La conjetura de Lehmer

La conjetura de Lehmer , también conocida como el problema de la medida de Mahler de Lehmer, es un problema de teoría de números planteado por Derrick Henry Lehmer . ^{[ 1 ]} La conjetura afirma que existe una constante absoluta${\displaystyle \mu >1}$de tal manera que todo polinomio con coeficientes enteros${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$satisface una de las siguientes propiedades:

• La medida de Mahler ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))}$de${\displaystyle P(x)}$es mayor o igual que${\displaystyle \mu }$.
• ${\displaystyle P(x)}$es un múltiplo entero de un producto de polinomios ciclotómicos o del monomio${\displaystyle x}$, en cuyo caso${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1}$. (De forma equivalente, toda raíz compleja de${\displaystyle P(x)}$es una raíz de la unidad o de cero.)

Existen varias definiciones de la medida de Mahler, una de las cuales es factorizar.${\displaystyle P(x)}$encima${\displaystyle \mathbb {C} }$como

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D}),}$

y luego configurar

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|).}$

La medida de Mahler más pequeña conocida (mayor que 1) es para el "polinomio de Lehmer".

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1\,,}$

para la cual la medida de Mahler es el número de Salem ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1.176280818\dots \ .}$

Se cree ampliamente que este ejemplo representa el verdadero valor mínimo: es decir,${\displaystyle \mu =1.176280818\dots }$en la conjetura de Lehmer. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Consideremos la medida de Mahler para una variable y la fórmula de Jensen muestra que si${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})}$entonces

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|).}$

En este párrafo se indica ${\displaystyle m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))}$, que también se denomina medida de Mahler .

Si${\displaystyle P}$tiene coeficientes enteros, esto demuestra que${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$es un número algebraico, por lo tanto${\displaystyle m(P)}$es el logaritmo de un entero algebraico . También muestra que${\displaystyle m(P)\geq 0}$y que si${\displaystyle m(P)=0}$entonces${\displaystyle P}$es un producto de polinomios ciclotómicos, es decir, polinomios mónicos cuyas raíces son todas raíces de la unidad, o un polinomio monomio de${\displaystyle x}$es decir, un poder${\displaystyle x^{n}}$para algunos${\displaystyle n}$.

Lehmer notó ^{[ 1 ] [ 6 ]} que${\displaystyle m(P)=0}$es un valor importante en el estudio de las secuencias de enteros${\displaystyle \Delta _{n}={\text{Res}}(P(x),x^{n}-1)=\prod _{i=1}^{D}(\alpha _{i}^{n}-1)}$para mónico${\displaystyle P}$. Si${\displaystyle P}$entonces no desaparece en el círculo${\displaystyle \lim |\Delta _ {n}|^{1/n}={\mathcal {M}}(P)}$. Si ${\displaystyle P}$Si se desvanece en el círculo pero no en ninguna raíz de la unidad, entonces la misma convergencia se cumple por el teorema de Baker (de hecho, un resultado anterior de Gelfond es suficiente para esto, como señaló Lind en relación con su estudio de automorfismos torales cuasihiperbólicos ^{[ 7 ]} ). ^{[ 8 ]} Como resultado, Lehmer se vio llevado a preguntar

si hay una constante${\displaystyle c>0}$de tal manera que${\displaystyle m(P)>c}$proporcionó${\displaystyle P}$¿No es ciclotómico?

o

dado${\displaystyle c>0}$¿hay?${\displaystyle P}$con coeficientes enteros para los cuales${\displaystyle 0<m(P)<c}$¿

Se han proporcionado algunas respuestas positivas, como se indica a continuación, pero la conjetura de Lehmer aún no está completamente demostrada y sigue siendo un tema de gran interés.

Dejar${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$sea ​​un polinomio mónico irreducible de grado${\displaystyle D}$.

Smyth ^{[ 9 ]} demostró que la conjetura de Lehmer es verdadera para todos los polinomios que no son recíprocos , es decir, todos los polinomios que satisfacen${\displaystyle x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)}$.

Blanksby y Montgomery ^{[ 10 ]} y Stewart ^{[ 11 ]} demostraron independientemente que existe una constante absoluta.${\displaystyle C>1}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1}$o ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq {\frac {C}{D\log D}}.}$

Dobrowolski ^{[ 13 ]} mejoró esto a

${\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq C\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}.}$

Dobrowolski obtuvo el valor C ≥ 1/1200 y asintóticamente C > 1-ε para todo D suficientemente grande . Voutier en 1996 obtuvo C ≥ 1/4 para D ≥ 2. ^{[ 14 ]}

Dejar${\displaystyle E/K}$sea ​​una curva elíptica definida sobre un campo numérico.${\displaystyle K}$y dejar${\displaystyle {\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R} }$sea ​​la función de altura canónica . La altura canónica es el análogo para curvas elípticas de la función${\displaystyle (\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))}$Tiene la propiedad de que${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)=0}$si y solo si${\displaystyle Q}$es un punto de torsión en${\displaystyle E({\bar {K}})}$La conjetura elíptica de Lehmer afirma que existe una constante${\displaystyle C(E/K)>0}$de tal manera que

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}}$para todos los puntos que no son de torsión${\displaystyle Q\in E({\bar {K}})}$,

dónde${\displaystyle D=[K(Q):K]}$Si la curva elíptica E tiene multiplicación compleja , entonces se cumple el análogo del resultado de Dobrowolski:

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3},}$

debido a Laurent. ^{[ 15 ]} Para curvas elípticas arbitrarias, el mejor resultado conocido es

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{3}(\log D)^{2}}},}$

debido a Masser . ^{[ 16 ]} Para curvas elípticas con j-invariante no entero , esto se ha mejorado a

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{2}(\log D)^{2}}},}$

por Hindry y Silverman . ^{[ 17 ]}

Se conocen resultados más contundentes para clases restringidas de polinomios o números algebraicos.

Si P ( x ) no es recíproco, entonces

${\displaystyle M(P)\geq M(x^{3}-x-1)\approx 1.3247}$

y esto es claramente lo mejor posible. ^{[ 18 ]} Si además todos los coeficientes de P son impares, entonces ^{[ 19 ]}

${\displaystyle M(P)\geq M(x^{2}-x-1)\approx 1.618.}$

Para cualquier número algebraico α , sea${\displaystyle M(\alpha )}$sea ​​la medida de Mahler del polinomio mínimo${\displaystyle P_{\alpha }}$de α . Si el cuerpo Q ( α ) es una extensión de Galois de Q , entonces la conjetura de Lehmer se cumple para${\displaystyle P_{\alpha }}$. ^{[ 19 ]}

Se sabe que la entropía teórica de la medida de un automorfismo ergódico de un grupo abeliano metrizable compacto viene dada por la medida logarítmica de Mahler de un polinomio con coeficientes enteros si es finito. ^{[ 20 ]} Como señaló Lind, esto significa que el conjunto de valores posibles de la entropía de tales acciones es o bien todos los${\displaystyle (0,\infty ]}$ o un conjunto numerable dependiendo de la solución al problema de Lehmer. ^{[ 21 ]} Lind también demostró que el toro de dimensión infinita tiene automorfismos ergódicos de entropía positiva finita o solo tiene automorfismos de entropía infinita dependiendo de la solución al problema de Lehmer. Dado que un automorfismo de grupo compacto ergódico es mediblemente isomorfo a un desplazamiento de Bernoulli , y los desplazamientos de Bernoulli se clasifican salvo isomorfismo medible por su entropía según el teorema de Ornstein , esto significa que el espacio de módulos de todos los automorfismos de grupo compacto ergódico salvo isomorfismo medible es numerable o no numerable dependiendo de la solución al problema de Lehmer.

• http://wayback.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ es una buena referencia sobre el problema.
• Weisstein, Eric W. "El problema de la medida Mahler de Lehmer" . MundoMatemático .