Cohomología equivariante

En matemáticas , la cohomología equivariante (o cohomología de Borel ) es una teoría de cohomología de la topología algebraica que se aplica a espacios topológicos con una acción de grupo . Puede considerarse una generalización común de la cohomología de grupos y una teoría de cohomología ordinaria .

Si $G$ actúa libremente, entonces el anillo de cohomología equivariante es simplemente el anillo de cohomología singular del espacio cociente. $X/G$ . En particular, si $G$ es el grupo trivial , entonces el anillo de cohomología equivariante es el anillo de cohomología ordinario de $X$ . Si $X$ es contraíble , se reduce al anillo de cohomología del espacio clasificador $BG$ (es decir, la cohomología de grupo de $G$ cuando $G$ es finito.)

Definiciones

Dejar $X$ sea un espacio topológico, con una acción (izquierda) de un grupo $G$ . Dejar $EG$ ser un espacio contraíble con una acción libre (derecha) por el mismo grupo. Definir $EG\times _{G}X$ ser el espacio cociente $(EG\times X)/{\sim }$ donde la relación de equivalencia $\sim$ identifica $(e\cdot g,x)$ con $(e,g\cdot x)$ a pesar de $e\in EG,x\in X,g\in G$ . El anillo de cohomología equivariante de $X$ (con respecto al grupo $G$ ) se define entonces como el anillo de cohomología singular de este espacio: ^{[ 1 ]} $H_{G}^{*}(X):=H^{*}(EG\times _{G}X).$ El espacio $EG\times _{G}X$ se conoce como la construcción de Borel o cociente de homotopía . La proyección sobre el primer factor le da la estructura de un fibrado sobre el espacio de clasificación. $BG$ Este es el asociado $X$ -paquete obtenido de la acción de $G$ en $X$ y el paquete principal $EG\to BG$ El paquete $X\to EG\times _{G}X\to BG$ Se denomina fibración de Borel.

El anillo de cohomología de grupo de $G$ puede recuperarse tomando $X$ ser un punto, ya que en este caso el cociente de homotopía es simplemente el espacio de clasificación de $G$ . Si $G$ actúa libremente en $X$ , entonces el mapa canónico $EG\times _{G}X\to X/G$ es una equivalencia homotópica y por lo tanto se obtiene ${\textstyle H_{G}^{*}(X)=H^{*}(X/G).}$

También es posible definir la cohomología equivariante. $H_{G}^{*}(X;A)$ de $X$ con coeficientes en un $G$ -módulo A ; estos son grupos abelianos . Esta construcción es el análogo de la cohomología con coeficientes locales.

Si X es una variedad , G un grupo de Lie compacto y los coeficientes se toman en el campo de los números reales o en el campo de los números complejos (la situación más típica), entonces la cohomología anterior se puede calcular utilizando el llamado modelo de Cartan (véase formas diferenciales equivariantes ).

Esta construcción no debe confundirse con otras teorías de cohomología, como la cohomología de Bredon o la cohomología de formas diferenciales invariantes : si G es un grupo de Lie compacto, entonces, por el argumento de promediación , cualquier forma puede hacerse invariante; por lo tanto, la cohomología de formas diferenciales invariantes no aporta información nueva.

Se sabe que la dualidad de Koszul se cumple entre la cohomología equivariante y la cohomología ordinaria.

Relación con la cohomología de grupoides

Para un grupoide de mentira ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ La cohomología equivariante de una variedad lisa ^{[ 2 ]} es un ejemplo especial de la cohomología de grupoide de un grupoide de Lie. Esto se debe a que, dado un $G$ -espacio $X$ para un grupo de Lie compacto $G$ , hay un grupoide asociado

${\mathfrak {X}}_{G}=[G\times X\rightrightarrows X]$

cuyos grupos de cohomología equivariantes pueden calcularse utilizando el complejo de Cartan. $\Omega _{G}^{\bullet }(X)$ que es la totalización del complejo doble de De Rham del grupoide. Los términos en el complejo de Cartan son

$\Omega _{G}^{n}(X)=\bigoplus _{2k+i=n}({\text{Sym}}^{k}({\mathfrak {g}}^{\vee })\otimes \Omega ^{i}(X))^{G}$

dónde ${\text{Sym}}^{\bullet }({\mathfrak {g}}^{\vee })$ es el álgebra simétrica del álgebra de Lie dual del grupo de Lie $G$ , y $(-)^{G}$ corresponde a la $G$ formas invariantes. Esta es una herramienta particularmente útil para calcular la cohomología de $BG$ para un grupo de Lie compacto $G$ ya que esto se puede calcular como la cohomología de

$[G\rightrightarrows *]$

donde la acción es trivial en un punto. Entonces,

$H_{dR}^{*}(BG)=\bigoplus _{k\geq 0}{\text{Sym}}^{2k}({\mathfrak {g}}^{\vee })^{G}$

Por ejemplo,

${\begin{aligned}H_{dR}^{*}(BU(1))&=\bigoplus _{k=0}{\text{Sym}}^{2k}(\mathbb {R} ^{\vee })\\&\cong \mathbb {R} [t]\\&{\text{ donde }}\deg(t)=2\end{aligned}}$

desde el $U(1)$ -La acción sobre el álgebra de Lie dual es trivial.

Un ejemplo de cociente de homotopía

El siguiente ejemplo es la Proposición 1 de.

Sea X una curva algebraica proyectiva compleja . Identificamos X como un espacio topológico con el conjunto de los puntos complejos. $X(\mathbb {C} )$ , que es una superficie de Riemann compacta . Sea G un grupo de Lie semisimple complejo simplemente conexo. Entonces cualquier fibrado principal de G en X es isomorfo a un fibrado trivial, ya que el espacio clasificador $BG$ es 2-conexo y X tiene dimensión real 2. Fijar algún G -haz suave $P_{\text{sm}}$ en X . Entonces cualquier fibrado G principal en $X$ es isomorfo a $P_{\text{sm}}$ . En otras palabras, el conjunto $\Omega$ de todas las clases de isomorfismo de pares que consisten en un fibrado G principal en X y una estructura analítica compleja en él se puede identificar con el conjunto de estructuras analíticas complejas en $P_{\text{sm}}$ o equivalentemente el conjunto de conexiones holomorfas en X (ya que las conexiones son integrables por razones de dimensión). $\Omega$ es un espacio afín complejo de dimensión infinita y, por lo tanto, es contraíble.

Dejar ${\mathcal {G}}$ sea el grupo de todos los automorfismos de $P_{\text{sm}}$ (es decir, grupo de calibre .) Entonces el cociente de homotopía de $\Omega$ por ${\mathcal {G}}$ clasifica los G -fibrados principales analíticos complejos (o equivalentemente algebraicos) en X ; es decir, es precisamente el espacio clasificador. $B{\mathcal {G}}$ del grupo discreto ${\mathcal {G}}$ .

Se puede definir la pila de módulos de los haces principales. $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ como la pila de cocientes $[\Omega /{\mathcal {G}}]$ y luego el cociente de homotopía $B{\mathcal {G}}$ es, por definición, el tipo homotópico de $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ .

Clases características equivariantes

Sea E un fibrado vectorial equivariante sobre una G -variedad M. Este fibrado da lugar a un fibrado vectorial. ${\widetilde {E}}$ sobre el cociente de homotopía $EG\times _{G}M$ para que se retraiga hacia el paquete ${\widetilde {E}}=EG\times E$ encima $EG\times M$ . Una clase característica equivariante de E es entonces una clase característica ordinaria de ${\widetilde {E}}$ , que es un elemento de la completitud del anillo de cohomología $H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)$ (Para aplicar la teoría de Chern-Weil , se utiliza una aproximación de dimensión finita de EG ).

Alternativamente, se puede definir primero una clase de Chern equivariante y luego definir otras clases características como polinomios invariantes de clases de Chern, como en el caso ordinario; por ejemplo, la clase de Todd equivariante de un fibrado de líneas equivariante es la función de Todd evaluada en la primera clase de Chern equivariante del fibrado. (Una clase de Todd equivariante de un fibrado de líneas es una serie de potencias (no un polinomio como en el caso no equivariante) en la primera clase de Chern equivariante; por lo tanto, pertenece a la completación del anillo de cohomología equivariante).

En el caso no equivariante, la primera clase de Chern puede verse como una biyección entre el conjunto de todas las clases de isomorfismo de haces de líneas complejos en una variedad M y $H^{2}(M;\mathbb {Z} ).$ ^{[ 3 ]} En el caso equivariante, esto se traduce en: el primer Chern equivariante da una biyección entre el conjunto de todas las clases de isomorfismo de haces de líneas complejos equivariantes y $H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )$ .

Teorema de localización

El teorema de localización es una de las herramientas más poderosas en la cohomología equivariante.

Véase también

Notas

↑ Anderson, David; Fulton, William (2023). Cohomología equivariante en geometría algebraica . Cambridge University Press. pág. 1. ISBN 9781009349994.
↑ Behrend 2004
↑ utilizando la cohomología de Čech y el isomorfismo $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ dado por el mapa exponencial .

Referencias

Atiyah, Michael ; Bott, Raoul (1984), "El mapa de momentos y la cohomología equivariante", Topology , 23 : 1–28 , doi : 10.1016/0040-9383(84)90021-1
Brion, M. (1998). «Cohomología equivariante y teoría de la intersección equivariante» (PDF) . Teorías de la representación y geometría algebraica . Serie Nato ASI. Vol. 514. Springer. pp. 1–37 . arXiv : math/9802063 . doi : 10.1007/978-94-015-9131-7_1 . ISBN 978-94-015-9131-7. S2CID 14961018 .
Goresky, Mark ; Kottwitz, Robert ; MacPherson, Robert (1998), "Cohomología equivalente, dualidad de Koszul y teorema de localización", Inventiones Mathematicae , 131 : 25– 83, CiteSeerX 10.1.1.42.6450 , doi : 10.1007/s002220050197 , S2CID 6006856
Hsiang, Wu-Yi (1975). Teoría de la cohomología de los grupos de transformación topológica . Springer. doi : 10.1007/978-3-642-66052-8 . ISBN 978-3-642-66052-8.
Tu, Loring W. (marzo de 2011). "¿Qué es... la cohomología equivariante?" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 58 (3): 423–6 . arXiv : 1305.4293 .

Relación con las pilas

Behrend, K. (2004). "Cohomología de pilas" (PDF) . Teoría de la intersección y módulos . Apuntes de clase del ICTP. Vol. 19. págs. 249–294 . ISBN 9789295003286.La página 10 del PDF contiene el resultado principal con ejemplos.

Lecturas adicionales

Guillemin, VW; Sternberg, S. (1999). Supersimetría y teoría de De Rham equivariante . Springer. doi : 10.1007/978-3-662-03992-2 . ISBN 978-3-662-03992-2.
Vergne, M.; Paycha, S. (1998). "Cohomologie équivariante et théoreme de Stokes" (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad Blaise Pascal.

Enlaces externos

Meinrenken, E. (2006), "Cohomología equivariante y el modelo de Cartan" (PDF) , Enciclopedia de física matemática , págs. 242–250 , ISBN 978-0-12-512666-3— Excelente artículo de revisión que describe los fundamentos de la teoría y los principales teoremas importantes.
"Cohomología equivariante" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Young-Hoon Kiem (2008). "Introducción a la teoría de la cohomología equivariante" (PDF) . Universidad Nacional de Seúl.
¿Cuál es la cohomología equivariante de un grupo que actúa sobre sí mismo por conjugación?

[1] Anderson, David; Fulton, William (2023). Cohomología equivariante en geometría algebraica . Cambridge University Press. pág. 1. ISBN 9781009349994.

[2] Behrend 2004

[3] utilizando la cohomología de Čech y el isomorfismo $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ dado por el mapa exponencial .

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