elasticidad lineal

La elasticidad lineal es un modelo matemático que describe cómo los objetos sólidos se deforman y se someten a tensiones internas bajo condiciones de carga específicas. Es una simplificación de la teoría no lineal de la elasticidad, más general , y una rama de la mecánica de medios continuos .

Los supuestos fundamentales de la elasticidad lineal son las deformaciones infinitesimales —es decir, deformaciones pequeñas— y las relaciones lineales entre los componentes de tensión y deformación —de ahí el término «lineal» en su nombre—. La elasticidad lineal solo es válida para estados de tensión que no producen fluencia . Sus supuestos son razonables para muchos materiales de ingeniería y escenarios de diseño de ingeniería. Por lo tanto, la elasticidad lineal se utiliza ampliamente en el análisis estructural y el diseño de ingeniería, a menudo con la ayuda del análisis de elementos finitos .

Formulación matemática

Las ecuaciones que rigen un problema de contorno elástico lineal se basan en tres ecuaciones diferenciales parciales tensoriales para el equilibrio del momento lineal y seis relaciones infinitesimales de deformación - desplazamiento . El sistema de ecuaciones diferenciales se completa con un conjunto de relaciones constitutivas algebraicas lineales .

Forma tensorial directa

En forma tensorial directa , independiente de la elección del sistema de coordenadas, estas ecuaciones gobernantes son: ^{[ 1 ]}

La ecuación de momento de Cauchy , que es una expresión de la segunda ley de Newton . En forma convectiva se escribe como: ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}$
Ecuaciones de deformación-desplazamiento : ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]$
Ecuaciones constitutivas . Para materiales elásticos, la ley de Hooke representa el comportamiento del material y relaciona las tensiones y deformaciones desconocidas. La ecuación general para la ley de Hooke es: ${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},$

dónde ${\boldsymbol {\sigma }}$ es el tensor de tensiones de Cauchy , ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ es el tensor de deformación infinitesimal , $\mathbf {u}$ es el vector de desplazamiento , ${\mathsf {C}}$ es el tensor de rigidez de cuarto orden , $\mathbf {F}$ es la fuerza del cuerpo por unidad de volumen, $\rho$ es la densidad de masa, ${\boldsymbol {\nabla }}$ representa el operador nabla , $(\bullet )^{\mathrm {T} }$ representa una transpuesta , ${\ddot {(\bullet )}}$ representa la segunda derivada material con respecto al tiempo, y ${\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}$ es el producto interno de dos tensores de segundo orden (se sobreentiende la suma sobre índices repetidos).

Forma de coordenadas cartesianas

Expresadas en términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , las ecuaciones que rigen la elasticidad lineal son: ^{[ 1 ]}

Ecuación de movimiento : $\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}$ donde el ${(\bullet )}_{,j}$ El subíndice es una abreviatura de $\partial {(\bullet )}/\partial x_{j}$ y $\partial _{tt}$ indica $\partial ^{2}/\partial t^{2}$ , $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$ es el tensor de tensiones de Cauchy, $F_{i}$ es la densidad de fuerza del cuerpo , $\rho$ es la densidad de masa, y $u_{i}$ es el desplazamiento.
Se trata de 3 ecuaciones independientes con 6 incógnitas independientes (tensiones).
En notación de ingeniería, son: ${\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$
Ecuaciones de deformación-desplazamiento : $\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})$ dónde $\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!$ es la deformación. Estas son 6 ecuaciones independientes que relacionan deformaciones y desplazamientos con 9 incógnitas independientes (deformaciones y desplazamientos).
En notación de ingeniería, son: ${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}$
Ecuaciones constitutivas . La ecuación para la ley de Hooke es: $\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}$ dónde $C_{ijkl}$ es el tensor de rigidez. Estas son 6 ecuaciones independientes que relacionan esfuerzos y deformaciones. El requisito de simetría de los tensores de esfuerzo y deformación lleva a la igualdad de muchas de las constantes elásticas, reduciendo el número de elementos diferentes a 21 ^{[ 2 ].} $C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}$ .

Un problema de contorno elastostático para un medio isotrópico-homogéneo es un sistema de 15 ecuaciones independientes y un número igual de incógnitas (3 ecuaciones de equilibrio, 6 ecuaciones de deformación-desplazamiento y 6 ecuaciones constitutivas). Al especificar las condiciones de contorno, el problema de contorno queda completamente definido. Para resolver el sistema se pueden adoptar dos enfoques según las condiciones de contorno del problema de contorno: una formulación de desplazamiento y una formulación de tensión .

Forma de coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas ( $r,\theta ,z$ ) las ecuaciones de movimiento son ^{[ 1 ]} ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$ Las relaciones deformación-desplazamiento son ${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}$ y las relaciones constitutivas son las mismas que en coordenadas cartesianas, excepto que los índices 1, 2, 3 ahora representan $r$ , $\theta$ , $z$ , respectivamente.

Forma de coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas ( $r,\theta ,\phi$ ) las ecuaciones de movimiento son ^{[ 1 ]} ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

El tensor de deformación en coordenadas esféricas es ${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}$

Medios (an)isotrópicos (in)homogéneos

En medios isótropos , el tensor de rigidez establece la relación entre las tensiones (tensiones internas resultantes) y las deformaciones (deformaciones resultantes). Para un medio isótropo, el tensor de rigidez no tiene una dirección preferida: una fuerza aplicada producirá los mismos desplazamientos (en relación con la dirección de la fuerza) independientemente de la dirección en que se aplique. En el caso isótropo, el tensor de rigidez se puede escribir como: $C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})$ dónde $\delta _{ij}$ es la delta de Kronecker , K es el módulo de compresibilidad (o incompresibilidad) y $\mu$ es el módulo de cizallamiento (o rigidez), dos módulos elásticos . Si el medio es inhomogéneo, el modelo isotrópico es adecuado si el medio es constante por partes o débilmente inhomogéneo; en el modelo suave fuertemente inhomogéneo, debe tenerse en cuenta la anisotropía. Si el medio es homogéneo , entonces los módulos elásticos serán independientes de la posición en el medio. La ecuación constitutiva puede escribirse ahora como: $\sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).$

Esta expresión separa la tensión en una parte escalar a la izquierda que puede asociarse con una presión escalar, y una parte sin traza a la derecha que puede asociarse con fuerzas cortantes. Una expresión más simple es: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} $\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}$ donde λ es el primer parámetro de Lamé . Dado que la ecuación constitutiva es simplemente un conjunto de ecuaciones lineales, la deformación puede expresarse como una función de las tensiones como: ^{[ 5 ]} $\varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)$ que de nuevo, es una parte escalar a la izquierda y una parte de cizallamiento sin traza a la derecha. Más sencillamente: $\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]$ dónde $\nu$ es la relación de Poisson y $E$ es el módulo de Young .

Elastostática

La elastostática es el estudio de la elasticidad lineal en condiciones de equilibrio, en las que la suma de todas las fuerzas sobre el cuerpo elástico es cero y los desplazamientos no dependen del tiempo. Las ecuaciones de equilibrio son entonces $\sigma _{ji,j}+F_{i}=0.$ En notación de ingeniería (con tau como esfuerzo cortante ),

${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0$
${\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0$
${\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0$

En esta sección se tratará únicamente el caso homogéneo isotrópico.

Formulación de desplazamiento

En este caso, los desplazamientos se prescriben en todo el contorno. En este enfoque, las deformaciones y tensiones se eliminan de la formulación, dejando los desplazamientos como incógnitas que deben resolverse en las ecuaciones gobernantes. Primero, las ecuaciones de deformación-desplazamiento se sustituyen en las ecuaciones constitutivas (ley de Hooke), eliminando las deformaciones como incógnitas: $\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).$ Diferenciando (suponiendo $\lambda$ y $\mu$ son espacialmente uniformes) produce: $\sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).$ Sustituyendo en la ecuación de equilibrio se obtiene: $\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0$ o (reemplazando los índices dobles (ficticios) (=sumatoria) k,k por j,j e intercambiando los índices, ij por, ji después de, en virtud del teorema de Schwarz ) $\mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0$ dónde $\lambda$ y $\mu$ son parámetros de Lamé . De esta forma, las únicas incógnitas restantes son los desplazamientos, de ahí el nombre de esta formulación. Las ecuaciones que rigen el sistema, obtenidas de esta manera, se denominan ecuaciones elastostáticas , un caso particular de las ecuaciones de Navier-Cauchy estacionarias que se presentan a continuación.

Derivación de las ecuaciones de Navier-Cauchy en estado estacionario en notación de ingeniería.

Primero, el $x$ Se considerará la dirección. Sustituyendo las ecuaciones de deformación-desplazamiento en la ecuación de equilibrio en la $x$ -dirección que tenemos $\sigma _{x}=2\mu \varepsilon _{x}+\lambda (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})=2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)$ $\tau _{xy}=\mu \gamma _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)$ $\tau _{xz}=\mu \gamma _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)$

Luego, sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de equilibrio en la $x\,\!$ -dirección que tenemos ${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0$ ${\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)+F_{x}=0$

Utilizando el supuesto de que $\mu$ y $\lambda$ son constantes podemos reorganizar y obtener: $\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0$

Siguiendo el mismo procedimiento para el $y\,\!$ -dirección y $z\,\!$ -dirección que tenemos $\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0$ $\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0$

Estas últimas 3 ecuaciones son las ecuaciones de Navier-Cauchy en estado estacionario, que también pueden expresarse en notación vectorial como $(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}$

Una vez calculado el campo de desplazamientos, estos se pueden sustituir en las ecuaciones de deformación-desplazamiento para calcular las deformaciones, que posteriormente se utilizan en las ecuaciones constitutivas para calcular las tensiones.

La ecuación biarmónica

La ecuación elastostática se puede escribir de la siguiente manera: $(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.$

Tomando la divergencia de ambos lados de la ecuación elastostática y suponiendo que las fuerzas de cuerpo tienen divergencia cero (homogéneas en el dominio) ( $F_{i,i}=0\,\!$ ) tenemos $(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.$

Observando que los índices sumados no tienen por qué coincidir y que las derivadas parciales conmutan, se ve que los dos términos diferenciales son iguales y tenemos: $\alpha ^{2}u_{j,iij}=0$ De lo cual concluimos que: $u_{j,iij}=0.$

Tomando el laplaciano de ambos lados de la ecuación elastostática y asumiendo además $F_{i,kk}=0\,\!$ , tenemos $(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.$

De la ecuación de divergencia, el primer término de la izquierda es cero (Nota: nuevamente, los índices sumados no tienen por qué coincidir) y tenemos: $\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0$ De lo cual concluimos que: $u_{i,kkmm}=0$ o, en notación libre de coordenadas $\nabla ^{4}\mathbf {u} =0$ que es simplemente la ecuación biarmónica en $\mathbf {u} \,\!$ .

Formulación del estrés

En este caso, las tracciones superficiales se prescriben en todo el contorno de la superficie. En este enfoque, se eliminan las deformaciones y los desplazamientos, quedando las tensiones como incógnitas que deben resolverse en las ecuaciones que rigen el sistema. Una vez determinado el campo de tensiones, las deformaciones se calculan mediante las ecuaciones constitutivas.

Hay seis componentes independientes del tensor de tensiones que deben determinarse, mientras que en la formulación del desplazamiento, solo hay tres componentes del vector de desplazamiento que deben determinarse. Esto significa que hay ciertas restricciones que deben imponerse al tensor de tensiones para reducir el número de grados de libertad a tres. Utilizando las ecuaciones constitutivas, estas restricciones se derivan directamente de las restricciones correspondientes que deben cumplirse para el tensor de deformaciones, que también tiene seis componentes independientes. Las restricciones sobre el tensor de deformaciones se derivan directamente de la definición del tensor de deformaciones como función del campo vectorial de desplazamiento , lo que significa que estas restricciones no introducen nuevos conceptos ni información. Son las restricciones sobre el tensor de deformaciones las que se comprenden más fácilmente. Si el medio elástico se visualiza como un conjunto de cubos infinitesimales en estado no deformado, entonces, después de que el medio se deforma, un tensor de deformaciones arbitrario debe producir una situación en la que los cubos deformados aún encajen entre sí sin superponerse. En otras palabras, para una deformación dada, debe existir un campo vectorial continuo (el desplazamiento) a partir del cual se pueda derivar el tensor de deformación. Las restricciones sobre el tensor de deformación necesarias para asegurar que esto sea así fueron descubiertas por Saint Venant y se denominan " ecuaciones de compatibilidad de Saint Venant ". Se trata de 81 ecuaciones, 6 de las cuales son ecuaciones no triviales independientes, que relacionan los diferentes componentes de la deformación. Estas se expresan en notación de índices como: $\varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.$ En notación de ingeniería, son: ${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}$

Las deformaciones en esta ecuación se expresan luego en términos de las tensiones utilizando las ecuaciones constitutivas, lo que produce las restricciones correspondientes sobre el tensor de tensiones. Estas restricciones sobre el tensor de tensiones se conocen como las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell : $\sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.$ En la situación especial donde la fuerza del cuerpo es homogénea, las ecuaciones anteriores se reducen a ^{[ 6 ].} $(1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.$

Una condición necesaria, pero insuficiente, para la compatibilidad en esta situación es ${\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}$ o $\sigma _{ij,kk\ell \ell }=0$ . ^{[ 1 ]}

Estas restricciones, junto con la ecuación de equilibrio (o ecuación de movimiento en elastodinámica), permiten calcular el campo tensorial de tensiones . Una vez calculado el campo de tensiones a partir de estas ecuaciones, se pueden obtener las deformaciones a partir de las ecuaciones constitutivas y el campo de desplazamiento a partir de las ecuaciones de deformación-desplazamiento.

Una técnica de solución alternativa consiste en expresar el tensor de tensiones en términos de funciones de tensión , lo que proporciona automáticamente una solución a la ecuación de equilibrio. Dichas funciones de tensión responden entonces a una única ecuación diferencial que corresponde a las ecuaciones de compatibilidad.

Soluciones para casos elastostáticos

Solución de Thomson: fuerza puntual en un medio isotrópico infinito

La solución de Thomson o de Kelvin es la solución más importante de la ecuación de Navier-Cauchy o elastostática para la de una fuerza que actúa en un punto de un medio isotrópico infinito. Esta solución fue hallada por William Thomson (más tarde Lord Kelvin) en 1848 (Thomson 1848). Esta solución es el análogo de la ley de Coulomb en electrostática . Una derivación se encuentra en Landau y Lifshitz. ^{[ 7 ]}^{: §8} Definición $a=1-2\nu$ $b=2(1-\nu )=a+1$ dónde $\nu$ es la razón de Poisson, la solución se puede expresar como $u_{i}=G_{ik}F_{k}$ dónde $F_{k}$ es el vector de fuerza que se aplica en el punto, y $G_{ik}$ es una función de Green tensorial que puede escribirse en coordenadas cartesianas como: $G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]$

También puede escribirse de forma compacta como: $G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]$ y puede escribirse explícitamente como: $G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}$

En coordenadas cilíndricas ( $\rho ,\phi ,z\,\!$ ) se puede escribir como: $G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}$ donde $r$ es la distancia total al punto.

Resulta particularmente útil escribir el desplazamiento en coordenadas cilíndricas para una fuerza puntual. $F_{z}$ dirigido a lo largo del eje z. Definición ${\hat {\boldsymbol {\rho }}}$ y ${\hat {\mathbf {z} }}$ como vectores unitarios en el $\rho$ y $z$ Las direcciones respectivamente producen: $\mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]$

Se puede observar que existe un componente del desplazamiento en la dirección de la fuerza, que disminuye, como ocurre con el potencial en electrostática, como 1/ r para valores grandes de r . También existe un componente adicional dirigido en la dirección ρ.

Función de Green en el dominio de la frecuencia

Reescribir las ecuaciones de Navier-Cauchy en forma de componentes ^{[ 8 ]}

$(\lambda +\mu )\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\mu \partial _{j}\partial _{j}u_{i}=-F_{i}$

Convierta esto al dominio de la frecuencia, donde la derivada $\partial _{i}$ mapas a ${\sqrt {-1}}q_{i}$ , dónde $q$ es el vector de onda $(\lambda +\mu )q_{i}q_{j}u_{j}+\mu |q|^{2}u_{i}=F_{i}$

La función de Green de fuerza a desplazamiento en el dominio de la frecuencia espacial es la inversa de la anterior.

$G_{ij}(q)={\frac {1}{\mu }}{\bigg [}{\frac {\delta _{ij}}{|q|^{2}}}-{\frac {1}{b}}{\frac {q_{i}q_{j}}{|q|^{4}}}{\bigg ]}$

El estrés para tensar la función de Green $\Gamma$ es ^{[ 9 ]} $\Gamma _{khij}={\frac {1}{4\mu |q|^{2}}}(\delta _{ki}q_{h}q_{j}+\delta _{hi}q_{k}q_{j}+\delta _{kj}q_{h}q_{i}+\delta _{hj}q_{k}q_{i})-{\frac {\lambda +\mu }{\mu (\lambda +2\mu )}}{\frac {q_{i}q_{j}q_{k}q_{h}}{|q|^{4}}}$

dónde $\epsilon _{kh}=\Gamma _{khij}\sigma _{ij}$

Solución de Boussinesq-Cerruti: fuerza puntual en el origen de un semiespacio isotrópico infinito.

Otra solución útil es la de una fuerza puntual que actúa sobre la superficie de un semiplano infinito. ^{[ 6 ]} Fue derivada por Boussinesq ^{[ 10 ]} para la fuerza normal y por Cerruti para la fuerza tangencial, y se da una derivación en Landau y Lifshitz. ^{[ 7 ]}^{: §8} En este caso, la solución se escribe de nuevo como un tensor de Green que tiende a cero en el infinito, y la componente del tensor de tensiones normal a la superficie se anula. Esta solución puede escribirse en coordenadas cartesianas como [recordar: $a=(1-2\nu )$ y $b=2(1-\nu )$ , $\nu$ = Coeficiente de Poisson]:

$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}{\frac {br+z}{r+z}}+{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})x^{2}}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})xy}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{2}}}-{\frac {ax}{r+z}}\\{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})yx}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {br+z}{r+z}}+{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})y^{2}}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {yz}{r^{2}}}-{\frac {ay}{r+z}}\\{\frac {zx}{r^{2}}}+{\frac {ax}{r+z}}&{\frac {zy}{r^{2}}}+{\frac {ay}{r+z}}&b+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}$

Otras soluciones

Fuerza puntual dentro de un semiplano isotrópico infinito. ^{[ 11 ]}
Contacto de dos cuerpos elásticos: la solución de Hertz (ver código Matlab ). ^{[ 12 ]} Véase también la página sobre mecánica de contacto .

Elastodinámica en términos de desplazamientos

La elastodinámica estudia las ondas elásticas y se refiere a la elasticidad lineal con variación temporal. Una onda elástica es un tipo de onda mecánica que se propaga en materiales elásticos o viscoelásticos . La elasticidad del material proporciona la fuerza restauradora de la onda. Cuando se producen en la Tierra como resultado de un terremoto u otra perturbación, las ondas elásticas suelen denominarse ondas sísmicas .

La ecuación de momento lineal es simplemente la ecuación de equilibrio con un término inercial adicional: $\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.$

Si el material se rige por la ley de Hooke anisotrópica (con el tensor de rigidez homogéneo en todo el material), se obtiene la ecuación de desplazamiento de la elastodinámica : $\left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.$

Si el material es isotrópico y homogéneo, se obtiene la ecuación de Navier-Cauchy (general o transitoria) : $\mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.$

La ecuación de onda elastodinámica también puede expresarse como $\left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}$ dónde $A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}$ es el operador diferencial acústico y $\delta _{kl}$ es el delta de Kronecker .

En medios isotrópicos , el tensor de rigidez tiene la forma $C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})$ dónde $K$ es el módulo de compresibilidad (o incompresibilidad), y $\mu$ es el módulo de cizallamiento (o rigidez), dos módulos elásticos . Si el material es homogéneo (es decir, el tensor de rigidez es constante en todo el material), el operador acústico se convierte en: $A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})$

Para ondas planas , el operador diferencial anterior se convierte en el operador algebraico acústico : $A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})$ dónde $\alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho$ son los valores propios de $A[{\hat {\mathbf {k} }}]$ con autovectores ${\hat {\mathbf {u} }}$ paralelo y ortogonal a la dirección de propagación ${\hat {\mathbf {k} }}\,\!$ , respectivamente. Las ondas asociadas se denominan ondas elásticas longitudinales y transversales . En la literatura sismológica, las ondas planas correspondientes se denominan ondas P y ondas S (véase Onda sísmica ).

Elastodinámica en términos de tensiones

La eliminación de desplazamientos y deformaciones de las ecuaciones gobernantes conduce a la ecuación de Ignaczak de elastodinámica ^{[ 13 ].} $\left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.$

En el caso de isotropía local, esto se reduce a $\left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.$

Las principales características de esta formulación incluyen: (1) evita gradientes de cumplimiento pero introduce gradientes de densidad de masa; (2) es derivable de un principio variacional; (3) es ventajoso para manejar problemas de valores iniciales y de contorno de tracción; (4) permite una clasificación tensorial de ondas elásticas; (5) ofrece una gama de aplicaciones en problemas de propagación de ondas elásticas; (6) puede extenderse a la dinámica de sólidos clásicos o micropolares con campos interactuantes de diversos tipos (termoelásticos, porosos saturados de fluido, piezoelectroelásticos...) así como a medios no lineales.

Medios homogéneos anisotrópicos

Para medios anisotrópicos, el tensor de rigidez $C_{ijkl}$ es más complicado. La simetría del tensor de tensiones $\sigma _{ij}$ significa que hay como máximo 6 elementos diferentes de tensión. De manera similar, hay como máximo 6 elementos diferentes del tensor de deformación. $\varepsilon _{ij}\,\!$ . Por lo tanto, el tensor de rigidez de cuarto orden $C_{ijkl}$ puede escribirse como una matriz $C_{\alpha \beta }$ (un tensor de segundo orden). La notación de Voigt es la asignación estándar para los índices tensoriales, ${\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}$

Con esta notación, se puede escribir la matriz de elasticidad para cualquier medio elástico lineal como: $C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.$

Como se muestra, la matriz $C_{\alpha \beta }$ es simétrico, esto es resultado de la existencia de una función de densidad de energía de deformación que satisface $\sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}$ Por lo tanto, hay como máximo 21 elementos diferentes de $C_{\alpha \beta }\,\!$ .

El caso especial isotrópico tiene 2 elementos independientes: $C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.$

El caso anisotrópico más simple, el de simetría cúbica, tiene 3 elementos independientes: $C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.$

El caso de isotropía transversal , también llamada anisotropía polar, (con un único eje (el eje 3) de simetría) tiene 5 elementos independientes: $C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.$

Cuando la isotropía transversal es débil (es decir, cercana a la isotropía), una parametrización alternativa que utiliza parámetros de Thomsen resulta conveniente para las fórmulas de velocidad de onda.

El caso de la ortotropía (la simetría de un ladrillo) tiene 9 elementos independientes: $C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.$

Elastodinámica

La ecuación de onda elastodinámica para medios anisótropos se puede expresar como $(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}$ dónde $A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}$ es el operador diferencial acústico y $\delta _{kl}$ es el delta de Kronecker .

Ondas planas y ecuación de Christoffel

Una onda plana tiene la forma $\mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}$ con ${\hat {\mathbf {u} }}\,\!$ de longitud unitaria. Es una solución de la ecuación de onda con forzamiento cero, si y solo si $\omega ^{2}$ y ${\hat {\mathbf {u} }}$ constituyen un par de autovalor/autovector del operador algebraico acústico $A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.$ Esta condición de propagación (también conocida como ecuación de Christoffel ) puede escribirse como $A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}$ dónde ${\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}$ denota la dirección de propagación y $c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}$ es la velocidad de fase.

Algunas soluciones clásicas de elasticidad lineal bidimensional

En lo siguiente

${\begin{aligned}G&={\frac {E}{2(1+\nu )}}\quad {\text{(Shear modulus)}}\\\kappa &={\begin{cases}{\dfrac {3-\nu }{1+\nu }}&{\text{Plane stress}}\\[6pt]3-4\nu &{\text{Plane strain}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Aquí, $E$ es el módulo de Young y $\nu$ es el coeficiente de Poisson.

Placa infinita bidimensional con un agujero libre de tracción de radio $a$ sometido a un campo de estrés remoto $\sigma _{xx}=\sigma$

Los campos de tensión y desplazamiento vienen dados por (la orientación $\theta =0$ , está a lo largo de la $x$ eje -) ^{[ 14 ]}

${\begin{aligned}\sigma _{rr}(r,\theta )&={\frac {\sigma }{2}}\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)+{\frac {\sigma }{2}}\left(1-{\frac {4a^{2}}{r^{2}}}+{\frac {3a^{4}}{r^{4}}}\right)\cos 2\theta \\\sigma _{\theta \theta }(r,\theta )&={\frac {\sigma }{2}}\left(1+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)-{\frac {\sigma }{2}}\left(1+{\frac {3a^{4}}{r^{4}}}\right)\cos 2\theta \\\sigma _{r\theta }(r,\theta )&=-{\frac {\sigma }{2}}\left(1+{\frac {2a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {3a^{4}}{r^{4}}}\right)\sin 2\theta \end{aligned}}$

${\begin{aligned}u_{r}(r,\theta )&={\frac {\sigma }{4G}}{\Bigg [}{\frac {r}{2}}\left({\frac {\kappa -1}{2}}+\cos 2\theta \right)+{\frac {a^{2}}{r}}\left(1+\cos 2\theta \right)-{\frac {a^{4}}{2r^{3}}}\cos 2\theta {\Bigg ]}\\u_{\theta }(r,\theta )&={\frac {\sigma }{4G}}{\Bigg [}-{\frac {r}{2}}\sin 2\theta +{\frac {a^{2}}{r}}\left({\frac {\kappa +1}{2}}\right)\sin 2\theta -{\frac {a^{4}}{2r^{3}}}\sin 2\theta {\Bigg ]}\end{aligned}}$

En el límite del agujero:

${\begin{aligned}\sigma _{rr}(a,\theta )&=0,\quad \sigma _{r\theta }(a,\theta )=0\\\sigma _{\theta \theta }(a,\theta )&=\sigma (1-2\cos 2\theta )\end{aligned}}$

La tensión circunferencial máxima se produce en $\theta =\pi /2$ ;

$\sigma _{\theta \theta }^{\text{max}}=3\sigma$

Por lo tanto, el factor de concentración de estrés (SCF) es 3.

Solución Flamant: Semiespacio bajo fuerzas superficiales concentradas

Consulte el artículo Solución Flamant

Semiespacio bajo carga normal uniforme $\sigma _{yy}=-p$ actuando sobre $-a\leq x\leq a$ y $y=0$

Dejemos que el semiplano ocupe la posición $y\geq 0$ . Se aplica una carga de presión uniforme de tal manera que $\sigma _{yy}=-p$ actuando sobre $-a\leq x\leq a$ .

Los campos de tensión vienen dados por

${\begin{aligned}\sigma _{xx}=-{\frac {p}{2\pi }}\left[2(\theta _{2}-\theta _{1})+(\sin 2\theta _{2}-\sin 2\theta _{1})\right]\\\sigma _{yy}=-{\frac {p}{2\pi }}\left[2(\theta _{2}-\theta _{1})-(\sin 2\theta _{2}-\sin 2\theta _{1})\right]\\\sigma _{xy}={\frac {p}{2\pi }}\left[(\cos 2\theta _{2}-\cos 2\theta _{1})\right]\\\end{aligned}}$

dónde

$\tan \theta _{1,2}={\frac {z}{x\mp a}}$ .

Las tensiones principales vienen dadas por

$\sigma _{1,2}=-{\frac {p}{\pi }}(\alpha \mp \sin \alpha )$

dónde $\alpha =\theta _{1}-\theta _{2}$ . La tensión cortante máxima es $\tau _{max}={\frac {p}{\pi }}\sin \alpha$

Véase también

Referencias

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