Cono normal (geometría algebraica)

Si${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z}$son incrustaciones regulares , entonces${\displaystyle j\circ i}$es una incrustación regular y hay una secuencia exacta natural de haces vectoriales en X : ^{[ 2 ]}$${\displaystyle 0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0.}$$

Si${\displaystyle Y_{i}\hookrightarrow X}$son incrustaciones regulares de codimensiones${\displaystyle c_{i}}$y si${\textstyle W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X}$es una incrustación regular de codimensión$${\displaystyle \sum c_{i}}$$entonces ^{[ 2 ]}$${\displaystyle N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}.}$$ En particular, si${\displaystyle X\to S}$es un morfismo suave , entonces el fibrado normal a la incrustación diagonal$${\displaystyle \Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X}$$( r -pliegue) es la suma directa de r − 1 copias del fibrado tangente relativo${\displaystyle T_{X/S}}$.

Si${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$es una inmersión cerrada y si${\displaystyle Y'\to Y}$es un morfismo plano tal que${\displaystyle X'=X\times _ {Y}Y'}$, entonces ^{[ 3 ]}$${\displaystyle C_{X'/Y'}=C_{X/Y}\times _{X}X'.}$$

Si${\displaystyle X\to S}$es un morfismo suave y${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$es una incrustación regular, entonces hay una secuencia exacta natural de haces vectoriales en X : ^{[ 4 ]}$${\displaystyle 0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0}$$ (que es un caso especial de una secuencia exacta para haces cotangentes ).

Para un cuadrado cartesiano de esquemas$${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}}$$con${\displaystyle f:X'\to X}$el mapa vertical, hay una incrustación cerrada$${\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow f^{*}C_{X/Y}}$$de conos normales.

Dejar${\displaystyle X}$ser un esquema de tipo finito sobre un cuerpo y${\displaystyle W\subset X}$un subesquema cerrado. Si${\displaystyle X}$es de dimensión pura r ; es decir, cada componente irreducible tiene dimensión r , entonces${\displaystyle C_{W/X}}$también es de dimensión pura r . ^{[ 5 ]} (Esto puede verse como una consecuencia de la #Deformación al cono normal .) Esta propiedad es clave para una aplicación en la teoría de la intersección : dado un par de subesquemas cerrados${\displaystyle V,X}$en algún espacio ambiental, mientras que la intersección esquemático-teórica${\displaystyle V\cap X}$tiene componentes irreductibles de diversas dimensiones, dependiendo delicadamente de las posiciones de${\displaystyle V,X}$, el cono normal a${\displaystyle V\cap X}$es de dimensión pura.

Consideremos la incrustación no regular ^{[ 7 ] : 4–5}$${\displaystyle X={\text{Especificación}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)\to \mathbb {A} ^{3}}$$ Entonces, podemos calcular el cono normal observando primero $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=(xz,yz)\\I^{2}&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2})\\\end{aligned}}}$$ Si hacemos las variables auxiliares${\displaystyle a=xz}$y${\displaystyle b=yz}$ obtenemos la relación $${\displaystyle ya-xb=0.}$$ Podemos usar esto para presentar el cono normal como el espectro relativo. $${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b]}{(ya-xb)}}\right)}$$ Desde${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$es afín, podemos simplemente escribir el espectro relativo como el esquema afín.$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z][a,b]}{(xz,yz,ya-xb)}}\right)}$$dándonos el cono normal.

Para la curva cúbica nodal${\displaystyle Y}$dado por el polinomio${\displaystyle y^{2}+x^{2}(x-1)}$encima${\displaystyle \mathbb {C} }$, y${\displaystyle X}$el punto en el nodo, el cono tiene el isomorfismo$${\displaystyle C_{X/Y}\cong {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} [x,y]/\left(y^{2}-x^{2}\right)\right)}$$mostrando que el cono normal tiene más componentes que el esquema sobre el que se encuentra.

Una aplicación de esto es definir productos de intersección en el anillo de Chow . Supongamos que X y V son subesquemas cerrados de Y con intersección W , y deseamos definir el producto de intersección de X y V en el anillo de Chow de Y. La deformación al cono normal en este caso significa que reemplazamos las incrustaciones de X y W en Y y V por sus conos normales C _Y ( X ) y C _W ( V ), de modo que queremos encontrar el producto de X y C _W V en C _X Y . Esto puede ser mucho más fácil: por ejemplo, si X está incrustado regularmente en Y , entonces su cono normal es un fibrado vectorial, por lo que nos reducimos al problema de encontrar el producto de intersección de un subesquema C _W V de un fibrado vectorial C _X Y con la sección cero X . Sin embargo, este producto de intersección se obtiene simplemente aplicando el isomorfismo de Gysin a C _W V .

Concretamente, la deformación del cono normal se puede construir mediante una explosión. Precisamente, dejemos $${\displaystyle \pi :M\to Y\times \mathbb {P} ^{1}}$$ ser el estallido de${\displaystyle Y\times \mathbb {P} ^{1}}$a lo largo de${\displaystyle X\times 0}$. El divisor excepcional es${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)}$, la completación proyectiva del cono normal; para la notación utilizada aquí, véase Cono (geometría algebraica) §  Propiedades . El cono normal${\displaystyle C_{X}Y}$es un subesquema abierto de${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$y${\displaystyle X}$está incrustado como una sección cero en${\displaystyle C_{X}Y}$.

Ahora bien, observamos:

1. El mapa${\displaystyle \rho :M\to \mathbb {P} ^{1}}$, el${\displaystyle \pi }$seguido de proyección, es plano.
2. Existe una incrustación cerrada inducida.$${\displaystyle {\widetilde {i}}:X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M}$$eso es un morfismo sobre${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$.
3. M es trivial lejos de cero; es decir,${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)}$y${\displaystyle {\widetilde {i}}}$se restringe a la incrustación trivial$${\displaystyle X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0).}$$
4. ${\displaystyle \rho ^{-1}(0)}$ya que el divisor es la suma$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}+{\widetilde {Y}}}$$dónde${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$es la explosión de Y a lo largo de X y se considera un divisor de Cartier efectivo.
5. Como divisores${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$y${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$se cruzan en${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$, dónde${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$se sienta en el infinito en${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$.

El elemento 1 está claro (verificar la ausencia de torsión). En general, dado${\displaystyle X\subset Y}$, tenemos${\displaystyle \operatorname {Bl} _{V}X\subset \operatorname {Bl} _{V}Y}$. Desde${\displaystyle X\times 0}$ya es un divisor Cartier efectivo en${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}}$, obtenemos $${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M,}$$ flexible${\displaystyle {\widetilde {i}}}$El punto 3 se deduce del hecho de que el mapa de soplado π es un isomorfismo fuera del centro.${\displaystyle X\times 0}$Los dos últimos elementos se obtienen mediante cálculo local explícito. QED

Ahora bien, el último elemento del párrafo anterior implica que la imagen de${\displaystyle X\times 0}$en M no se intersecta${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$. De este modo, se obtiene la deformación de i hasta la incrustación de sección cero de X en el cono normal.

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​una pila de Deligne-Mumford localmente de tipo finito sobre un campo${\displaystyle k}$. Si${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}}$denota el complejo cotangente de X en relación con${\displaystyle k}$, entonces el haz normal intrínseco ^{[ 8 ] : 27} a${\displaystyle X}$es la pila de cocientes$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}:=h^{1}/h^{0}({\textbf {L}}_{X,{\text{fppf}}}^{\vee })}$$que es la pila de fppf${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,0}}$- torsos en${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,1}}$Una interpretación concreta de este cociente de pila puede darse al observar su comportamiento localmente en el topos étale de la pila.${\displaystyle X}$.

El cono normal intrínseco a${\displaystyle X}$, denotado como${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}}$, ^{[ 8 ] : 29} se define entonces reemplazando el haz normal${\displaystyle N_{U/M}}$con el cono normal${\displaystyle C_{U/M}}$; es decir, $${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}|_{U}=[C_{U/M}/f^{*}T_{M}].}$$

Ejemplo : Uno tiene eso${\displaystyle X}$es una intersección completa local si y solo si${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}}$. En particular, si${\displaystyle X}$es suave , entonces${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}=BT_{X}}$es la pila de clasificación del haz tangente${\displaystyle T_{X}}$, que es un esquema de grupo conmutativo sobre${\displaystyle X}$.

En términos más generales, dejemos${\displaystyle X\to Y}$es un morfismo de tipo Deligne-Mumford (tipo DM) de pilas de Artin que es localmente de tipo finito. Entonces${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}\subseteq {\mathfrak {N}}_{X/Y}}$se caracteriza como la subpila cerrada tal que, para cualquier mapa étale${\displaystyle U\to X}$para qué${\displaystyle U\to X\to Y}$factores a través de algún mapa suave${\displaystyle M\to Y}$(p.ej,${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y}$), el retroceso es: $${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}|_{U}=[C_{U/M}/T_{M/Y}|_{U}].}$$