Torsión (álgebra)

En matemáticas , específicamente en teoría de anillos , un elemento de torsión es un elemento de un módulo que, al multiplicarse por algún divisor del anillo distinto de cero, resulta ser cero . El submódulo de torsión de un módulo es el submódulo formado por los elementos de torsión (en los casos en que se trata efectivamente de un submódulo, como cuando el anillo es un dominio de integridad ). Un módulo de torsión es un módulo compuesto enteramente por elementos de torsión. Un módulo es libre de torsión si su único elemento de torsión es el elemento cero.

Esta terminología se usa más comúnmente para módulos sobre un dominio , es decir, cuando los elementos regulares del anillo son todos sus elementos no nulos.

Esta terminología se aplica a los grupos abelianos (sustituyendo "módulo" y "submódulo" por " grupo " y " subgrupo "). Este es solo un caso particular de la situación más general, ya que los grupos abelianos son módulos sobre el anillo de los enteros . (De hecho, este es el origen de la terminología, que se introdujo para los grupos abelianos antes de generalizarse a los módulos).

En el caso de grupos no conmutativos, un elemento de torsión es un elemento de orden finito . A diferencia del caso conmutativo , los elementos de torsión no forman un subgrupo, en general.

Un elemento m de un módulo M sobre un anillo R se denomina elemento de torsión del módulo si existe un elemento regular r del anillo (un elemento que no es ni divisor de cero por la izquierda ni por la derecha ) que anula a m , es decir, r m = 0. En un dominio de integridad (un anillo conmutativo sin divisores de cero), todo elemento distinto de cero es regular, por lo que un elemento de torsión de un módulo sobre un dominio de integridad es aquel que es anulado por un elemento distinto de cero del dominio de integridad. Algunos autores utilizan esta definición de elemento de torsión, pero esta definición no funciona bien en anillos más generales.

Un módulo M sobre un anillo R se llama módulo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión, y libre de torsión si cero es el único elemento de torsión. ^{[ 1 ]} Si el anillo R es conmutativo, entonces el conjunto de todos los elementos de torsión forma un submódulo de M , llamado submódulo de torsión de M , a veces denotado T( M ). Si R no es conmutativo, T( M ) puede o no ser un submódulo. Se muestra en ( Lam 2007 ) que R es un anillo de Ore derecho si y solo si T( M ) es un submódulo de M para todos los R -módulos derechos. Dado que los dominios noetherianos derechos son de Ore, esto cubre el caso en que R es un dominio noetheriano derecho (que podría no ser conmutativo).

De forma más general, sea M un módulo sobre un anillo R y S un subconjunto multiplicativamente cerrado de R. Un elemento m de M se denomina elemento de torsión S si existe un elemento s en S tal que s anula a m , es decir, s m = 0. En particular, se puede tomar para S el conjunto de elementos regulares del anillo R y recuperar la definición anterior.

Un elemento g de un grupo G se denomina elemento de torsión del grupo si tiene orden finito, es decir, si existe un entero positivo m tal que g ^m = e , donde e denota el elemento identidad del grupo y g ^m denota el producto de m copias de g . Un grupo se denomina grupo de torsión (o periódico) si todos sus elementos son elementos de torsión y unUn grupo abeliano es aquel cuyo único elemento de torsión es el elemento identidad. Cualquiergrupo abelianopuede considerarse como un módulo sobre el anilloZde los números enteros, y en este caso las dos nociones de torsión coinciden.

1. Sea M un módulo libre sobre cualquier anillo R. Entonces, de las definiciones se deduce inmediatamente que M es libre de torsión (si el anillo R no es un dominio, la torsión se considera con respecto al conjunto S de divisores no nulos de R ). En particular, cualquier grupo abeliano libre es libre de torsión y cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo K es libre de torsión cuando se considera como un módulo sobre K.
2. A diferencia del ejemplo 1, cualquier grupo finito (abeliano o no) es periódico y finitamente generado . El problema de Burnside , por el contrario, plantea si un grupo periódico finitamente generado debe ser finito. La respuesta es "no" en general, incluso si el período es fijo.
3. Los elementos de torsión del grupo multiplicativo de un cuerpo son sus raíces de la unidad .
4. En el grupo modular Γ , obtenido del grupo SL(2, Z ) de matrices enteras de 2×2 con determinante unitario al factorizar su centro , cualquier elemento de torsión no trivial tiene orden dos y es conjugado al elemento S , o tiene orden tres y es conjugado al elemento ST . En este caso, los elementos de torsión no forman un subgrupo, por ejemplo, S · ST = T , que tiene orden infinito.
5. El grupo abeliano Q / Z , formado por los números racionales módulo 1, es periódico, es decir, cada elemento tiene orden finito. De forma análoga, el módulo K ( t )/ K [ t ] sobre el anillo R  = K [ t ] de polinomios en una variable es de torsión pura. Ambos ejemplos pueden generalizarse de la siguiente manera: si R es un dominio de integridad y Q es su cuerpo de fracciones , entonces Q / R es un R -módulo de torsión. 
6. El subgrupo de torsión de ( R / Z , +) es ( Q / Z , +) mientras que los grupos ( R , +) y ( Z , +) son libres de torsión. El cociente de un grupo abeliano libre de torsión por un subgrupo es libre de torsión precisamente cuando el subgrupo es un subgrupo puro .
7. Consideremos un operador lineal L que actúa sobre un espacio vectorial V de dimensión finita sobre el cuerpo K. Si consideramos V como un K [ L ]-módulo de forma natural, entonces (como resultado de muchas cosas, ya sea simplemente por la dimensionalidad finita o como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton ), V es un K [ L ]-módulo de torsión.

Supongamos que R es un dominio ideal principal (conmutativo) y M es un R -módulo finitamente generado . Entonces, el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal proporciona una descripción detallada del módulo M salvo isomorfismo . En particular, afirma que

${\displaystyle M\simeq F\oplus \mathrm {T} (M),}$

donde F es un R -módulo libre de rango finito (que depende solo de M ) y T( M ) es el submódulo de torsión de M. Como corolario , cualquier módulo libre de torsión finitamente generado sobre R es libre. Este corolario no se cumple para dominios conmutativos más generales, incluso para R  = K [ x , y ], el anillo de polinomios en dos variables. Para módulos no finitamente generados, la descomposición directa anterior no es cierta. El subgrupo de torsión de un grupo abeliano puede no ser un sumando directo del mismo. 

Supongamos que R es un dominio conmutativo y M es un R -módulo. Sea Q el cuerpo de fracciones del anillo R. Entonces se puede considerar el Q -módulo .

${\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q,}$

obtenido de M por extensión de escalares . Dado que Q es un cuerpo, un módulo sobre Q es un espacio vectorial, posiblemente de dimensión infinita. Existe un homomorfismo canónico de grupos abelianos de M a M _Q , y el núcleo de este homomorfismo es precisamente el submódulo de torsión T( M ). Más generalmente, si S es un subconjunto multiplicativamente cerrado del anillo R , entonces podemos considerar la localización del R -módulo M ,

${\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}$

que es un módulo sobre la localización R _S . Hay una aplicación canónica de M a M _S , cuyo núcleo es precisamente el submódulo de torsión S de M . Por lo tanto, el submódulo de torsión de M puede interpretarse como el conjunto de los elementos que "desaparecen en la localización". La misma interpretación sigue siendo válida en el contexto no conmutativo para anillos que satisfacen la condición de Ore , o más generalmente para cualquier conjunto denominador derecho S y R -módulo derecho M .

El concepto de torsión juega un papel importante en el álgebra homológica . Si M y N son dos módulos sobre un dominio conmutativo R (por ejemplo, dos grupos abelianos, cuando R  = Z ), los functores Tor generan una familia de R -módulos Tor _i ( M , N ). La S -torsión de un R -módulo M es canónicamente isomorfa a Tor ^R ₁ ( M , R _S / R ) mediante la sucesión exacta de Tor ^R _* : La sucesión exacta corta  ${\displaystyle 0\to R\to R_{S}\to R_{S}/R\to 0}$de R -módulos produce una secuencia exacta${\displaystyle 0\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}}$y por lo tanto${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)}$es el núcleo del mapa de localización de M. El símbolo Tor que denota los functores refleja esta relación con la torsión algebraica. Este mismo resultado es válido para anillos no conmutativos, siempre que el conjunto S sea un conjunto denominador derecho .

Los elementos de torsión de una variedad abeliana son puntos de torsión o, en una terminología más antigua, puntos de división . En curvas elípticas, se pueden calcular en términos de polinomios de división .

• torsión analítica
• Dinámica aritmética
• Módulo plano
• Aniquilador (teoría del anillo)
• Localización de un módulo
• Rango de un grupo abeliano
• torsión de Ray-Singer
• Grupo abeliano sin torsión
• Teorema del coeficiente universal

• Ernst Kunz, " Introducción al álgebra conmutativa y a la geometría algebraica ", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• Irving Kaplansky , " Grupos abelianos infinitos ", Universidad de Michigan, 1954.
• Michiel Hazewinkel (2001) [1994], "Submódulo de torsión" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Lam, Tsit Yuen (2007), Ejercicios en módulos y anillos , Problem Books in Mathematics, Nueva York: Springer, pp.  xviii+412, doi : 10.1007/978-0-387-48899-8 , ISBN 978-0-387-98850-4, MR 2278849 
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (Tercera  ed.), Springer, pág.  446, ISBN 978-0-387-72828-5.