Diagrama (lógica matemática)

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , el diagrama de una estructura es el conjunto de oraciones con parámetros de la estructura que son verdaderas en la estructura, denotado${\displaystyle D({\mathfrak {A}})}$o${\displaystyle {\text{Diag}}({\mathfrak {A}})}$para una estructura${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$Por lo general, «diagrama» se refiere al diagrama atómico que contiene únicamente las oraciones atómicas y atómicas negadas que son verdaderas en la estructura. También podemos definir el diagrama elemental que contiene todas las oraciones verdaderas.

Los diagramas son una herramienta sencilla pero poderosa para demostrar propiedades útiles de una teoría , por ejemplo, la propiedad de amalgamación y la propiedad de incrustación conjunta , entre otras. El término «diagrama» fue introducido por Abraham Robinson , el primer teórico de modelos en utilizarlos sistemáticamente. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ser un lenguaje de primer orden y${\displaystyle T}$ser una teoría sobre${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$Para un modelo${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$de${\displaystyle T}$uno se expande${\displaystyle {\mathcal {L}}}$a un nuevo idioma

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}:={\mathcal {L}}\cup \{c_{i}:a_{i}\in A\}}$

agregando un nuevo símbolo constante${\displaystyle c_{i}}$para cada elemento${\displaystyle a_{i}}$en${\displaystyle A,}$dónde${\displaystyle A}$es un subconjunto (no necesariamente propio) del dominio de${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$Ahora uno puede expandirse${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$al modelo ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}:=({\mathfrak {A}},a_{i})_{a_{i}\in A}.}$

El diagrama (atómico)${\displaystyle D({\mathfrak {A}})}$de${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$es el conjunto de todas las oraciones atómicas y negaciones de oraciones atómicas de${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$que sostienen en${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}.}$^{[ 2 ] [ 3 ]} Simbólicamente,${\displaystyle D({\mathfrak {A}})=\{\phi$ :{\mathfrak {A}}\models \phi {\text{ donde }}\phi {\text{ es una fórmula atómica }}{\mathcal {L}}_{A}{\text{ o una negación de la misma}}\}} .

El diagrama elemental${\displaystyle D_{el}({\mathfrak {A}})}$de${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$es el conjunto de todas las oraciones de${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$que sostienen en${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}.}$^{[ 4 ] [ 5 ]} Simbólicamente,${\displaystyle D_{el}({\mathfrak {A}})=\{\phi$ :{\mathfrak {A}}\models \phi {\text{ donde }}\phi {\text{ es una oración de }}{\mathcal {L}}_{A}\}} . Equivalentemente,${\displaystyle D_{el}({\mathfrak {A}})=\{\phi (c_{1},\ldots ,c_{n}):{\mathfrak {A}}\models \phi (c_{1},\ldots ,c_{n}){\text{ donde }}\phi {\text{ es una }}{\mathcal {L}}{\text{-fórmula}}\}}$. ^{[ 6 ]}

El diagrama positivo de${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, a veces denotado${\displaystyle D^{+}({\mathfrak {A}})}$, es el conjunto de todas aquellas oraciones atómicas que contienen en${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$mientras que el diagrama negativo, denotado${\displaystyle D^{-}({\mathfrak {A}}),}$de ello es el conjunto de todas aquellas oraciones atómicas que no se sostienen en${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. El diagrama positivo y la negación de todas las fórmulas en el diagrama negativo se combinan para formar el diagrama atómico. Simbólicamente,${\displaystyle D({\mathfrak {A}})=D^{+}({\mathfrak {A}})\cup \neg D^{-}({\mathfrak {A}})}$.