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Instantón gravitacional

En física matemática y geometría diferencial , un instantón gravitacional es una variedad riemanniana completa de cuatro dimensiones que satisface las ecuaciones de Einstein en ...

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En física matemática y geometría diferencial , un instantón gravitacional es una variedad riemanniana completa de cuatro dimensiones que satisface las ecuaciones de Einstein en el vacío . Se denominan así porque son análogos en las teorías cuánticas de la gravedad a los instantones de la teoría de Yang-Mills . De acuerdo con esta analogía con los instantones autoduales de Yang - Mills , se suele suponer que los instantones gravitacionales se asemejan al espacio euclidiano de cuatro dimensiones a grandes distancias y que poseen un tensor de Riemann autodual . Matemáticamente, esto significa que son variedades hiperkähler de cuatro dimensiones asintóticamente localmente euclidianas (o quizás asintóticamente localmente planas) , y en este sentido, son ejemplos especiales de variedades de Einstein . Desde un punto de vista físico, un instantón gravitacional es una solución no singular de las ecuaciones de Einstein en el vacío con métrica definida positiva , en contraposición a la métrica lorentziana .

Existen muchas generalizaciones posibles del concepto original de instantón gravitacional: por ejemplo, se puede permitir que los instantones gravitacionales tengan una constante cosmológica distinta de cero o un tensor de Riemann que no sea autodual. También se puede relajar la condición de contorno de que la métrica sea asintóticamente euclidiana.

Existen muchos métodos para construir instantones gravitacionales, entre ellos el Ansatz de Gibbons-Hawking , la teoría de twistores y la construcción del cociente hiperkähler .

Introducción

Los instantones gravitacionales son interesantes, ya que ofrecen información sobre la cuantización de la gravedad. Por ejemplo, se necesitan métricas euclidianas locales asintóticamente definidas positivas, ya que obedecen la conjetura de acción positiva; las acciones que no están acotadas por debajo crean divergencia en la integral de trayectoria cuántica .

Se pueden establecer varias distinciones con respecto a la estructura del tensor de curvatura de Riemann , relacionadas con la planitud y la autodualidad. Estas incluyen:

  • Einstein (constante cosmológica distinta de cero)
  • Planitud de Ricci (tensor de Ricci evanescente)
  • Planitud conforme (tensor de Weyl evanescente)
  • Dualidad del yo
  • Antidualidad del yo
  • Conformemente autodual
  • Conformemente anti-autodual

Taxonomía

Al especificar las "condiciones de contorno", es decir, la asintótica de la métrica "en el infinito" en una variedad riemanniana no compacta, los instantones gravitacionales se dividen en unas pocas clases, como espacios asintóticamente localmente euclidianos (espacios ALE) y espacios asintóticamente localmente planos (espacios ALF).

Se pueden caracterizar además según si el tensor de Riemann es autodual, si el tensor de Weyl es autodual o ninguno de los dos; si son o no variedades de Kähler ; y diversas clases características , como la característica de Euler , la signatura de Hirzebruch ( clase de Pontryagin ), el índice de Rarita-Schwinger (índice de espín 3/2) o, en general, la clase de Chern . La capacidad de admitir una estructura de espín ( es decir, permitir espinores de Dirac consistentes ) es otra característica atractiva.

Lista de ejemplos

Eguchi et al. enumeran varios ejemplos de instantones gravitacionales. [ 1 ] Estos incluyen, entre otros:

  • Espacio planoR4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}, el toroT4{\displaystyle \mathbb {T} ^{4}}y el espacio euclidiano de SitterS4{\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}, es decir , la métrica estándar en la 4-esfera .
  • El producto de esferasS2×S2{\displaystyle S^{2}\times S^{2}}.
  • La métrica de SchwarzschildR2×S2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}y la métrica de KerrR2×S2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}.
  • El instanten Eguchi-HansonT∗doPAG(1){\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} (1)}, que se muestra a continuación.
  • La solución Taub-NUT , que se muestra a continuación.
  • La métrica de Fubini-Study en el plano proyectivo complejodoPAG(2).{\displaystyle \mathbb {CP} (2).}[ 2 ] Nótese que el plano proyectivo complejo no admiteespinores de Dirac. Es decir, no es unaestructura de espín. Sin embargo, se le puede dar unaestructurade espínc.
  • El espacio de Page , que exhibe una métrica de Einstein explícita en la suma conexa de dos planos proyectivos complejos orientados en sentido opuesto.doPAG(2)#doPAG¯(2){\displaystyle \mathbb {CP} (2)\#{\overline {\mathbb {CP} }}(2)}.
  • Las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking, que se presentan a continuación.
  • La métrica del perno TaubdoPAG(2)∖{0}{\displaystyle \mathbb {CP} (2)\setminus \{0\}}y la métrica de perno de Taub rotatorio. Las métricas de "perno" presentan una singularidad de coordenadas cilíndricas en el origen, a diferencia de las métricas de "tuerca", que presentan una singularidad de coordenadas esféricas. En ambos casos, la singularidad de coordenadas puede eliminarse cambiando a coordenadas euclidianas en el origen.
  • Las superficies K3 .
  • Las variedades anti-autoduales ALE (asintóticamente localmente euclidianas). Entre ellas, las simplemente conexas son todas hiper-Kähler , y cada una es asintótica a un cono plano sobre S3=SU(2){\displaystyle S^{3}=SU(2)}módulo un subgrupo finito. Cada subgrupo finito deSU(2){\displaystyle SU(2)}ocurre realmente. La lista completa de posibilidades consta de los grupos cíclicos. Zk+1{\displaystyle \mathbb {Z} _ {k+1}}junto con las imágenes inversas de los grupos diedrales , el grupo tetraédrico , el grupo octaédrico y el grupo icosaédrico bajo la doble cubiertaSU(2)→SO(3){\displaystyle SU(2)\a SO(3)}. Tenga en cuenta queZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}corresponde al instantón de Eguchi-Hanson, mientras que para k más alto , el grupo cíclicoZk+1{\displaystyle \mathbb {Z} _ {k+1}}corresponde a las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking, cada una de las cuales es difeomorfa al espacio obtenido a partir de la unión disjunta de k copias deT∗S2{\displaystyle T^{*}S^{2}}mediante el uso del diagrama de DynkinAk{\displaystyle A_{k}}como un diagrama de plomería .

Esta es una lista muy incompleta; existen muchas otras posibilidades, no todas las cuales han sido clasificadas.

Ejemplos

Será conveniente escribir las soluciones de instantones gravitacionales a continuación utilizando 1-formas invariantes por la izquierda en la esfera tridimensional S 3 (vista como el grupo Sp(1) o SU(2)). Estas pueden definirse en términos de ángulos de Euler mediante

σ1=pecado⁡ψdθ−porque⁡ψpecado⁡θdϕσ2=porque⁡ψdθ+pecado⁡ψpecado⁡θdϕσ3=dψ+porque⁡θdϕ.{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sin \psi \,d\theta -\cos \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{2}&=\cos \psi \,d\theta +\sin \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{3}&=d\psi +\cos \theta \,d\phi .\\\end{alineado}}}

Tenga en cuenta quedσi+σj∧σk=0{\displaystyle d\sigma _{i}+\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}=0}parai,j,k=1,2,3{\displaystyle i,j,k=1,2,3}cíclico.

Taub – Métrica NUT

ds2=14r+norter−nortedr2+r−norter+nortenorte2σ32+14(r2−norte2)(σ12+σ22){\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{rn}}dr^{2}+{\frac {rn}{r+n}}n^{2}{\sigma _{3}}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})({\sigma _{1}}^{2}+{\sigma _{2}}^{2})}

Métrica de Eguchi-Hanson

El espacio de Eguchi-Hanson se define mediante una métrica en el fibrado cotangente de la 2-esfera.T∗doPAG(1)=T∗S2{\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} (1)=T^{*}S^{2}}Esta métrica es

ds2=(1−ar4)−1dr2+r24(1−ar4)σ32+r24(σ12+σ22),{\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right){\sigma _{3}}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}),}

dónder≥a1/4{\displaystyle r\geq a^{1/4}}Esta métrica es suave en todas partes si no tiene una singularidad cónica enr→a1/4{\displaystyle r\rightarrow a^{1/4}},θ=0,π{\displaystyle \theta =0,\pi }. Paraa=0{\displaystyle a=0}Esto sucede siψ{\displaystyle \psi }tiene un período de4π{\displaystyle 4\pi }, lo que proporciona una métrica plana en R 4 ; Sin embargo, paraa≠0{\displaystyle a\neq 0}Esto sucede siψ{\displaystyle \psi }tiene un período de2π{\displaystyle 2\pi }.

Asintóticamente (es decir, en el límite)r→∞{\displaystyle r\rightarrow \infty }) la métrica se ve así

ds2=dr2+r24σ32+r24(σ12+σ22){\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}

lo que ingenuamente parece la métrica plana en R 4 . Sin embargo, paraa≠0{\displaystyle a\neq 0},ψ{\displaystyle \psi }tiene solo la mitad de la periodicidad habitual, como hemos visto. Por lo tanto, la métrica es asintóticamente R 4 con la identificaciónψ∼ψ+2π{\displaystyle \psi \,{\sim }\,\psi +2\pi }, que es un subgrupo Z 2 de SO(4) , el grupo de rotación de R 4 . Por lo tanto, se dice que la métrica es asintóticamente R 4 / Z 2 .

Hay una transformación a otro sistema de coordenadas , en el que la métrica se ve así:

ds2=1V(incógnita)(dψ+ω⋅dincógnita)2+V(incógnita)dincógnita⋅dincógnita,{\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\psi +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}

dónde ∇V=±∇×ω,V=∑i=121|incógnita−incógnitai|.{\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}

(Para a = 0,V=1|incógnita|{\displaystyle V={\frac {1}{|\mathbf {x} |}}}y las nuevas coordenadas se definen de la siguiente manera: primero se defineρ=r2/4{\displaystyle \rho =r^{2}/4}y luego parametrizaρ{\displaystyle \rho },θ{\displaystyle \theta }yϕ{\displaystyle \phi }por las coordenadas R 3incógnita{\displaystyle \mathbf {x} }, es decirincógnita=(ρpecado⁡θporque⁡ϕ,ρpecado⁡θpecado⁡ϕ,ρporque⁡θ){\displaystyle \mathbf {x} =(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )}).

En las nuevas coordenadas,ψ{\displaystyle \psi }tiene la periodicidad habitualψ ∼ ψ+4π.{\displaystyle \psi \ {\sim }\ \psi +4\pi .}

Se puede reemplazar V por

V=∑i=1norte1|incógnita−incógnitai|.{\displaystyle \quad V=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}

Para algunos n puntosincógnitai{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}, i  =  1,  2..., n . Esto da un instantón gravitacional de Eguchi - Hanson multicéntrico , que de nuevo es suave en todas partes si las coordenadas angulares tienen las periodicidades usuales (para evitar singularidades cónicas ). El límite asintótico ( r→∞{\displaystyle r\rightarrow \infty }) es equivalente a tomar todoincógnitai{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}a cero, y cambiando las coordenadas de vuelta a r,θ{\displaystyle \theta }yϕ{\displaystyle \phi }y redefiniendor→r/norte{\displaystyle r\rightarrow r/{\sqrt {n}}}, obtenemos la métrica asintótica

ds2=dr2+r24(dψnorte+porque⁡θdϕ)2+r24[(σ1L)2+(σ2L)2].{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left({d\psi \over n}+\cos \theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}[(\sigma _{1}^{L})^{2}+(\sigma _{2}^{L})^{2}].}

Esto es R 4 / Z n = C 2 / Z n , porque es R 4 con la coordenada angularψ{\displaystyle \psi }reemplazado porψ/norte{\displaystyle \psi /n}, que tiene la periodicidad incorrecta (4π/norte{\displaystyle 4\pi /n}en lugar de4π{\displaystyle 4\pi }). En otras palabras, es R 4 identificado bajoψ ∼ ψ+4πk/norte{\displaystyle \psi \ {\sim }\ \psi +4\pi k/n}, o, equivalentemente, C 2 identificado bajo z i ~mi2πik/norte{\displaystyle e^{2\pi ik/n}}z i para i = 1, 2.

En conclusión, la geometría multicéntrica de Eguchi - Hanson es una geometría plana de Kähler- Ricci que es asintóticamente C² / Zn . Según el teorema de Yau , esta es la única geometría que satisface estas propiedades. Por lo tanto, esta es también la geometría de un orbifold C² / Zn en la teoría de cuerdas después de que su singularidad cónica se haya suavizado mediante su "explosión" (es decir, deformación). [ 3 ]

Métricas multicéntricas de Gibbons - Hawking

Las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking se dan en [ 4 ] [ 5 ].

ds2=1V(incógnita)(dτ+ω⋅dincógnita)2+V(incógnita)dincógnita⋅dincógnita,{\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\tau +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}

dónde

∇V=±∇×ω,V=ε+2METRO∑i=1k1|incógnita−incógnitai|.{\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\varepsilon +2M\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}

Aquí,ϵ=1{\displaystyle \epsilon =1}corresponde a multi-Taub – NUT,ϵ=0{\displaystyle \epsilon =0}yk=1{\displaystyle k=1}es un espacio plano yϵ=0{\displaystyle \epsilon =0}yk=2{\displaystyle k=2}es la solución de Eguchi – Hanson (en coordenadas diferentes).

Véase también

Referencias

  1. ↑ Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de gauge y geometría diferencial" . Physics Reports . 66 (6): 213– 393. Bibcode : 1980PhR....66..213E . doi : 10.1016/0370-1573(80)90130-1 . ISSN 0370-1573 . 
  2. ↑ Eguchi, Tohru; Freund, Peter GO (1976-11-08). "Gravedad cuántica y topología del mundo". Physical Review Letters . 37 (19): 1251– 1254. Bibcode : 1976PhRvL..37.1251E . doi : 10.1103/physrevlett.37.1251 . ISSN 0031-9007 . 
  3. ↑ Douglas, Michael R.; Moore, Gregory (1996). "D-branas, carcajes e instantones ALE". arXiv : hep-th/9603167 .
  4. ↑ Hawking, SW (1977). "Instantones gravitacionales". Physics Letters A . 60 (2): 81– 83. Bibcode : 1977PhLA...60...81H . doi : 10.1016/0375-9601(77)90386-3 . ISSN 0375-9601 . 
  5. ↑ Gibbons, GW; Hawking, SW (1978). "Multiinstantones gravitacionales". Physics Letters B . 78 (4): 430– 432. Bibcode : 1978PhLB...78..430G . doi : 10.1016/0370-2693(78)90478-1 . ISSN 0370-2693 . 
  • Gibbons, GW; Hawking, SW (octubre de 1978). "Multiinstantones gravitacionales". Physics Letters B . 78 (4): 430– 432. Bibcode : 1978PhLB...78..430G . doi : 10.1016/0370-2693(78)90478-1 .
  • Gibbons, GW; Hawking, SW (octubre de 1979). "Clasificación de las simetrías de instantones gravitacionales" . Communications in Mathematical Physics . 66 (3): 291– 310. Bibcode : 1979CMaPh..66..291G . doi : 10.1007/BF01197189 . S2CID 123183399 . 
  • Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J. (abril de 1978). "Soluciones autoduales asintóticamente planas para la gravedad euclidiana" . Physics Letters B. 74 ( 3): 249– 251. Bibcode : 1978PhLB...74..249E . doi : 10.1016 / 0370-2693(78)90566-X . OSTI 1446816. S2CID 16380482 .  
  • Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J (julio de 1979). "Soluciones autoduales a la gravedad euclidiana" . Annals of Physics . 120 (1): 82– 106. Bibcode : 1979AnPhy.120...82E . doi : 10.1016 / 0003-4916(79)90282-3 . OSTI 1447072. S2CID 48866858 .  
  • Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J. (diciembre de 1979). "Instantones gravitacionales". Relatividad general y gravitación . 11 (5): 315– 320. Bibcode : 1979GReGr..11..315E . doi : 10.1007/BF00759271 . S2CID 123806150 . 
  • Kronheimer, PB (1989). "La construcción de espacios ALE como cocientes hiper-Kähler" . Journal of Differential Geometry . 29 (3): 665– 683. doi : 10.4310/jdg/1214443066 .
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