Múltiple de Einstein

En geometría diferencial y física matemática , una variedad de Einstein es una variedad diferenciable riemanniana o pseudoriemanniana cuyo tensor de Ricci es proporcional a la métrica . Reciben su nombre de Albert Einstein porque esta condición equivale a decir que la métrica es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío (con constante cosmológica ), aunque tanto la dimensión como la signatura de la métrica pueden ser arbitrarias, por lo que no se restringe a variedades lorentzianas (incluidas las variedades lorentzianas de cuatro dimensiones que se estudian habitualmente en la relatividad general ). Las variedades de Einstein en cuatro dimensiones euclidianas se estudian como instantones gravitacionales .

Si${\displaystyle M}$es el subyacente${\displaystyle n}$variedad -dimensional y${\displaystyle g}$es su tensor métrico , la condición de Einstein significa que

${\displaystyle \mathrm {Ric} =kg}$

por alguna constante${\displaystyle k}$, dónde${\displaystyle \operatorname {Ric} }$denota el tensor de Ricci de${\displaystyle g}$Variedades de Einstein con${\displaystyle k=0}$se denominan variedades de Ricci planas .

En coordenadas locales la condición de que${\displaystyle (M,g)}$ser una variedad de Einstein es simplemente

${\displaystyle R_{ab}=kg_{ab}.}$

Tomando la traza de ambos lados se revela que la constante de proporcionalidad${\displaystyle k}$para las variedades de Einstein está relacionado con la curvatura escalar${\displaystyle R}$por

${\displaystyle R=nk,}$

dónde${\displaystyle n}$es la dimensión de${\displaystyle M}$.

En la relatividad general , la ecuación de Einstein con una constante cosmológica${\displaystyle \Lambda }$es

${\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R+g_{ab}\Lambda =\kappa T_{ab},}$

dónde${\displaystyle \kappa }$es la constante gravitacional de Einstein . ^{[ 1 ]} El tensor de energía-impulso${\displaystyle T_{ab}}$da el contenido de materia y energía del espaciotiempo subyacente. En el vacío (una región del espaciotiempo desprovista de materia)${\displaystyle T_{ab}=0}$y la ecuación de Einstein se puede reescribir en la forma (suponiendo que${\displaystyle n\neq 2}$):

${\displaystyle R_{ab}={\frac {2\Lambda }{n-2}}\,g_{ab}.}$

Por lo tanto, las soluciones de vacío de la ecuación de Einstein son variedades de Einstein (lorentzianas) con${\displaystyle k}$proporcional a la constante cosmológica.

Algunos ejemplos sencillos de variedades de Einstein son:

• Todas las variedades bidimensionales admiten métricas de Einstein. De hecho, en esta dimensión, una métrica es de Einstein si y solo si tiene curvatura gaussiana constante. El teorema de uniformización clásico para superficies de Riemann garantiza que existe una métrica de este tipo en cada clase conforme de cualquier variedad bidimensional.
• Cualquier variedad con curvatura seccional constante es una variedad de Einstein , en particular:
  • El espacio euclidiano , que es plano, es un ejemplo sencillo de espacio Ricci-plano, y por lo tanto, de métrica de Einstein.
  • La n -esfera ,${\displaystyle S^{n}}$, con la métrica redonda es Einstein con${\displaystyle k=n-1}$.
  • El espacio hiperbólico con la métrica canónica es Einstein con${\displaystyle k=-(n-1)}$.
• Espacio proyectivo complejo ,${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$, con la métrica de Fubini-Study , tienen${\displaystyle k=2n+2.}$
• Las variedades de Calabi-Yau admiten una métrica de Einstein que también es de Kähler , con constante de Einstein${\displaystyle k=0}$Estas métricas no son únicas, sino que se presentan en familias; existe una métrica de Calabi-Yau en cada clase de Kähler, y la métrica también depende de la estructura compleja elegida. Por ejemplo, existe una familia de 60 parámetros de estas métricas en K3 , 57 de los cuales dan lugar a métricas de Einstein que no están relacionadas por isometrías ni reescalamientos.
• Las métricas de Kähler-Einstein existen en una variedad de variedades complejas compactas debido a los resultados de existencia de Shing-Tung Yau y al estudio posterior de la K-estabilidad , especialmente en el caso de las variedades de Fano .
• Los espacios simétricos irreducibles, según la clasificación de Élie Cartan, son siempre de Einstein. Entre estos espacios, todos los compactos tienen una constante de Einstein positiva.${\displaystyle k}$Entre los ejemplos de estos se encuentran los grassmannianos.${\displaystyle Gr(k,\mathbb {R} ^{\ell })}$,${\displaystyle Gr(k,\mathbb {C} ^{\ell })}$, y${\displaystyle Gr(k,\mathbb {H} ^{\ell })}$Cada espacio compacto de este tipo tiene un dual no compacto, que en cambio tiene una constante de Einstein negativa.${\displaystyle k}$Estos pares duales están relacionados de una manera exactamente paralela a la relación entre esferas y espacios hiperbólicos.

Una condición necesaria para que las variedades cerradas , orientadas y de dimensión 4 sean de Einstein es que satisfagan la desigualdad de Hitchin-Thorpe . Sin embargo, esta condición necesaria dista mucho de ser suficiente, ya que LeBrun, Sambusetti y otros han descubierto obstáculos adicionales.

Las variedades de Einstein riemannianas de cuatro dimensiones también son importantes en física matemática como instantones gravitacionales en teorías cuánticas de la gravedad . El término "instantón gravitacional" a veces se restringe a las 4-variedades de Einstein cuyo tensor de Weyl es anti-autodual, y muy a menudo se supone que la métrica es asintótica a la métrica estándar en un espacio euclidiano de 4 dimensiones con cociente finito (y por lo tanto son completas pero no compactas ). En geometría diferencial, las 4-variedades de Einstein autoduales simplemente conexas coinciden con las hipervariedades de Kähler de 4 dimensiones con orientación inversa en el caso de Ricci plano, pero a veces se las llama variedades de Kähler de cuaterniones en otros casos.

Las variedades de Einstein lorentzianas de dimensiones superiores se utilizan en teorías modernas de la gravedad, como la teoría de cuerdas , la teoría M y la supergravedad . Las variedades hiperkähler y cuaterniones de Kähler (que son tipos especiales de variedades de Einstein) también tienen aplicaciones en física como espacios objetivo para modelos σ no lineales con supersimetría .

Las variedades de Einstein compactas han sido ampliamente estudiadas en geometría diferencial, y se conocen muchos ejemplos, aunque su construcción suele ser un desafío. Las variedades de Ricci compactas y planas son particularmente difíciles de encontrar: en la monografía sobre el tema del autor seudónimo Arthur Besse , se ofrece a los lectores una comida en un restaurante con estrella Michelin a cambio de un nuevo ejemplo. ^{[ 2 ]}

• fibrado vectorial de Einstein-Hermitiano
• Colector de Osserman

• Besse, Arthur L. (1987). Variedades de Einstein . Clásicos en Matemáticas. Berlín: Springer. ISBN 3-540-74120-8.