Transporte Ekman

El transporte de Ekman forma parte de la teoría del movimiento de Ekman, investigada por primera vez en 1902 por Vagn Walfrid Ekman . Los vientos son la principal fuente de energía para la circulación oceánica, y el transporte de Ekman es un componente de la corriente oceánica impulsada por el viento. ^{[ 1 ]} El transporte de Ekman ocurre cuando las aguas superficiales del océano son influenciadas por la fuerza de fricción que actúa sobre ellas a través del viento. A medida que el viento sopla, ejerce una fuerza de fricción sobre la superficie del océano que arrastra consigo los 10-100 m superiores de la columna de agua. ^{[ 2 ]} Sin embargo, debido a la influencia del efecto Coriolis , a medida que el agua del océano se mueve, está sujeta a una fuerza en un ángulo de 90° con respecto a la dirección del movimiento, lo que hace que el agua se mueva en un ángulo con respecto a la dirección del viento. ^{[ 2 ]} La dirección del transporte depende del hemisferio: en el hemisferio norte , el transporte se desvía en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la dirección del viento, mientras que en el hemisferio sur se desvía en sentido contrario a las agujas del reloj. ^{[ 3 ]} Este fenómeno fue observado por primera vez por Fridtjof Nansen , quien registró que el transporte de hielo parecía ocurrir en un ángulo con respecto a la dirección del viento durante su expedición al Ártico en la década de 1890. ^{[ 4 ]} El transporte de Ekman tiene impactos significativos en las propiedades biogeoquímicas de los océanos del mundo. Esto se debe a que conduce a la surgencia (succión de Ekman) y a la hundimiento (bombeo de Ekman) para obedecer las leyes de conservación de masa. La conservación de masa, en referencia a la transferencia de Ekman, requiere que cualquier agua desplazada dentro de un área debe ser repuesta. Esto puede hacerse mediante succión de Ekman o bombeo de Ekman dependiendo de los patrones del viento. ^{[ 1 ]}

Existen tres patrones de viento principales que dan lugar a la succión o bombeo de Ekman. El primero son los patrones de viento paralelos a la costa. ^{[ 1 ]} Debido al efecto Coriolis, el agua superficial se mueve en un ángulo de 90° con respecto a la corriente del viento. Si el viento se mueve en una dirección que hace que el agua se aleje de la costa, se producirá la succión de Ekman. ^{[ 1 ]} Por otro lado, si el viento se mueve de tal manera que las aguas superficiales se desplazan hacia la costa, se producirá el bombeo de Ekman. ^{[ 1 ]}

El segundo mecanismo de las corrientes de viento que dan lugar a la transferencia de Ekman son los vientos alisios, tanto al norte como al sur del ecuador, que arrastran las aguas superficiales hacia los polos. ^{[ 1 ]} Existe una gran cantidad de succión de Ekman ascendente en el ecuador porque el agua es arrastrada hacia el norte al norte del ecuador y hacia el sur al sur del ecuador. Esto produce una divergencia en el agua, lo que resulta en succión de Ekman y, por lo tanto, en surgencia. ^{[ 5 ]}

El tercer patrón de viento que influye en la transferencia de Ekman son los patrones de viento a gran escala en mar abierto. ^{[ 1 ]} La circulación del viento en mar abierto puede generar estructuras similares a giros de agua superficial acumulada, lo que produce gradientes horizontales de altura de la superficie del mar. ^{[ 1 ]} Esta acumulación de agua provoca un flujo descendente y una succión, debido a la gravedad y al equilibrio de masas. El bombeo descendente de Ekman en el océano central es una consecuencia de esta convergencia de agua. ^{[ 1 ]}

La succión de Ekman es el componente del transporte de Ekman que produce zonas de afloramiento debido a la divergencia del agua. ^{[ 5 ]} Volviendo al concepto de conservación de la masa , cualquier agua desplazada por el transporte de Ekman debe ser repuesta. A medida que el agua diverge, crea espacio y actúa como una succión para llenarlo, elevando, o haciendo aflorar, agua de mar profunda hacia la zona eufótica . ^{[ 5 ]}

La succión de Ekman tiene importantes consecuencias para los procesos biogeoquímicos de la zona, ya que provoca afloramientos. Estos afloramientos transportan agua fría y rica en nutrientes de las profundidades marinas a la zona eufótica, lo que favorece la proliferación del fitoplancton y genera un entorno extremadamente productivo. ^{[ 6 ]} Las zonas de afloramiento impulsan la actividad pesquera, y casi la mitad de la captura mundial de pescado proviene de estas zonas. ^{[ 7 ]}

La succión de Ekman se produce tanto en las costas como en mar abierto, y también a lo largo del ecuador. A lo largo de la costa del Pacífico de California, Centroamérica y Perú, así como a lo largo de la costa atlántica de África, existen zonas de afloramiento debido a la succión de Ekman, a medida que las corrientes se mueven hacia el ecuador. ^{[ 1 ]} Debido al efecto Coriolis, el agua superficial se desplaza 90° a la izquierda (en el hemisferio sur, a medida que se dirige hacia el ecuador) de la corriente del viento, lo que provoca que el agua se aleje del límite costero, dando lugar a la succión de Ekman. Además, existen zonas de afloramiento como consecuencia de la succión de Ekman donde los vientos polares del este se encuentran con los vientos del oeste en las regiones subpolares al norte de los subtrópicos, así como donde los vientos alisios del noreste se encuentran con los vientos alisios del sureste a lo largo del ecuador. ^{[ 1 ]}

El bombeo de Ekman es el componente del transporte de Ekman que produce áreas de hundimiento debido a la convergencia del agua. ^{[ 5 ]} Como se mencionó anteriormente, el concepto de conservación de la masa requiere que una acumulación de agua superficial sea empujada hacia abajo. Esta acumulación de agua superficial cálida y pobre en nutrientes es bombeada verticalmente hacia abajo en la columna de agua, lo que produce áreas de hundimiento. ^{[ 1 ]}

El bombeo de Ekman tiene un impacto drástico en los entornos circundantes. El hundimiento, debido al bombeo de Ekman, produce aguas pobres en nutrientes, reduciendo así la productividad biológica de la zona. ^{[ 7 ]} Además, transporta calor y oxígeno disuelto verticalmente a través de la columna de agua, ya que el agua superficial cálida y rica en oxígeno se bombea hacia las profundidades oceánicas. ^{[ 7 ]}

El bombeo de Ekman se puede encontrar tanto en las costas como en mar abierto. A lo largo de la costa del Pacífico en el hemisferio sur, los vientos del norte se mueven paralelos a la línea costera. ^{[ 1 ]} Debido al efecto Coriolis, el agua superficial es arrastrada 90° a la izquierda de la corriente del viento, lo que provoca que el agua converja a lo largo del límite costero, dando lugar al bombeo de Ekman. En mar abierto, el bombeo de Ekman ocurre con los giros oceánicos. ^{[ 1 ]} Específicamente, en los subtrópicos, entre 20°N y 50°N, hay bombeo de Ekman cuando los vientos alisios cambian a vientos del oeste, lo que provoca una acumulación de agua superficial. ^{[ 1 ]}

Es necesario hacer algunas suposiciones sobre la dinámica de fluidos involucrada en el proceso para simplificarlo hasta un punto en el que sea resoluble. Las suposiciones hechas por Ekman fueron: ^{[ 8 ]}

• sin límites;
• aguas infinitamente profundas;
• viscosidad de remolino ,${\displaystyle A_{z}\,\!}$, es constante (esto solo es cierto para el flujo laminar. En la capa límite atmosférica y oceánica turbulenta es una función importante de la profundidad);
• La fuerza del viento es constante y lleva soplando mucho tiempo;
• condiciones barotrópicas sin flujo geostrófico;
• el parámetro de Coriolis ,${\displaystyle f\,\!}$se mantiene constante.

Las ecuaciones simplificadas para la fuerza de Coriolis en las direcciones x e y se derivan de estas suposiciones:

(1) ${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{x}}{\partial z}}=-fv,\,}$

(2) ${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{y}}{\partial z}}=fu,\,}$

dónde${\displaystyle \tau \,\!}$es la tensión del viento ,${\displaystyle \rho \,\!}$es la densidad,${\displaystyle u\,\!}$es la velocidad este-oeste, y${\displaystyle v\,\!}$es la velocidad norte-sur.

Integrando cada ecuación sobre toda la capa de Ekman:

${\displaystyle \tau _{x}=-M_{y}f,\,}$

${\displaystyle \tau _{y}=M_{x}f,\,}$

dónde

${\displaystyle M_{x}=\int _{0}^{z}\rho udz,\,}$

${\displaystyle M_{y}=\int _{0}^{z}\rho vdz.\,}$

Aquí${\displaystyle M_{x}\,\!}$y${\displaystyle M_{y}\,\!}$Representamos los términos de transporte de masa zonal y meridional con unidades de masa por unidad de tiempo por unidad de longitud. Contrariamente a la lógica común, los vientos norte-sur provocan transporte de masa en la dirección este-oeste. ^{[ 9 ]}

Para comprender la estructura de velocidad vertical de la columna de agua, las ecuaciones 1 y 2 se pueden reescribir en términos del término de viscosidad turbulenta vertical.

${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{x}}{\partial z}}=\rho A_{z}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\,\!}$

${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{y}}{\partial z}}=\rho A_{z}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\,\!}$

dónde${\displaystyle A_{z}\,\!}$es el coeficiente de viscosidad turbulenta vertical.

Esto da como resultado un conjunto de ecuaciones diferenciales de la forma

${\displaystyle A_{z}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=-fv,\,\!}$

${\displaystyle A_{z}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}=fu.\,\!}$

Para resolver este sistema de dos ecuaciones diferenciales, se pueden aplicar dos condiciones de contorno:

• ${\displaystyle {(u,v)\to 0}}$como${\displaystyle {z\to -\infty },}$
• La fricción es igual a la tensión del viento en la superficie libre (${\displaystyle z=0\,\!}$).

Las cosas se pueden simplificar aún más considerando el viento soplando solo en la dirección y . Esto significa que los resultados serán relativos a un viento norte-sur (aunque estas soluciones podrían producirse en relación con el viento en cualquier otra dirección): ^{[ 10 ]}

(3) ${\displaystyle {\begin{aligned}u_{E}&=\pm V_{0}\cos \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{D_{E}}}z\right)\exp \left({\frac {\pi }{D_{E}}}z\right),\\v_{E}&=V_{0}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{D_{E}}}z\right)\exp \left({\frac {\pi }{D_{E}}}z\right),\end{aligned}}}$

dónde

• ${\displaystyle u_{E}\,\!}$y${\displaystyle v_{E}\,\!}$representan el transporte de Ekman en las direcciones u y v ;
• En la ecuación 3, el signo positivo se aplica al hemisferio norte y el signo negativo al hemisferio sur;
• ${\displaystyle V_{0}={\frac {{\sqrt {2}}\pi \tau _{y\eta }}{D_{E}\rho |f|}};\,\!}$
• ${\displaystyle \tau _{y\eta }\,\!}$es la tensión del viento sobre la superficie del mar;
• ${\displaystyle D_{E}=\pi \left({\frac {2A_{z}}{|f|}}\right)^{1/2}\,\!}$es la profundidad de Ekman (profundidad de la capa de Ekman).

Al resolver esto en z = 0, se encuentra que la corriente superficial es (como se esperaba) 45 grados a la derecha (izquierda) del viento en el hemisferio norte (sur). Esto también da la forma esperada de la espiral de Ekman, tanto en magnitud como en dirección. ^{[ 10 ]} La integración de estas ecuaciones sobre la capa de Ekman muestra que el término de transporte neto de Ekman es 90 grados a la derecha (izquierda) del viento en el hemisferio norte (sur).

• El transporte de Ekman conduce al afloramiento costero , que proporciona el suministro de nutrientes para algunos de los mercados pesqueros más grandes del planeta ^{[ 11 ]} y puede afectar la estabilidad de la capa de hielo antártica al arrastrar agua cálida de las profundidades hacia la plataforma continental. ^{[ 12 ] [ 13 ]} En estos regímenes, el viento sopla paralelo a la costa (como a lo largo de la costa de Perú , donde el viento sopla del sureste, y también en California , donde sopla del noroeste). Debido al transporte de Ekman, el agua superficial tiene un movimiento neto de 90° a la derecha de la dirección del viento en el hemisferio norte (a la izquierda en el hemisferio sur). Debido a que el agua superficial fluye alejándose de la costa, el agua debe ser reemplazada por agua de las profundidades. ^{[ 14 ]} En aguas costeras poco profundas, la espiral de Ekman normalmente no está completamente formada y los eventos de viento que causan episodios de afloramiento suelen ser bastante cortos. Esto conduce a muchas variaciones en la extensión del afloramiento, pero las ideas siguen siendo generalmente aplicables. ^{[ 15 ]}
• El transporte de Ekman opera de manera similar en el afloramiento ecuatorial , donde, en ambos hemisferios, un componente de vientos alisios hacia el oeste provoca un transporte neto de agua hacia el polo, y un componente de vientos alisios hacia el este provoca un transporte neto de agua alejándose del polo. ^{[ 11 ]}
• En escalas más pequeñas, los vientos ciclónicos inducen el transporte de Ekman que causa divergencia neta y surgencia, o succión de Ekman, ^{[ 11 ]} mientras que los vientos anticiclónicos causan convergencia neta y hundimiento, o bombeo de Ekman ^{[ 16 ]}
• El transporte de Ekman también es un factor en la circulación de los giros oceánicos y las acumulaciones de basura . El transporte de Ekman provoca que el agua fluya hacia el centro del giro en todas las ubicaciones, creando una superficie marina inclinada e iniciando el flujo geostrófico (Colling, pág. 65). Harald Sverdrup aplicó el transporte de Ekman, incluyendo las fuerzas del gradiente de presión, para desarrollar una teoría al respecto (véase el equilibrio de Sverdrup ). ^{[ 16 ]}

La teoría de Ekman, que describe la corriente inducida por el viento en un planeta en rotación, explica por qué las corrientes superficiales en el hemisferio norte generalmente se desvían hacia la derecha de la dirección del viento, y en el hemisferio sur hacia la izquierda en la mayoría de los casos. También existen soluciones para desviaciones opuestas en periodos más cortos que el periodo inercial local, que Ekman no mencionó y que rara vez se observan. Un ejemplo importante de este efecto ocurre en la Bahía de Bengala, donde el flujo superficial se desvía hacia la izquierda de la dirección del viento en el hemisferio norte. La teoría de Ekman puede refinarse para incluir este caso. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

Ekman desarrolló la teoría de la capa de Ekman después de que Fridtjof Nansen observara que el hielo se desplaza en un ángulo de 20° a 40° a la derecha de la dirección del viento predominante durante una expedición al Ártico a bordo del Fram . Nansen le pidió a su colega, Vilhelm Bjerknes, que encargara a uno de sus estudiantes el estudio del problema. Bjerknes contactó a Ekman, quien presentó sus resultados en 1902 como su tesis doctoral . ^{[ 19 ]}

La teoría de Ekman explica el estado teórico de la circulación si las corrientes de agua fueran impulsadas únicamente por la transferencia de momento del viento. En el mundo físico, esto es difícil de observar debido a la influencia de múltiples fuerzas impulsoras de corriente simultáneas (por ejemplo, gradientes de presión y densidad ). Si bien la siguiente teoría se aplica técnicamente a la situación idealizada que involucra solo fuerzas del viento, el movimiento de Ekman describe la porción de la circulación impulsada por el viento que se observa en la capa superficial. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Las corrientes superficiales fluyen en un ángulo de 45° con respecto al viento debido a un equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la resistencia generada por el viento y el agua. ^{[ 22 ]} Si el océano se divide verticalmente en capas delgadas, la magnitud de la velocidad (la rapidez) disminuye desde un máximo en la superficie hasta que se disipa. La dirección también cambia ligeramente a través de cada capa subsiguiente (a la derecha en el hemisferio norte y a la izquierda en el hemisferio sur). Esto se denomina espiral de Ekman . ^{[ 23 ]} La capa de agua desde la superficie hasta el punto de disipación de esta espiral se conoce como capa de Ekman . Si se integra todo el flujo sobre la capa de Ekman, el transporte neto es de 90° a la derecha (izquierda) del viento superficial en el hemisferio norte (sur). ^{[ 3 ]}

espiral de Ekman

La espiral de Ekman es una disposición de las corrientes oceánicas: las direcciones de la corriente horizontal parecen girar a medida que cambia la profundidad. ^{[ 24 ]} La espiral de Ekman, impulsada por el viento oceánico, es el resultado de un equilibrio de fuerzas creado por la fuerza de cizallamiento , la fuerza de Coriolis y la resistencia del agua. Este equilibrio de fuerzas produce una corriente de agua diferente a la generada por el viento. En el océano, existen dos lugares donde se puede observar la espiral de Ekman. En la superficie del océano, la fuerza de cizallamiento se corresponde con la fuerza del viento . En el fondo del océano, la fuerza de cizallamiento se crea por la fricción con el lecho marino. Este fenómeno fue observado por primera vez en la superficie por el oceanógrafo noruego Fridtjof Nansen durante su expedición Fram . Observó que los icebergs no se desplazaban en la misma dirección que el viento. Su alumno, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman , fue la primera persona en explicar físicamente este proceso. ^{[ 25 ]}

Espiral de Ekman inferior

Para derivar las propiedades de una espiral de Ekman, se examina un flujo geostrófico interior horizontal y uniforme en un fluido homogéneo. Este flujo se denotará por${\displaystyle {\vec {u}}=({\bar {u}},{\bar {v}})}$donde los dos componentes son constantes debido a la uniformidad. Otro resultado de esta propiedad es que los gradientes horizontales serán iguales a cero. Como resultado, la ecuación de continuidad dará como resultado:${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}=0}$. Tenga en cuenta que el flujo interior en cuestión es horizontal, por lo que${\displaystyle w=0}$a todas las profundidades, incluso en las capas límite. En este caso, las ecuaciones de momento de Navier-Stokes , que rigen el movimiento geofísico, ahora se pueden reducir a: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\[5pt]fu&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\[5pt]0&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}}$

Dónde${\displaystyle f}$es el parámetro de Coriolis ,${\displaystyle \rho _{0}}$la densidad del fluido y${\displaystyle \nu _{E}}$la viscosidad turbulenta , que aquí se consideran constantes para simplificar. Estos parámetros tienen una pequeña variación en la escala de una espiral de Ekman, por lo que esta aproximación será válida. Un flujo uniforme requiere un gradiente de presión que varíe uniformemente . Al sustituir los componentes del flujo interior,${\displaystyle u={\bar {u}}}$y${\displaystyle v={\bar {v}}}$En las ecuaciones anteriores, se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}-f{\bar {v}}&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}={\text{constant}}\\[5pt]f{\bar {u}}&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}={\text{constant}}\end{aligned}}}$

Utilizando la última de las tres ecuaciones que aparecen al principio de esta sección, se obtiene que la presión es independiente de la profundidad.

${\displaystyle {\begin{aligned}-f(v-{\bar {v}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\\[5pt]f(u-{\bar {u}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle u={\bar {u}}+Ae^{\lambda z}}$y ${\displaystyle v={\bar {v}}+Be^{\lambda z}}$será suficiente como solución a las ecuaciones diferenciales anteriores. Después de sustituir estas posibles soluciones en las mismas ecuaciones, ${\displaystyle \nu _{E}^{2}\lambda ^{4}+f^{2}=0}$seguirá. Ahora, ${\displaystyle \lambda }$tiene los siguientes posibles resultados:

${\displaystyle \lambda =\pm (1\pm i){\sqrt {\frac {f}{2\nu _{E}}}}}$

Debido a la condición de no deslizamiento en el fondo y al flujo interior constante para${\displaystyle z\gg d}$, coeficientes${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$se puede determinar. Al final, esto conducirá a la siguiente solución para${\displaystyle {\vec {u}}(z)}$: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\bar {u}}\left[1-e^{-z/d}\cos \left({\frac {z}{d}}\right)\right]-{\bar {v}}e^{-z/d}\sin \left({\frac {z}{d}}\right),\\[5pt]v&={\bar {u}}e^{-z/d}\sin \left({\frac {z}{d}}\right)+{\bar {v}}\left[1-e^{-z/d}\cos \left({\frac {z}{d}}\right)\right],\end{aligned}}}$

Aquí,${\displaystyle d={\sqrt {\frac {2\nu _{E}}{f}}}}$. Tenga en cuenta que el vector de velocidad se aproximará a los valores del flujo interior cuando el${\displaystyle z}$toma el pedido de${\displaystyle d}$Esta es la razón por la que${\displaystyle d}$se define como el espesor de la capa de Ekman. De esta solución se derivarán varias propiedades importantes de la espiral de Ekman:

• Cuando${\displaystyle z\rightarrow {0}}$, parece que el flujo tiene un componente transversal con respecto al flujo interior, que difiere 45 grados a la izquierda en el hemisferio norte ,${\displaystyle f>0}$y 45 grados a la derecha en el hemisferio sur ,${\displaystyle f<0}$Nótese que, en este caso, el ángulo entre este flujo y el flujo interior está en su valor máximo. Disminuirá al aumentar${\displaystyle z}$.
• Cuando${\displaystyle {\frac {z}{d}}}$toma el valor de${\displaystyle \pi }$, el flujo resultante está en línea con el flujo interior, pero se incrementará con${\displaystyle e^{-\pi }}$, con respecto al flujo interior.
• Para valores más altos de${\displaystyle {\frac {z}{d}}}$, habrá un componente transversal mínimo en la otra dirección como antes. El término exponencial tenderá a cero para${\displaystyle z\gg d}$, Resultando en${\displaystyle {\vec {u}}=({\bar {u}},{\bar {v}})}$Debido a estas propiedades, el vector de velocidad del flujo en función de la profundidad tendrá forma de espiral.

Espiral de Ekman superficial

La solución para el flujo que forma la espiral de Ekman inferior fue resultado del esfuerzo cortante ejercido sobre el flujo por el fondo. Lógicamente, dondequiera que se pueda ejercer un esfuerzo cortante sobre un flujo, se formarán espirales de Ekman. Este es el caso en la interfaz aire-agua, debido al viento. Se considera una situación donde un esfuerzo cortante del viento${\displaystyle {\vec {\tau }}=(\tau _{x},\tau _{y})}$se ejerce a lo largo de una superficie de agua con un flujo interior${\displaystyle {\vec {u}}=(u,v)}$debajo. Nuevamente, el flujo es uniforme, tiene un interior geostrófico y es un fluido homogéneo. Las ecuaciones de movimiento para un flujo geostrófico, que son las mismas que se indicaron en la sección espiral inferior, se pueden reducir a: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}-f(v-{\bar {v}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\\[5pt]f(u-{\bar {u}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Las condiciones de contorno para este caso son las siguientes:

• Superficie${\displaystyle (z=0)}$: ${\displaystyle \;\;\;\rho _{0}\nu _{E}{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau _{x}\;}$y${\displaystyle \;\rho _{0}\nu _{E}{\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau _{y}}$
• Hacia el interior${\displaystyle (z\rightarrow {-\infty })}$:${\displaystyle \;\;\;u={\bar {u}}\;}$y ${\displaystyle \;v={\bar {v}}}$

Con estas condiciones, se puede determinar la solución: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\bar {u}}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{0}fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\cos \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)-\tau _{y}\sin \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right]\\[5pt]v&={\bar {v}}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{0}fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\sin \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+\tau _{y}\cos \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right]\end{aligned}}}$

Surgen algunas diferencias con respecto a la espiral de Ekman inferior. La desviación del flujo interior depende exclusivamente de la tensión del viento y no del flujo interior. Mientras que en el caso de la espiral de Ekman inferior, la desviación está determinada por el flujo interior. El componente del flujo impulsado por el viento es inversamente proporcional al espesor de la capa de Ekman.${\displaystyle d}$Por lo tanto, si el espesor de la capa es pequeño, debido a la baja viscosidad del fluido, por ejemplo, este componente podría ser muy grande. Finalmente, el flujo en la superficie es de 45 grados a la derecha en el hemisferio norte y de 45 grados a la izquierda en el hemisferio sur con respecto a la dirección del viento. En el caso de la espiral de Ekman inferior, ocurre lo contrario.

Observaciones

Las ecuaciones y suposiciones anteriores no son representativas de las observaciones reales de la espiral de Ekman. Las diferencias entre la teoría y las observaciones radican en que el ángulo se encuentra entre 5 y 20 grados en lugar de los 45 grados esperados ^{[ 27 ]} , y en que la profundidad de la capa de Ekman, y por lo tanto la espiral de Ekman, es menor de lo esperado. Hay tres factores principales que contribuyen a esta diferencia: la estratificación ^{[ 28 ]} , la turbulencia y los gradientes horizontales ^{[ 26 ]} . Otros factores menos importantes que influyen son la deriva de Stokes ^{[ 29 ]} , las ondas y la fuerza de Stokes-Coriolis ^{[ 30 ]} .

Capa de Ekman

La capa de Ekman es la capa de un fluido donde existe un equilibrio de fuerzas entre el gradiente de presión , la fuerza de Coriolis y la resistencia turbulenta . Fue descrita por primera vez por Vagn Walfrid Ekman . Las capas de Ekman se presentan tanto en la atmósfera como en el océano.

Existen dos tipos de capas de Ekman. El primer tipo se produce en la superficie del océano y está determinado por los vientos superficiales, que actúan como una resistencia sobre dicha superficie. El segundo tipo se produce en la parte inferior de la atmósfera y el océano, donde las fuerzas de fricción se asocian al flujo sobre superficies rugosas.

Formulación matemática

La formulación matemática de la capa de Ekman parte de la premisa de un fluido estratificado de forma neutra, un equilibrio entre las fuerzas del gradiente de presión, el efecto Coriolis y la resistencia turbulenta.

${\displaystyle {\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\[5pt]fu&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\[5pt]0&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \ u}$y${\displaystyle \ v}$son las velocidades en el${\displaystyle \ x}$y${\displaystyle \ y}$direcciones, respectivamente,${\displaystyle \ f}$es el parámetro de Coriolis local y${\displaystyle \ K_{m}}$es la viscosidad turbulenta difusiva, que puede derivarse utilizando la teoría de la longitud de mezcla . Tenga en cuenta que${\displaystyle p}$es una presión modificada : hemos incorporado la hidrostática de la presión, para tener en cuenta la gravedad.

Existen numerosas regiones donde la capa de Ekman es teóricamente plausible; entre ellas se incluyen la parte inferior de la atmósfera, cerca de la superficie terrestre y oceánica, el fondo oceánico, cerca del lecho marino y en la superficie oceánica, cerca de la interfaz aire-agua. Para cada una de estas situaciones, se requieren diferentes condiciones de contorno . Cada una de estas situaciones puede describirse mediante las condiciones de contorno aplicadas al sistema resultante de ecuaciones diferenciales ordinarias. A continuación se muestran los casos de las capas límite superior e inferior.

Capa de Ekman en la superficie del océano (o superficie libre).

Consideraremos las condiciones de contorno de la capa de Ekman en el océano superior: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\text{at }}z=0:\quad A{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau ^{x}\quad {\text{and}}\quad A{\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau ^{y},}$

dónde${\displaystyle \ \tau ^{x}}$y${\displaystyle \ \tau ^{y}}$son los componentes de la tensión superficial,${\displaystyle \ \tau }$, del campo de viento o capa de hielo en la parte superior del océano, y${\displaystyle \ A\equiv \rho K_{m}}$es la viscosidad dinámica.

Para la condición de contorno en el otro lado, como${\displaystyle \ z\to -\infty :u\to u_{g},v\to v_{g}}$, dónde${\displaystyle \ u_{g}}$y${\displaystyle \ v_{g}}$son los flujos geostróficos en el${\displaystyle \ x}$y${\displaystyle \ y}$instrucciones.

Solución

Estas ecuaciones diferenciales se pueden resolver para hallar:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=u_{g}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{o}fd}}e^{z/d}\left[\tau ^{x}\cos(z/d-\pi /4)-\tau ^{y}\sin(z/d-\pi /4)\right],\\[5pt]v&=v_{g}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{o}fd}}e^{z/d}\left[\tau ^{x}\sin(z/d-\pi /4)+\tau ^{y}\cos(z/d-\pi /4)\right],\\[5pt]d&={\sqrt {2K_{m}/|f|}}.\end{aligned}}}$

El valor${\displaystyle d}$Se denomina profundidad de la capa de Ekman y proporciona una indicación de la profundidad de penetración de la mezcla turbulenta inducida por el viento en el océano. Nótese que varía en función de dos parámetros: la difusividad turbulenta.${\displaystyle K_{m}}$y la latitud, tal como se resume en${\displaystyle f}$. Para un típico${\displaystyle K_{m}=0.1}$metro${\displaystyle ^{2}}$/s, y a 45° de latitud (${\displaystyle f=10^{-4}}$s${\displaystyle ^{-1}}$), entonces${\displaystyle d}$es aproximadamente 45 metros. Esta predicción de profundidad de Ekman no siempre coincide con precisión con las observaciones.

Esta variación de la velocidad horizontal con la profundidad (${\displaystyle -z}$) se conoce como la espiral de Ekman , representada en el diagrama de arriba a la derecha.

Aplicando la ecuación de continuidad podemos obtener la velocidad vertical de la siguiente manera:

${\displaystyle w={\frac {1}{f\rho _{o}}}\left[-\left({\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau ^{y}}{\partial y}}\right)e^{z/d}\sin(z/d)+\left({\frac {\partial \tau ^{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial y}}\right)(1-e^{z/d}\cos(z/d))\right].}$

Cabe señalar que, cuando se integra verticalmente, el transporte de volumen asociado a la espiral de Ekman se produce a la derecha de la dirección del viento en el hemisferio norte.

Capa de Ekman en el fondo del océano y la atmósfera.

El desarrollo tradicional de capas de Ekman limitadas inferiormente por una superficie utiliza dos condiciones de contorno:

• Una superficie antideslizante ;
• Las velocidades de Ekman se aproximan a las velocidades geostróficas como${\displaystyle z}$va hasta el infinito.

Observaciones experimentales de la capa de Ekman

Hay mucha dificultad asociada con la observación de la capa de Ekman por dos razones principales: la teoría es demasiado simplista ya que asume una viscosidad turbulenta constante, lo cual el propio Ekman anticipó, ^{[ 32 ]} diciendo

Es obvio que${\displaystyle \ \left[\nu \right]}$Generalmente no puede considerarse como una constante cuando la densidad del agua no es uniforme dentro de la región considerada.

y porque es difícil diseñar instrumentos con la sensibilidad suficiente para observar el perfil de velocidad en el océano.

demostraciones de laboratorio

La capa inferior de Ekman se puede observar fácilmente en un tanque cilíndrico giratorio de agua añadiendo tinte y cambiando ligeramente la velocidad de rotación. ^{[ 33 ]} Las capas superficiales de Ekman también se pueden observar en tanques giratorios. ^{[ 34 ]}

En la atmósfera

En la atmósfera, la solución de Ekman generalmente sobreestima la magnitud del campo de viento horizontal porque no tiene en cuenta la cizalladura de velocidad en la capa superficial . Dividir la capa límite planetaria en la capa superficial y la capa de Ekman generalmente produce resultados más precisos. ^{[ 35 ]}

En el océano

La capa de Ekman, con su característica distintiva, la espiral de Ekman, rara vez se observa en el océano. La capa de Ekman cerca de la superficie del océano se extiende solo unos 10 a 20 metros de profundidad, ^{[ 35 ]} y la instrumentación lo suficientemente sensible como para observar un perfil de velocidad a tan poca profundidad solo ha estado disponible desde alrededor de 1980. ^{[ 31 ]} Además, las olas del viento modifican el flujo cerca de la superficie y hacen que las observaciones cerca de la superficie sean bastante difíciles. ^{[ 36 ]}

Instrumentación

Las observaciones de la capa de Ekman solo han sido posibles desde el desarrollo de amarres de superficie robustos y medidores de corriente sensibles. El propio Ekman desarrolló un medidor de corriente para observar la espiral que lleva su nombre, pero no tuvo éxito. ^{[ 37 ]} El medidor de corriente de medición vectorial ^{[ 38 ]} y el perfilador de corriente Doppler acústico se utilizan para medir la corriente.

Observaciones

Las primeras observaciones documentadas de una espiral tipo Ekman en el océano se realizaron en el Océano Ártico desde un témpano de hielo a la deriva en 1958. ^{[ 39 ]} Las observaciones más recientes incluyen (lista no exhaustiva):

• El experimento de la capa mixta de 1980 ^{[ 40 ]}
• Dentro del Mar de los Sargazos durante el Estudio a Largo Plazo de la Capa Superior del Océano de 1982 ^{[ 41 ]}
• Dentro de la Corriente de California durante el experimento de la Corriente de Límite Oriental de 1993 ^{[ 42 ]}
• Dentro de la región del Paso Drake del Océano Austral ^{[ 43 ]}
• En el Pacífico tropical oriental, a 2°N, 140°O, utilizando 5 medidores de corriente entre 5 y 25 metros de profundidad. ^{[ 44 ]} Este estudio señaló que la cizalladura geostrófica asociada con las ondas de estabilidad tropical modificó la espiral de Ekman en relación con lo que se espera con una densidad uniforme horizontal.
• Al norte de la meseta de Kerguelen durante el experimento SOFINE de 2008 ^{[ 45 ]}

En varias de estas observaciones, se encontró que las espirales estaban "comprimidas", mostrando mayores estimaciones de viscosidad turbulenta al considerar la tasa de rotación con la profundidad que la viscosidad turbulenta derivada al considerar la tasa de decaimiento de la velocidad. ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 45 ]}

• Número de Ekman : relación adimensional entre las fuerzas viscosas y de Coriolis. 
• Velocidad de Ekman : fórmula para la velocidad de la corriente de agua inducida por el viento. 
• Surgencia : fenómeno oceanográfico del movimiento del agua del océano impulsado por el viento. 
• Vagn Walfrid Ekman - oceanógrafo sueco (1874-1954) 

• Colling, A., Circulación oceánica , Equipo docente de la Open University. Segunda edición. 2001. ISBN 978-0-7506-5278-0
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• Knauss, JA, Introducción a la oceanografía física , Waveland Press. Segunda edición. 2005. ISBN 978-1-57766-429-1
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• Sverdrup, KA, Duxbury, AC, Duxbury, AB, Introducción a los océanos del mundo , McGraw-Hill. Octava edición. 2005. ISBN 978-0-07-294555-3

• ¿Qué es el transporte Ekman  ?
• Demostración de laboratorio de la capa inferior de Ekman. Archivado el 22/10/2013 en Wayback Machine.
• Demostración de laboratorio de la capa de Ekman superficial