utilizó el resultado como una herramienta en su investigación sobre series de funciones ortogonales . Su trabajo aparentemente pasó desapercibido fuera de Italia , probablemente debido al hecho de que está escrito en italiano , apareció en una revista científica con difusión limitada y fue considerado solo como un medio para obtener otros teoremas. Un año después, Dmitri Egorov publicó sus resultados demostrados de forma independiente, ^[3] y el teorema se hizo ampliamente conocido bajo su nombre: sin embargo, no es raro encontrar referencias a este teorema como el teorema de Severini-Egoroff. Los primeros matemáticos en demostrar independientemente el teorema en el entorno del espacio de medida abstracto común hoy en día fueron Frigyes Riesz  (1922, 1928), y Wacław Sierpiński  (1928): ^[4] una generalización anterior se debe a Nikolai Luzin , quien logró relajar ligeramente el requisito de finitud de medida del dominio de convergencia de las funciones convergentes puntuales en el amplio artículo ^{[ se necesita más explicación ]} (Luzin 1916). ^{[5] Mucho más tarde,} Pavel Korovkin dio otras generalizaciones en el artículo (Korovkin 1947), y Gabriel Mokobodzki en el artículo (Mokobodzki 1970).

Sea ( f _n ) una secuencia de funciones medibles de valor M , donde M es un espacio métrico separable, en algún espacio de medida ( X ,Σ,μ), y supongamos que existe un subconjunto medible A ⊆ X , con μ-medida finita, tal que ( f _n ) converge μ- casi en todas partes en A a una función límite f . Se cumple el siguiente resultado: para cada ε > 0, existe un subconjunto medible B de A tal que μ( B ) < ε, y ( f _n ) converge a f uniformemente en A  \  B .

Aquí, μ( B ) denota la μ-medida de B . En palabras, el teorema dice que la convergencia puntual casi en todas partes en A implica la convergencia uniforme aparentemente mucho más fuerte en todas partes excepto en algún subconjunto B de medida arbitrariamente pequeña. Este tipo de convergencia también se llama convergencia casi uniforme .

• La hipótesis μ( A ) < ∞ es necesaria. Para ver esto, es simple construir un contraejemplo cuando μ es la medida de Lebesgue : considere la secuencia de funciones indicadoras de valor real definidas en la línea real . Esta secuencia converge puntualmente a la función cero en todas partes pero no converge uniformemente en para cualquier conjunto B de medida finita: un contraejemplo en el espacio vectorial real general -dimensional puede construirse como lo mostró Cafiero (1959, p. 302).$${\displaystyle f_{n}(x)=1_{[n,n+1]}(x),\qquad n\in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus B}$${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• La separabilidad del espacio métrico es necesaria para garantizar que, para funciones mensurables de valor M f y g , la distancia d ( f ( x ),  g ( x )) sea nuevamente una función medible de valor real de x .

Solución . Para los números naturales n y k , definamos el conjunto E _n,k mediante la unión${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle E_{n,k}=\bigcup _{m\geq n}\left\{x\in A\,{\Big |}\,|f_{m}(x)-f(x)|\geq {\frac {1}{k}}\right\}.}$

Estos conjuntos se hacen más pequeños a medida que n aumenta, lo que significa que E _{n +1, k} es siempre un subconjunto de E _n,k , porque la primera unión involucra menos conjuntos. Un punto x , para el cual la secuencia ( f _m ( x )) converge a f ( x ), no puede estar en cada E _n,k para un k fijo , porque f _m ( x ) tiene que permanecer más cerca de f ( x ) que 1/ k eventualmente. Por lo tanto, por el supuesto de μ-casi en todas partes convergencia puntual en A ,

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n,k}\right)=0}$

para cada k . Como A es de medida finita, tenemos continuidad desde arriba ; por lo tanto, existe, para cada k , algún número natural n _k tal que

${\displaystyle \mu(E_{n_{k},k})<{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}.}$

Para x en este conjunto , consideramos que la velocidad de aproximación a la vecindad 1/ k de f ( x ) es demasiado lenta. Definir

${\displaystyle B=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }E_{n_{k},k}}$

como el conjunto de todos aquellos puntos x en A , para los cuales la velocidad de aproximación a al menos uno de estos 1/ k -vecindarios de f ( x ) es demasiado lenta. En la diferencia de conjuntos tenemos, por lo tanto, convergencia uniforme. Explícitamente, para cualquier , sea , entonces para cualquier , tenemos en todos los . ${\displaystyle A\setmenos B}$${\displaystyle \épsilon}$${\displaystyle {\frac {1}{k}}<\epsilon }$$Estilo de visualización n>n_ {k}}$${\displaystyle |f_{n}-f|<\epsilon}$${\displaystyle A\setmenos B}$

Apelando a la aditividad sigma de μ y utilizando la serie geométrica , obtenemos

${\displaystyle \mu (B)\leq \sum _{k\in \mathbb {N}}\mu (E_{n_{k},k})<\sum _{k\in \mathbb {N}}}{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\varepsilon .}$

Se presenta aquí la generalización de Nikolai Luzin del teorema de Severini-Egorov según Saks (1937, p. 19).

Bajo la misma hipótesis del teorema abstracto de Severini-Egorov, supongamos que A es la unión de una secuencia de conjuntos medibles de medida μ finita, y ( f _n ) es una secuencia dada de funciones medibles de valor M en algún espacio de medida ( X ,Σ,μ), tal que ( f _n ) converge μ- casi en todas partes en A a una función límite f , entonces A puede expresarse como la unión de una secuencia de conjuntos medibles H , A ₁ , A ₂ ,... tales que μ( H ) = 0 y ( f _n ) converge a f uniformemente en cada conjunto A _k .

Es suficiente considerar el caso en el que el conjunto A es en sí mismo de medida μ finita: utilizando esta hipótesis y el teorema estándar de Severini-Egorov, es posible definir por inducción matemática una secuencia de conjuntos { A _k } _k=1,2,... tales que

${\displaystyle \mu \left(A\setminus \bigcup _{k=1}^{N}A_{k}\right)\leq {\frac {1}{N}}}$

y tal que ( f _n ) converge a f uniformemente en cada conjunto A _k para cada k . Eligiendo

${\displaystyle H=A\setminus \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}}$

entonces obviamente μ( H ) = 0 y el teorema queda demostrado.

La prueba de la versión de Korovkin sigue de cerca la versión de Kharazishvili (2000, pp. 183-184), que sin embargo la generaliza hasta cierto punto al considerar funcionales admisibles en lugar de medidas y desigualdades no negativas y respectivamente en las condiciones 1 y 2. ${\estilo de visualización \leq}$${\estilo de visualización \geq}$

Sea ( M , d ) un espacio métrico separable y ( X , Σ ) un espacio medible : considérese un conjunto medible A y una clase que contiene A y sus subconjuntos mesurables tales que sus numerables en uniones e intersecciones pertenecen a la misma clase. Supóngase que existe una medida no negativa μ tal que μ( A ) existe y ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

1. ${\displaystyle \mu(\cap A_{n})=\lim \mu(A_{n})}$si con para todo n${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots }$${\displaystyle A_{n}\in {\mathfrak {A}}}$
2. ${\displaystyle \mu(\cup A_{n})=\lim \mu(A_{n})}$si con .${\displaystyle A_{1}\subconjunto A_{2}\subconjunto \cdots }$${\displaystyle \cup A_{n}\in {\mathfrak {A}}}$

Si ( f _n ) es una secuencia de funciones mensurables de valor M que convergen μ- casi en todas partes hacia una función límite f , entonces existe un subconjunto A′ de A tal que 0 < μ( A ) − μ( A′ ) < ε y donde la convergencia también es uniforme. ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$

Considérese la familia indexada de conjuntos cuyo conjunto índice es el conjunto de números naturales definidos de la siguiente manera: ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle A_{0,m}=\left\{x\in A|d(f_{n}(x),f(x))\leq 1\ \forall n\geq m\right\}}$

Obviamente

${\displaystyle A_{0,1}\subseteq A_{0,2}\subseteq A_{0,3}\subseteq \dots }$

y

${\displaystyle A=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{0,m}}$

por lo tanto existe un numero natural m ₀ tal que poniendo A _{0,m 0} = A ₀ se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{0})\leq \varepsilon }$

Utilizando A ₀ es posible definir la siguiente familia indexada

${\displaystyle A_{1,m}=\left\{x\in A_{0}\left|d(f_{m}(x),f(x))\leq {\frac {1}{2}}\ \forall n\geq m\right.\right\}}$

satisfaciendo las dos relaciones siguientes, análogas a las encontradas anteriormente, es decir

${\displaystyle A_{1,1}\subseteq A_{1,2}\subseteq A_{1,3}\subseteq \dots }$

y

${\displaystyle A_{0}=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{1,m}}$

Este hecho nos permite definir el conjunto A _{1,m 1} = A ₁ , donde m ₁ es un número natural seguramente existente tal que

${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{1})\leq \varepsilon }$

Al iterar la construcción mostrada, se define otra familia indexada del conjunto { A _n } tal que tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \cdots }$
• ${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{m})\leq \varepsilon }$a pesar de${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
• para cada uno existe k _m tal que para todos entonces para todos${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq k_{m}}$${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))\leq 2^{-m}}$${\displaystyle x\in A_{m}}$

y finalmente poniendo

${\displaystyle A'=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

La tesis se demuestra fácilmente.

• Teorema de Egorov en PlanetMath .
• Humpreys, Alexis. "Teorema de Egorov". MathWorld .
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Teorema de Egorov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press