Grupo Chow de una pila

En geometría algebraica, el grupo de Chow de una pila es una generalización del grupo de Chow de una variedad o esquema a pilas . Para una pila cociente${\displaystyle X=[Y/G]}$, el grupo de Chow de X es el mismo que el grupo de Chow G - equivariante de Y.

Una diferencia clave con respecto a la teoría de grupos de Chow de una variedad es que un ciclo puede contener automorfismos no triviales y, por consiguiente, las operaciones de la teoría de la intersección deben tener esto en cuenta. Por ejemplo, el grado de un ciclo de grado 0 en una pila no tiene por qué ser un número entero, sino un número racional (debido a estabilizadores no triviales).

Angelo Vistoli ( 1989 ) desarrolla la teoría básica (principalmente sobre Q ) para el grupo de Chow de una pila de Deligne-Mumford (separada) . Allí, el grupo de Chow se define exactamente como en el caso clásico: es el grupo abeliano libre generado por subpilas cerradas integrales módulo equivalencia racional. 

Si una pila X se puede escribir como la pila cociente${\displaystyle X=[Y/G]}$Para alguna variedad cuasiproyectiva Y con una acción linealizada de un grupo algebraico lineal G , entonces el grupo de Chow de X se define como el grupo de Chow G - equivariante de Y. Este enfoque fue introducido y desarrollado por Dan Edidin y William A. Graham, así como por Burt Totaro . Posteriormente , Andrew Kresch (1999) extendió la teoría a una pila que admite una estratificación por pilas cociente.

Para grupos de Chow superiores (precursores de las homologías motivacionales ) de pilas algebraicas, véase la Teoría de la Intersección en Pilas: I y II de Roy Joshua.

Los cálculos dependen de las definiciones. Por lo tanto, aquí procedemos de alguna manera axiomáticamente. Específicamente, asumimos: dado un stack algebraico X localmente de tipo finito sobre un cuerpo base k ,

1. (invariancia homotópica) si E es un fibrado vectorial de rango n en X , entonces${\displaystyle A_{p}(E)=A_{pn}(X)}$.
2. para cada subpila integral Z de dimensión < p ,${\displaystyle A_{p}(XZ)=A_{p}(X)}$, un corolario de una secuencia de localización.

Estas propiedades son válidas si X es Deligne-Mumford y se espera que se cumplan para cualquier otra teoría razonable.

Tomamos X como la pila de clasificación${\displaystyle BG}$, la pila de fibrados G principales para un grupo algebraico lineal liso G. Por definición, es la pila cociente.${\displaystyle [*/G]}$, donde * se considera como la pila asociada a * = Spec k . Lo aproximamos de la siguiente manera. Dado un entero p , elija una representación${\displaystyle G\to GL(V)}$de tal manera que existe un subconjunto abierto U de V invariante a G sobre el cual G actúa libremente y el complemento${\displaystyle Z=VU}$tiene codimensión${\displaystyle >-\operatorname {dim} Gp}$. Dejar${\displaystyle *\times _{G}V}$ser el cociente de${\displaystyle *\times V}$por la acción${\displaystyle (x,v)\cdot g=(xg,g^{-1}v)}$. Tenga en cuenta que la acción es gratuita y por lo tanto${\displaystyle *\times _{G}V}$es un haz vectorial sobre${\displaystyle BG}$. Aplicando la Propiedad 1 a este haz vectorial,

${\displaystyle A_{p}(BG)=A_{p+\dim V}(*\times _{G}V).}$

Entonces, dado que${\displaystyle *\times _{G}U=U/G}$, por la Propiedad 2,

${\displaystyle A_{p+\dim V}(*\times _ {G}V)=A_{p+\dim V}(U/G)}$

desde${\displaystyle \dim[Z/G]=\dim Z-\dim G<\dim V+p}$.

Como ejemplo concreto, dejemos${\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}}$y dejar que actúe sobre${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$mediante escalado. Entonces${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$actúa libremente en${\displaystyle U=\mathbb {A} ^{n}-\{0\}}$. Según el cálculo anterior, para cada par de enteros n , p tales que${\displaystyle n+p\geq 0}$,

${\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=A_{p+n}(\mathbb {P} ^{n-1}).}$

En particular, para cada entero p ≥ 0,${\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=0}$. En general,${\displaystyle A_{nk}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {Q} h^{k}}$para la clase de hiperplano h ,${\displaystyle h^{k}}$k veces autointersección y${\displaystyle h^{k}=0}$para k negativo y así

${\displaystyle A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} h^{-1-p}}$

donde el lado derecho es independiente de los modelos utilizados en el cálculo (ya que diferentes h ' corresponden bajo las proyecciones entre espacios proyectivos). Para${\displaystyle p=-1=\dim B\mathbb {G} _{m}}$, la clase${\displaystyle h^{0}=[\mathbb {P} ^{n}]}$, cualquier n , puede pensarse como la clase fundamental de${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$.

De manera similar, tenemos

${\displaystyle A^{*}(B\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} [c]}$

dónde${\displaystyle c=c_{1}(h)}$es la primera clase de Chern de h (y c y h se identifican cuando se identifican los grupos de Chow y los anillos de Chow de espacios proyectivos). Dado que${\displaystyle h^{k}=c\cdot h^{k-1}}$, tenemos eso${\displaystyle A_{*}(B\mathbb {G} _{m})}$es gratis${\displaystyle \mathbb {Q} [c]}$-módulo generado por${\displaystyle h^{0}}$.

La noción tiene su origen en la teoría de Kuranishi en geometría simpléctica . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

En el § 2. de Behrend (2009) , dado un apilamiento DM X y C _X el cono normal intrínseco a X , K. Behrend define la clase fundamental virtual de X como

${\displaystyle [X]^{\text{vir}}=s_{0}^{!}[C_{X}]}$

donde s ₀ es la sección cero del cono determinada por la teoría de obstrucción perfecta y s ₀ ^! es el homomorfismo de Gysin refinado definido tal como en la "teoría de intersección" de Fulton. El mismo artículo muestra que el grado de esta clase, moralmente la integración sobre ella, es igual a la característica de Euler ponderada de la función de Behrend de X.

Enfoques más recientes (alrededor de 2017) realizan este tipo de construcción en el contexto de la geometría algebraica derivada . ^{[ 3 ]}

• teoría de la obstrucción perfecta
• Invariante de Gromov-Witten
• Cohomología de una pila

• Behrend, Kai (2009), "Invariantes de tipo Donaldson-Thomas mediante geometría microlocal", Annals of Mathematics , 2.ª serie, 170 (3): 1307–1338 , arXiv : math/0507523 , doi : 10.4007/annals.2009.170.1307 , MR 2600874 
• Ciocan-Fontanine, Ionuț; Kapranov, Mikhail (2009). "Clases fundamentales virtuales a través de dg–variedades". Geometría y Topología . 13 ( 3): 1779– 1804. arXiv : math/0703214 . doi : 10.2140/gt.2009.13.1779 . MR 2496057. S2CID 1211344 .  
• Fantechi, Barbara, Retrocesos virtuales en pilas algebraicas (PDF)
• Kresch, Andrew (1999), "Grupos de ciclos para pilas de Artin", Inventiones Mathematicae , 138 (3): 495–536 , arXiv : math/9810166 , Bibcode : 1999InMat.138..495K , doi : 10.1007/s002220050351 , S2CID 119617049 
• Totaro, Burt (1999), "El anillo de Chow de un espacio clasificador, K-teoría algebraica", Proc. Sympos. Pure Math , vol.  67, American Mathematical Society, pp. 249– 281, MR 1743244 , Zbl 0967.14005   
• Vistoli, Angelo (1989), "Teoría de la intersección en pilas algebraicas y en sus espacios de módulos", Inventiones Mathematicae , 97 (3): 613–670 , Bibcode : 1989InMat..97..613V , doi : 10.1007/BF01388892 , MR 1005008 , S2CID 122295050  
• Nabijou, Navid (2015), Clases fundamentales virtuales en la teoría de Gromov-Witten (PDF) , archivado del original (PDF) el 16 de mayo de 2017 , consultado el 20 de julio de 2017.
• Shen, Junliang (2014), Construcción de la clase fundamental virtual y aplicaciones (PDF)

• Clases virtuales para matemáticos en activo.
• El número clásico 2875 de líneas en la quíntica, como un invariante DT
• ¿Cuál es el principal fallo al usar el grupo Naive Chow en Artin Stack?
• Modelo local del ciclo fundamental virtual
• https://ncatlab.org/nlab/show/virtual+fundamental+class
• Sobre la clase virtual de fundamentos : una diapositiva de Kai Behrend