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Transformaciones de impedancia equivalente

Una impedancia equivalente es un circuito equivalente de una red eléctrica de elementos de impedancia [ nota 2 ] que presenta la misma impedancia entre todos los pares de termin...

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Una impedancia equivalente es un circuito equivalente de una red eléctrica de elementos de impedancia [ nota 2 ] que presenta la misma impedancia entre todos los pares de terminales [ nota 10 ] que la red original. Este artículo describe transformaciones matemáticas entre algunas redes de impedancia lineales pasivas que se encuentran comúnmente en circuitos electrónicos.

En el análisis de redes lineales existen varios circuitos equivalentes muy conocidos y de uso frecuente . Entre ellos se incluyen resistencias en serie , resistencias en paralelo y la extensión a circuitos en serie y en paralelo para condensadores , inductores e impedancias generales. También son bien conocidos los circuitos generadores de corriente y de tensión equivalentes de Norton y Thévenin , respectivamente, así como la transformada Y-Δ . Ninguno de ellos se trata en detalle aquí; se recomienda consultar los artículos correspondientes enlazados.

El número de circuitos equivalentes en los que se puede transformar una red lineal es ilimitado. Incluso en los casos más triviales, esto se puede comprobar, por ejemplo, preguntando cuántas combinaciones diferentes de resistencias en paralelo son equivalentes a una resistencia combinada dada. El número de combinaciones en serie y en paralelo que se pueden formar crece exponencialmente con el número de resistencias, n . Para valores grandes de n, el tamaño del conjunto se ha determinado mediante técnicas numéricas que es aproximadamente 2,53 n , y analíticamente se establecen límites estrictos mediante una secuencia de números de Fibonacci de Farey . [ 1 ] Este artículo no pretende ser exhaustivo, pero existen algunas generalizaciones posibles. Wilhelm Cauer encontró una transformación que podía generar todos los equivalentes posibles de una impedancia lineal pasiva de un puerto , racional dada , [ nota 9 ] [ nota 8 ] o, en otras palabras, cualquier impedancia de dos terminales dada. También se encuentran comúnmente transformaciones de redes de 4 terminales, especialmente de 2 puertos, y son posibles transformaciones de redes aún más complejas.

La inmensidad del tema de los circuitos equivalentes queda patente en una anécdota contada por Sidney Darlington . Según Darlington, Ronald M. Foster descubrió un gran número de circuitos equivalentes tras la publicación, junto con George Campbell, de su artículo de 1920 sobre circuitos de cuatro puertos no disipativos. En el transcurso de este trabajo, analizaron las formas de interconectar cuatro puertos con transformadores ideales [ nota 5 ] y lograr la máxima transferencia de potencia. Encontraron varias combinaciones que podrían tener aplicaciones prácticas y solicitaron al departamento de patentes de AT&T que las patentara. El departamento de patentes respondió que no tenía sentido patentar solo algunos circuitos si un competidor podía usar un circuito equivalente para eludir la patente; debían patentarlos todos o no molestarse. Por lo tanto, Foster se dedicó a calcularlos todos. Llegó a la enorme cifra de 83.539 equivalentes (577.722 si se incluyen diferentes relaciones de salida). Eran demasiados para patentarlos, así que en su lugar la información se hizo pública para evitar que cualquiera de los competidores de AT&T los patentara en el futuro. [ 2 ] [ 3 ]

Redes de 2 terminales y 2 tipos de elementos

Una sola impedancia tiene dos terminales para conectarse al mundo exterior, por lo que puede describirse como una red de 2 terminales o de un puerto . A pesar de la descripción simple, no hay límite para el número de mallas [ nota 6 ] y, por lo tanto, para la complejidad y el número de elementos que puede tener la red de impedancia. Las redes de 2 elementos [ nota 4 ] son ​​comunes en el diseño de circuitos; los filtros, por ejemplo, suelen ser redes de tipo LC y los diseñadores de circuitos impresos prefieren las redes de tipo RC porque los inductores son más difíciles de fabricar. Las transformaciones son más simples y fáciles de encontrar que para las redes de 3 elementos. Las redes de un elemento pueden considerarse un caso especial de las de dos elementos. Es posible utilizar las transformaciones de esta sección en algunas redes de 3 elementos sustituyendo una red de elementos por el elemento Z n . Sin embargo, esto se limita a un máximo de dos impedancias que se pueden sustituir; el resto no será una elección libre. Todas las ecuaciones de transformación que se dan en esta sección se deben a Otto Zobel . [ 4 ]

redes de 3 elementos

Las redes de un elemento son triviales y las redes de dos elementos, [ nota 3 ] las redes de dos terminales son dos elementos en serie o dos elementos en paralelo, también triviales. El número mínimo de elementos que no es trivial es tres, y existen dos transformaciones no triviales de dos elementos posibles, una de las cuales es tanto la transformación inversa como la dual topológica de la otra. [ 5 ]

Redes de 4 elementos

Existen cuatro transformaciones no triviales de 4 elementos para redes de 2 tipos de elementos. Dos de ellas son las transformaciones inversas de las otras dos y dos son el dual de un par diferente. Son posibles transformaciones adicionales en el caso especial de que Z 2 sea del mismo tipo de elemento que Z 1 , es decir, cuando la red se reduce a un tipo de elemento. El número de redes posibles sigue creciendo a medida que aumenta el número de elementos. Para todas las entradas de la siguiente tabla se define: [ 6 ]

Redes de 2 terminales, n elementos y 3 tipos de elementos

Figura 1. Ejemplo sencillo de una red de impedancias que utiliza únicamente resistencias para mayor claridad. Sin embargo, el análisis de redes con otros elementos de impedancia se realiza siguiendo los mismos principios. Se muestran dos mallas, con números en círculos. La suma de las impedancias alrededor de cada malla, p, formará la diagonal de las entradas de la matriz, Z pp . La impedancia de las ramas compartidas por dos mallas, p y q, formará las entradas - Z pq . Z pq , p ≠ q, siempre tendrá un signo negativo siempre que la convención de corrientes de bucle se defina en la misma dirección (convencionalmente en sentido antihorario) y la malla no contenga transformadores ideales ni inductores mutuos.

Las redes simples con pocos elementos pueden tratarse formulando las ecuaciones de la red "a mano" mediante la aplicación de teoremas de redes simples como las leyes de circuitos de Kirchhoff . La equivalencia entre dos redes se demuestra comparando directamente los dos conjuntos de ecuaciones e igualando los coeficientes . Para redes grandes se requieren técnicas más potentes. Un enfoque común es comenzar expresando la red de impedancias como una matriz . Este enfoque solo es válido para redes racionales [ nota 9 ] . Cualquier red que incluya elementos distribuidos , como una línea de transmisión , no puede representarse mediante una matriz finita. Generalmente, una red de n mallas [ nota 6 ] requiere una matriz de n x n para representarla. Por ejemplo, la matriz para una red de 3 mallas podría ser:

[Z]=[Z11Z12Z13Z21Z22Z23Z31Z32Z33]{\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}}

Las entradas de la matriz se eligen de manera que la matriz forme un sistema de ecuaciones lineales en las tensiones y corrientes de la malla (tal como se define para el análisis de la malla ):

[V]=[Z][I]{\displaystyle \mathbf {[V]} =\mathbf {[Z][I]} }

El diagrama de ejemplo de la Figura 1, por ejemplo, puede representarse como una matriz de impedancia mediante

[Z]=[R1+R2−R2−R2R2+R3]{\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}}

y el sistema de ecuaciones lineales asociado es

[V10]=[R1+R2−R2−R2R2+R3][I1I2]{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}

En el caso más general, cada rama [ nota 1 ] Z p de la red puede estar formada por tres elementos de modo que

Zpag=sLpag+Rpag+1sdopag{\displaystyle Z_{\mathrm {p} }=sL_{\mathrm {p} }+R_{\mathrm {p} }+{1 \over sC_{\mathrm {p} }}}

donde L , R y C representan la inductancia , la resistencia y la capacitancia respectivamente, y s es el operador de frecuencia compleja.s=σ+iω{\displaystyle \scriptstyle s=\sigma +i\omega }.

Esta es la forma convencional de representar una impedancia general, pero para los fines de este artículo es matemáticamente más conveniente trabajar con la elastancia , D , la inversa de la capacitancia, C. En esos términos, la impedancia de rama general se puede representar mediante

sZpag=s2Lpag+sRpag+Dpag{\displaystyle sZ_{\mathrm {p} }=s^{2}L_{\mathrm {p} }+sR_{\mathrm {p} }+D_{\mathrm {p} }\,\!}

Asimismo, cada entrada de la matriz de impedancia puede constar de la suma de tres elementos. En consecuencia, la matriz puede descomponerse en tres matrices de n x n , una para cada uno de los tres tipos de elementos:

s[Z]=s2[L]+s[R]+[D]{\displaystyle s\mathbf {[Z]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} }

Se desea que la matriz [ Z ] represente una impedancia, Z ( s ). Para ello, se corta el bucle de una de las mallas y Z ( s ) es la impedancia medida entre los puntos cortados. Por convención, se supone que el puerto de conexión externa está en la malla 1 y, por lo tanto, está conectado a través de la entrada de la matriz Z11 , aunque sería perfectamente posible formularlo con conexiones a cualquier nodo deseado. [ nota 7 ] En la siguiente discusión, se supone que Z ( s ) se toma a través de Z11 . Z ( s ) se puede calcular a partir de [ Z ] mediante [ 7 ] .

Z(s)=|Z|z11{\displaystyle Z(s)={\frac {|\mathbf {Z} |}{z_{11}}}}

donde z 11 es el complemento de Z 11 y | Z | es el determinante de [ Z ].

Para la red de ejemplo anterior,

|Z|=(R1+R2)(R2+R3)−R22=R1R2+R1R3+R2R3 ,{\displaystyle |\mathbf {Z} |=(R_{1}+R_{2})(R_{2}+R_{3})-{R_{2}}^{2}=R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}\ ,}
z11=Z22=R2+R3 ,{\displaystyle z_{11}=Z_{22}=R_{2}+R_{3}\ ,}y,
Z(s)=R1+R2R3R2+R3 .{\displaystyle Z(s)=R_{1}+{\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}\ .}

Este resultado se verifica fácilmente mediante el método más directo de resistencias en serie y en paralelo. Sin embargo, estos métodos se vuelven rápidamente tediosos y engorrosos a medida que aumenta el tamaño y la complejidad de la red analizada.

Las entradas de [ R ], [ L ] y [ D ] no pueden establecerse arbitrariamente. Para que [ Z ] pueda realizar la impedancia Z ( s ), entonces [ R ], [ L ] y [ D ] deben ser matrices definidas positivas . Aun así, la realización de Z ( s ) contendrá, en general, transformadores ideales [ nota 5 ] dentro de la red. Encontrar solo aquellos transformadores que no requieren inductancias mutuas o transformadores ideales es una tarea más difícil. De manera similar, si se parte del "otro extremo" y se especifica una expresión para Z ( s ), esto tampoco puede hacerse arbitrariamente. Para ser realizable como una impedancia racional, Z ( s ) debe ser real positiva . La condición real positiva (PR) es necesaria y suficiente [ 8 ] , pero puede haber razones prácticas para rechazar algunas topologías . [ 7 ]

Una transformación de impedancia general para encontrar puertos racionales equivalentes a partir de una instancia dada de [ Z ] se debe a Wilhelm Cauer . El grupo de transformaciones afines reales

[Z′]=[T]T[Z][T]{\displaystyle \mathbf {[Z']} =\mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[Z]} \mathbf {[T]} }
dónde
[T]=[10⋯0T21T22⋯T2norte⋅⋯Tnorte1Tnorte2⋯Tnortenorte]{\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}

es invariante en Z ( s ). Es decir, todas las redes transformadas son equivalentes según la definición aquí dada. Si Z ( s ) para la matriz inicial dada es realizable, es decir, cumple la condición PR, entonces todas las redes transformadas producidas por esta transformación también cumplirán la condición PR. [ 7 ]

Redes de 3 y 4 terminales

Figura 2. Una red de 4 terminales conectada por puertos (arriba) presenta corrientes iguales y opuestas en cada par de terminales. La red inferior no cumple la condición de puerto y no puede considerarse de 2 puertos. Sin embargo, podría tratarse como una red desequilibrada de 3 puertos dividiendo uno de los terminales en tres terminales comunes compartidos entre los puertos.

Al analizar redes de cuatro terminales, el análisis de red suele realizarse en términos de redes de dos puertos, que abarcan una amplia gama de circuitos de utilidad práctica. El término "dos puertos" se refiere, esencialmente, a la forma en que la red se conecta al mundo exterior: los terminales se conectan en pares a una fuente o carga. Es posible tomar la misma red y conectarla a un circuito externo de tal manera que deje de comportarse como una red de dos puertos. Esta idea se ilustra en la Figura 2.

Redes equivalentes, tanto balanceadas como desbalanceadas. La impedancia de los elementos en serie en la versión balanceada es la mitad de la impedancia correspondiente en la versión desbalanceada.
Figura 3. Para estar equilibrada, una red debe tener la misma impedancia en cada "rama" del circuito.

Una red de 3 terminales también puede usarse como una de 2 puertos. Para lograr esto, uno de los terminales se conecta en común a un terminal de ambos puertos. En otras palabras, un terminal se ha dividido en dos terminales y la red se ha convertido efectivamente en una red de 4 terminales. Esta topología se conoce como topología desequilibrada y se opone a la topología equilibrada. La topología equilibrada requiere, como se muestra en la Figura 3, que la impedancia medida entre los terminales 1 y 3 sea igual a la impedancia medida entre 2 y 4. Esto se refiere a los pares de terminales que no forman puertos: el caso en el que los pares de terminales que forman puertos tienen la misma impedancia se denomina simétrico . En rigor, cualquier red que no cumpla la condición de equilibrio se considera desequilibrada, pero el término suele referirse a la topología de 3 terminales descrita anteriormente y en la Figura 3. Transformar una red desequilibrada de 2 puertos en una red equilibrada suele ser bastante sencillo: todos los elementos conectados en serie se dividen por la mitad y una de las mitades se reubica en lo que era la rama común. La transformación de una topología equilibrada a una desequilibrada a menudo es posible mediante la transformación inversa, pero existen ciertos casos de topologías que no pueden transformarse de esta manera. Por ejemplo, véase la explicación sobre las transformaciones de retículos más adelante.

Un ejemplo de una transformación de red de 3 terminales que no se limita a 2 puertos es la transformación Y-Δ . Esta es una transformación particularmente importante para encontrar impedancias equivalentes. Su importancia surge del hecho de que la impedancia total entre dos terminales no se puede determinar únicamente calculando combinaciones en serie y en paralelo, excepto para una clase restringida de redes. En el caso general, se requieren transformaciones adicionales. La transformación Y-Δ, su inversa, la transformación Δ-Y, y los análogos de n terminales de estas dos transformaciones ( transformaciones estrella-polígono ) representan las transformaciones adicionales mínimas necesarias para resolver el caso general. Las transformaciones en serie y en paralelo son, de hecho, las versiones de 2 terminales de la topología estrella y poligonal. Una topología simple común que no se puede resolver mediante combinaciones en serie y en paralelo es la impedancia de entrada a una red puente (excepto en el caso especial en que el puente está en equilibrio). [ 9 ] El resto de las transformaciones en esta sección se limitan a su uso con 2 puertos únicamente.

Transformaciones reticulares

Las redes simétricas de dos puertos pueden transformarse en redes reticulares mediante el teorema de bisección de Bartlett . Este método se limita a redes simétricas, pero incluye muchas topologías comunes en filtros, atenuadores y ecualizadores . La topología reticular es intrínsecamente equilibrada; no existe una contraparte desequilibrada y, por lo general, requiere más componentes que la red transformada.

Las transformaciones inversas de una red a una topología desequilibrada no siempre son posibles en términos de componentes pasivos. Por ejemplo, esta transformación:

No se puede lograr con componentes pasivos debido a los valores negativos que surgen en el circuito transformado. Sin embargo, se puede lograr si se permiten inductancias mutuas y transformadores ideales, por ejemplo, en este circuito . Otra posibilidad es permitir el uso de componentes activos que posibiliten la realización directa de impedancias negativas como componentes del circuito. [ 13 ]

En ocasiones, puede resultar útil realizar dicha transformación, no para construir el circuito transformado, sino para comprender mejor el funcionamiento del circuito original. El siguiente circuito, con topología en T puenteada, es una modificación de una sección en T de filtro derivada de m en serie intermedia . El circuito es obra de Hendrik Bode, quien afirma que la adición de una resistencia de puenteo de valor adecuado anula la resistencia parásita del inductor en paralelo. El funcionamiento de este circuito se aprecia claramente al transformarlo a topología en T: en esta configuración, la rama en paralelo presenta una resistencia negativa que puede igualarse exactamente a la resistencia parásita positiva del inductor. [ 14 ]

Cualquier red simétrica puede transformarse en cualquier otra red simétrica mediante el mismo método, es decir, transformándola primero en la forma reticular intermedia (omitida para mayor claridad en el ejemplo de transformación anterior) y, a partir de esta, en la forma reticular deseada. Al igual que en el ejemplo, esto generalmente dará como resultado elementos negativos, salvo en casos especiales. [ 15 ]

Eliminación de resistencias

Un teorema de Sidney Darlington establece que cualquier función PR Z ( s ) puede implementarse como una red de dos puertos sin pérdidas terminada en una resistencia positiva R. Es decir, independientemente de la cantidad de resistencias presentes en la matriz [ Z ] que representa la red de impedancia, se puede encontrar una transformación que implemente la red completamente como una red de tipo LC con una sola resistencia en el puerto de salida (que normalmente representaría la carga). No se requieren resistencias dentro de la red para implementar la respuesta especificada. En consecuencia, siempre es posible reducir redes de dos puertos de tres elementos a redes de dos puertos (LC) de dos elementos, siempre que el puerto de salida esté terminado en una resistencia del valor requerido. [ 8 ] [ 16 ] [ 17 ]

Eliminando los transformadores ideales

Una transformación elemental que se puede realizar con transformadores ideales y algún otro elemento de impedancia consiste en desplazar la impedancia al otro lado del transformador. En todas las transformaciones siguientes, r representa la relación de espiras del transformador.

Estas transformaciones no se aplican solo a elementos individuales; redes enteras pueden ser procesadas por el transformador. De esta manera, el transformador puede reubicarse en la red a una posición más conveniente.

Darlington proporciona una transformación equivalente que puede eliminar por completo un transformador ideal. Esta técnica requiere que el transformador esté junto a (o pueda colocarse junto a) una red en "L" de impedancias del mismo tipo. La transformación, en todas sus variantes, da como resultado que la red en "L" esté orientada en sentido opuesto, es decir, topológicamente reflejada. [ 2 ]

El ejemplo 3 muestra que el resultado es una red en Π en lugar de una red en L. Esto se debe a que el elemento en derivación tiene una capacitancia mayor que la requerida por la transformación, por lo que queda un excedente después de aplicarla. Si el excedente se encontrara en el elemento más cercano al transformador, se podría solucionar desplazándolo al otro lado del transformador antes de realizar la transformación. [ 2 ]

Terminología

  1. 1 2 Rama . Una rama de red es un grupo de elementos conectados en serie entre dos nodos. Una característica esencial de una rama es que todos los elementos de la rama tienen la misma corriente fluyendo a través de ellos.
  2. 1 2 Elemento . Un componente en una red, una resistencia individual (R), un inductor (L) o un condensador (C).
  3. 1 2 n -elemento . Una red que contiene un total de n elementos de todo tipo.
  4. 1 2 n -tipo de elemento . Una red que contiene n tipos diferentes de elementos. Por ejemplo, una red que consta únicamente de elementos LC es una red de 2 tipos de elementos.
  5. 1 2 3 Transformador ideal . Estos aparecen frecuentemente en el análisis de redes. Son una construcción puramente teórica que transforma perfectamente voltajes y corrientes en la relación dada sin pérdidas. Los transformadores reales son altamente eficientes y a menudo pueden usarse en lugar de un transformador ideal. Una diferencia esencial es que los transformadores ideales continúan funcionando cuando se les aplica corriente continua , algo que ningún transformador real podría hacer jamás. Véase transformador .
  6. 1 2 3 n -malla . Una malla es un bucle de una red donde existen conexiones que permiten el paso de la corriente de un elemento a otro, formando un camino ininterrumpido que finalmente regresa al punto de partida. Una malla esencial es un bucle que no contiene ningún otro bucle. Una red de n -mallas es aquella que contiene n mallas esenciales.
  7. 1 2 Nodo . ​​Un nodo de red es un punto en un circuito donde se unen un terminal de tres o más elementos.
  8. 1 2 Puerto . Un par de terminales de una red en los que fluyen corrientes iguales y opuestas.
  9. 1 2 3 Racional en este contexto significa una red compuesta por un número finito de elementos. Por lo tanto, se excluyen los elementos distribuidos , como en una línea de transmisión, porque la naturaleza infinitesimal de los elementos hará que su número tienda al infinito .
  10. 1 2 Terminal . Un punto en una red al que se pueden conectar voltajes externos a la red y por donde pueden circular corrientes externas. Una red de 2 terminales también es una red de un puerto. Las redes de 3 y 4 terminales a menudo, pero no siempre, también se conectan como redes de 2 puertos.

Referencias

  1. ↑ Khan, pág. 154
  2. 1 2 3 Darlington, pág. 6.
  3. ↑ Foster y Campbell, pág. 233
  4. ↑ Zobel, 1923.
  5. ↑ Zobel, pág. 45.
  6. ↑ Zobel, págs. 45–46.
  7. 1 2 3 E. Cauer et al. , pág. 4.
  8. 1 2 Belevitch, pág. 850
  9. ↑ Farago, págs. 18–21.
  10. 1 2 Zobel, págs. 19–20.
  11. ↑ Farago, págs. 117–121.
  12. ↑ Farago, pág. 117.
  13. ↑ Darlington, págs. 5–6.
  14. 1 2 Bode, Hendrik W., Filtro de onda , patente estadounidense 2 002 216, presentada el 7 de junio de 1933, emitida el 21 de mayo de 1935.
  15. ↑ Bartlett, pág. 902.
  16. ^ E. Cauer y otros, págs. 6–7.
  17. ↑ Darlington, pág. 7.

Bibliografía

  • Bartlett, AC , "Una extensión de una propiedad de las líneas artificiales", Phil. Mag. , vol. 4 , pág. 902, noviembre de 1927.
  • Belevitch, V. , "Resumen de la historia de la teoría de circuitos", Actas del IRE , vol. 50 , núm. 5, págs. 848-855, mayo de 1962.
  • E. Cauer, W. Mathis y R. Pauli, "Vida y obra de Wilhelm Cauer (1900 – 1945)" , Actas del Decimocuarto Simposio Internacional de Teoría Matemática de Redes y Sistemas , Perpiñán, junio de 2000.
  • Foster, Ronald M.; Campbell , George A. , "Redes de salida máxima para subestaciones telefónicas y circuitos repetidores" , Transactions of the American Institute of Electrical Engineers , vol. 39 , núm. 1, págs. 230-290, enero de 1920.
  • Darlington, S. , "Una historia de la síntesis de redes y la teoría de filtros para circuitos compuestos de resistencias, inductores y condensadores", IEEE Trans. Circuits and Systems , vol. 31 , págs. 3-13, 1984.
  • Farago, PS, Introducción al análisis de redes lineales , The English Universities Press Ltd, 1961.
  • Khan, Sameen Ahmed, "Secuencias de Farey y redes de resistencias" , Actas de la Academia India de Ciencias (Ciencias Matemáticas) , vol. 122 , núm. 2, págs. 153-162, mayo de 2012.
  • Zobel, OJ , Teoría y diseño de filtros de ondas eléctricas uniformes y compuestos , Bell System Technical Journal, vol. 2 (1923), págs. 1–46.