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Velocidad de escape

En mecánica celeste , la velocidad de escape o rapidez de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto escape del contacto o la órbita de un cuerpo primario , supo...

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En mecánica celeste , la velocidad de escape o rapidez de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto escape del contacto o la órbita de un cuerpo primario , suponiendo que:

Aunque el término velocidad de escape es común, se describe con mayor precisión como una rapidez que como una velocidad , ya que es independiente de la dirección. Dado que la fuerza gravitatoria entre dos objetos depende de su masa combinada, la velocidad de escape también depende de la masa. En el caso de satélites artificiales y objetos naturales pequeños, la masa del objeto contribuye de forma insignificante a la masa combinada, por lo que suele ignorarse.

La velocidad de escape varía con la distancia al centro del cuerpo primario, al igual que la velocidad de un objeto que se desplaza bajo la influencia gravitatoria del primario. Si un objeto se encuentra en una órbita circular o elíptica , su velocidad siempre es menor que la velocidad de escape a su distancia actual. Por el contrario, si se encuentra en una trayectoria hiperbólica, su velocidad siempre será mayor que la velocidad de escape a su distancia actual. (Disminuirá su velocidad a medida que se aleje, pero lo hará aproximándose asintóticamente a una velocidad positiva). Un objeto en una trayectoria parabólica siempre viajará exactamente a la velocidad de escape a su distancia actual. Tiene una energía cinética positiva precisamente equilibrada y una energía potencial gravitatoria negativa ; [ a ] siempre estará disminuyendo su velocidad, aproximándose asintóticamente a una velocidad cero, pero nunca se detendrá por completo. [ 1 ]

Los cálculos de velocidad de escape se utilizan normalmente para determinar si un objeto permanecerá dentro de la esfera de influencia gravitatoria de un cuerpo celeste. Por ejemplo, en la exploración del sistema solar, es útil saber si una sonda continuará orbitando la Tierra o escapará a una órbita heliocéntrica . También es útil saber cuánto deberá desacelerar una sonda para ser capturada gravitatoriamente por el cuerpo celeste de destino. Los cohetes no tienen que alcanzar la velocidad de escape en una sola maniobra, y los objetos también pueden usar la asistencia gravitatoria para extraer energía cinética de cuerpos celestes de gran tamaño.

Los cálculos precisos de trayectoria requieren tener en cuenta fuerzas menores como la resistencia atmosférica , la presión de radiación y el viento solar . Un cohete con empuje continuo o intermitente (o un objeto que asciende por un ascensor espacial ) puede escapar a cualquier velocidad distinta de cero, pero la cantidad mínima de energía necesaria para lograrlo siempre es la misma.

Cálculo

La velocidad de escape a una distancia d del centro de un cuerpo primario con simetría esférica (como una estrella o un planeta) con masa M viene dada por la fórmula [ 2 ] [ 3 ].

vmi=2GRAMOMETROd=2gramod {\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd\ }}}

dónde:

El valor GM se denomina parámetro gravitacional estándar , o μ , y a menudo se conoce con mayor precisión que G o M por separado.

Cuando se le da una velocidad inicial V mayor que la velocidad de escape v e , el objeto se aproximará asintóticamente a la velocidad hiperbólica de exceso v ∞ , satisfaciendo la ecuación: [ 5 ]

v∞2=V2−vmi2.{\displaystyle {v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{\text{e}}}^{2}.}

Por ejemplo, con el valor definicional para la gravedad estándar de 9,80665 m/s² ( 32,1740 ft/s² ) , [ 6 ] la velocidad de escape de la Tierra es de 11,186 km/s (40 270 km/h; 25 020 mph; 36 700 ft/s) . [ 7 ]      

Energía requerida

Para un objeto de masametro{\displaystyle m}La energía necesaria para escapar del campo gravitatorio de un cuerpo celeste es GMm  / r , una función de la masa del objeto (donde r es el radio del planeta, que para la Tierra es de 6371 kilómetros (3959 millas), G es la constante gravitatoria y M es la masa del planeta, que para la Tierra es M = 5,9736 × 10²⁴ kg ). Una magnitud relacionada es la energía orbital específica , que es esencialmente la suma de la energía cinética y potencial dividida por la masa. Un objeto ha alcanzado la velocidad de escape cuando la energía orbital específica es mayor o igual que cero.  

Conservación de la energía

Luna 1 , lanzada en 1959, fue el primer objeto artificial en alcanzar la velocidad de escape de la Tierra [ 8 ].

La existencia de la velocidad de escape puede considerarse una consecuencia de la conservación de la energía y de un campo energético de profundidad finita. Para un objeto con una energía total dada, que se mueve sujeto a fuerzas conservativas (como un campo gravitatorio estático), solo es posible que alcance combinaciones de ubicaciones y velocidades que tengan esa energía total; los lugares con una energía potencial superior a esta son inaccesibles. Al aumentar la velocidad (energía cinética) de un objeto, se amplía la región de ubicaciones que puede alcanzar, hasta que, con suficiente energía, puede llegar a cualquier punto hasta el infinito.

La fórmula para la velocidad de escape se puede derivar del principio de conservación de la energía. Para simplificar, a menos que se indique lo contrario, suponemos que un objeto escapará del campo gravitatorio de un planeta esférico uniforme alejándose de él y que la única fuerza significativa que actúa sobre el objeto en movimiento es la gravedad del planeta. Imaginemos que una nave espacial de masa m se encuentra inicialmente a una distancia r del centro de masa del planeta, cuya masa es M , y su velocidad inicial es igual a su velocidad de escape, v e . En su estado final, estará a una distancia infinita del planeta y su velocidad será despreciablemente pequeña. La energía cinética K y la energía potencial gravitatoria U g son los únicos tipos de energía con los que trataremos (ignoraremos la resistencia de la atmósfera), por lo que, por la conservación de la energía,

(K+Ugramo)inicial=(K+Ugramo)final{\displaystyle (K+U_{\text{g}})_{\text{inicial}}=(K+U_{\text{g}})_{\text{final}}}

Podemos establecer K final = 0 porque la velocidad final es arbitrariamente pequeña, y U g final = 0 porque la energía potencial gravitatoria final se define como cero a una gran distancia de un planeta, por lo que

⇒12metrovmi2+−GRAMOMETROmetror=0+0⇒vmi=2GRAMOMETROr{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}m{v_{\text{e}}}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}}

Relativista

El mismo resultado se obtiene mediante un cálculo relativista , en cuyo caso la variable r representa la coordenada radial o circunferencia reducida de la métrica de Schwarzschild . [ 9 ] [ 10 ]

Escenarios

Desde la superficie de un cuerpo

Una expresión alternativa para la velocidad de escape v e , particularmente útil en la superficie del cuerpo, es:

vmi=2gramor{\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {2gr}}}

donde r es la distancia entre el centro del cuerpo y el punto en el que se calcula la velocidad de escape y g es la aceleración gravitatoria a esa distancia (es decir, la gravedad superficial ). [ 11 ]

Para un cuerpo con una distribución de masa esféricamente simétrica, la velocidad de escape v e desde la superficie es proporcional al radio suponiendo una densidad constante, y proporcional a la raíz cuadrada de la densidad media ρ .

vmi=Krρ{\displaystyle v_{\text{e}}=Kr{\sqrt {\rho }}}

dóndeK=83πGRAMO≈2.364×10−5 metro1.5⋅kgramo−0,5⋅s−1{\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx \mathrm {2.364\times 10^{-5}~m^{1.5}{\cdot }kg^{-0.5}{\cdot }s^{-1}} }.

Esta velocidad de escape es relativa a un sistema de referencia que no gira, no a la superficie en movimiento del planeta o la luna, como se explica más adelante.

Desde un cuerpo giratorio

La velocidad de escape relativa a la superficie de un cuerpo en rotación depende de la dirección en la que se desplaza dicho cuerpo. Por ejemplo, dado que la velocidad de rotación de la Tierra es de 465  m/s en el ecuador , un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador terrestre hacia el este requiere una velocidad inicial de aproximadamente 10,735  km/s relativa a la superficie en movimiento en el punto de lanzamiento para escapar, mientras que un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador terrestre hacia el oeste requiere una velocidad inicial de aproximadamente 11,665  km/s relativa a esa superficie en movimiento . La velocidad superficial disminuye con el coseno de la latitud geográfica, por lo que las instalaciones de lanzamiento espacial suelen ubicarse lo más cerca posible del ecuador, como por ejemplo Cabo Cañaveral (latitud 28°28 ′  N) y el Centro Espacial de la Guayana Francesa (latitud 5°14 ′  N).

Consideraciones prácticas

En la mayoría de las situaciones, es impráctico alcanzar la velocidad de escape casi instantáneamente, debido a la aceleración que implica y también porque, si hay atmósfera, las velocidades hipersónicas involucradas (en la Tierra, una velocidad de 11,2  km/s o 40 320  km/h) harían que la mayoría de los objetos se quemaran debido al calentamiento aerodinámico o se desintegraran por la resistencia atmosférica . Para una órbita de escape real, una nave espacial acelerará de forma constante fuera de la atmósfera hasta alcanzar la velocidad de escape apropiada para su altitud (que será menor que en la superficie). En muchos casos, la nave espacial puede colocarse primero en una órbita de estacionamiento (por ejemplo, una órbita terrestre baja a 160-2000  km) y luego acelerarse hasta la velocidad de escape a esa altitud, que será ligeramente inferior (alrededor de 11,0  km/s en una órbita terrestre baja de 200  km). Sin embargo, el cambio de velocidad adicional necesario es mucho menor porque la nave espacial ya tiene una velocidad orbital significativa (en órbita terrestre baja, la velocidad es de aproximadamente 7,8  km/s, o 28.080  km/h).

Para un cuerpo en órbita

La velocidad de escape a una altura determinada es2{\displaystyle {\sqrt {2}}}veces la velocidad en una órbita circular a la misma altura (compárese esto con la ecuación de velocidad en una órbita circular ). Esto corresponde al hecho de que la energía potencial con respecto al infinito de un objeto en dicha órbita es menos dos veces su energía cinética, mientras que para escapar la suma de la energía potencial y cinética debe ser al menos cero. La velocidad correspondiente a la órbita circular a veces se denomina primera velocidad cósmica , mientras que en este contexto la velocidad de escape se denomina segunda velocidad cósmica . [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

Para un cuerpo en órbita elíptica que desea acelerar hacia una órbita de escape, la velocidad requerida variará y será máxima en el periapsis, cuando el cuerpo esté más cerca del centro. Sin embargo, la velocidad orbital del cuerpo también será máxima en este punto, y el cambio de velocidad requerido será mínimo, como explica el efecto Oberth .

velocidad de escape baricéntrica

La velocidad de escape puede medirse en relación con el otro cuerpo central o en relación con el centro de masa o baricentro del sistema de cuerpos. Por lo tanto, para sistemas de dos cuerpos, el término velocidad de escape puede ser ambiguo, pero generalmente se refiere a la velocidad de escape baricéntrica del cuerpo menos masivo. La velocidad de escape generalmente se refiere a la velocidad de escape de partículas de prueba de masa cero . Para partículas de prueba de masa cero, tenemos que las velocidades de escape "relativas al otro" y "baricéntricas" son iguales, es decir,vmi=2GRAMOMETROd{\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}.

Pero cuando no podemos despreciar la masa más pequeña (digamos m ), llegamos a fórmulas ligeramente diferentes.

Debido a que el sistema debe obedecer la ley de conservación del momento, vemos que tanto la masa mayor como la menor deben ser aceleradas en el campo gravitatorio. Con respecto al centro de masas, la velocidad de la masa mayor ( v p , para un planeta) se puede expresar en términos de la velocidad de la masa menor ( v r , para un cohete). Obtenemosvpag=−metroMETROvr{\displaystyle v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}}.

La velocidad de escape 'baricéntrica' ahora se convierte envr=2GRAMOMETRO2d(METRO+metro)≈2GRAMOMETROd{\displaystyle v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}, mientras que la velocidad de escape 'relativa a la otra' se convierte envr−vpag=2GRAMO(metro+METRO)d≈2GRAMOMETROd{\displaystyle v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}.

Altura de las trayectorias de menor velocidad

Ignorando todos los factores que no sean la fuerza gravitatoria entre el cuerpo y el objeto, un objeto proyectado verticalmente a velocidad v desde la superficie de un cuerpo esférico con velocidad de escape v e y radio R alcanzará una altura máxima h que satisface la ecuación [ 15 ].

v=vmihR+h ,{\displaystyle v=v_{\text{e}}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}

lo cual, al resolver para h, resulta en

h=incógnita21−incógnita2 R ,{\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}

donde x = v / v e es la relación entre la velocidad original v y la velocidad de escape v e .

A diferencia de la velocidad de escape, la dirección (verticalmente hacia arriba) es importante para alcanzar la máxima altura.

Trayectoria

Si un objeto alcanza la velocidad de escape exacta, pero no se aleja directamente del planeta, seguirá una trayectoria curva. Aunque esta trayectoria no forma una figura cerrada, se la puede denominar órbita. Suponiendo que la gravedad es la única fuerza significativa en el sistema, la velocidad de este objeto en cualquier punto de la trayectoria será igual a la velocidad de escape en ese punto debido a la conservación de la energía; su energía total siempre debe ser cero, lo que implica que siempre tiene velocidad de escape (véase la deducción anterior). La forma de la trayectoria será una parábola cuyo foco se encuentra en el centro de masa del planeta. Un escape real requiere una trayectoria que no interseque el planeta ni su atmósfera, ya que esto provocaría que el objeto se estrellara. Al alejarse de la fuente, esta trayectoria se denomina órbita de escape . Las órbitas de escape se conocen como órbitas C₃ = 0 . C 3 es la energía característica , − GM /2 a , donde a es la longitud del semieje mayor , que es infinito para trayectorias parabólicas.

Si el cuerpo tiene una velocidad mayor que la velocidad de escape, su trayectoria formará una trayectoria hiperbólica y tendrá una velocidad hiperbólica excedente, equivalente a la energía adicional que posee. Un delta- v adicional relativamente pequeño por encima del necesario para acelerar hasta la velocidad de escape puede resultar en una velocidad relativamente alta en el infinito. Algunas maniobras orbitales aprovechan este hecho. Por ejemplo, en un lugar donde la velocidad de escape es de 11,2  km/s, la adición de 0,4  km/s produce una velocidad hiperbólica excedente de 3,02  km/s.

v∞=V2−vmi2=(11.6 km/s)2−(11.2 km/s)2≈3.02 km/s.{\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{\text{e}}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\text{ km/s}})^{2}}}\approx 3.02{\text{ km/s}}.}

Si un cuerpo en órbita circular (o en el periapsis de una órbita elíptica) acelera en la dirección de su movimiento hasta alcanzar la velocidad de escape, el punto de aceleración formará el periapsis de la trayectoria de escape. La dirección final del movimiento será perpendicular a la dirección en el punto de aceleración. Si el cuerpo acelera más allá de la velocidad de escape, la dirección final del movimiento será menor y estará indicada por una de las asíntotas de la trayectoria hiperbólica que está siguiendo. Esto significa que el momento de la aceleración es crucial si se pretende escapar en una dirección específica.

Si la velocidad en el periapsis es v , entonces la excentricidad de la trayectoria viene dada por:

mi=2(v/vmi)2−1{\displaystyle e=2(v/v_{\text{e}})^{2}-1}

Esto es válido para trayectorias elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Si la trayectoria es hiperbólica o parabólica, se aproximará asintóticamente a un ánguloθ{\displaystyle \theta }desde la dirección en el periapsis, con

pecado⁡θ=1/mi.{\displaystyle \sin \theta =1/e.}

La velocidad se aproximará asintóticamente

v2−vmi2.{\displaystyle {\sqrt {v^{2}-{v_{\text{e}}}^{2}}}.}

Lista de velocidades de escape

En esta tabla, la mitad izquierda muestra la velocidad de escape desde la superficie visible del planeta o luna (que puede ser gaseosa, como Júpiter) con respecto a su centro (es decir, no con respecto a su superficie en movimiento). En la mitad derecha, V e se refiere a la velocidad con respecto al cuerpo central (por ejemplo, el Sol). Las lunas aparecen con sangría debajo de su planeta. Los valores de la última columna son variables, dependiendo del punto exacto de la órbita del cuerpo donde se alcanza la velocidad de escape, ya que las órbitas son elípticas, no circulares (en particular las de Mercurio y Plutón).

Derivación de la velocidad de escape mediante cálculo diferencial

Sea G la constante gravitacional , M la masa de la Tierra (u otro cuerpo gravitante) y m la masa del cuerpo o proyectil que escapa. A una distancia r del centro de gravedad, el cuerpo experimenta una fuerza de atracción.

F=GRAMOMETROmetror2.{\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.}

El trabajo necesario para mover el cuerpo una pequeña distancia dr contra esta fuerza viene dado por

dW=Fdr=GRAMOMETROmetror2dr.{\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}

El trabajo total necesario para mover el cuerpo desde la superficie r 0 del cuerpo gravitante hasta el infinito es entonces [ 20 ].

W=∫r0∞GRAMOMETROmetror2dr=GRAMOMETROmetror0=metrogramor0.{\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}

Para realizar este trabajo para alcanzar el infinito, la energía cinética mínima del cuerpo en el momento de la partida debe coincidir con este trabajo, por lo que la velocidad de escape v 0 satisface

12metrov02=GRAMOMETROmetror0,{\displaystyle {\frac {1}{2}}m{v_{0}}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}

lo cual resulta en

v0=2GRAMOMETROr0=2gramor0.{\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}

Véase también

Notas

  1. ↑ La energía potencial gravitatoria se define como cero a una distancia infinita.
  2. ↑ A partir de 2025, la sonda espacial más alejada del Sol es la Voyager 1 , a 169 UA.

Referencias

  1. ↑ Giancoli, Douglas C. (2008). Física para científicos e ingenieros con física moderna . Addison-Wesley . pág.  199. ISBN 978-0-13-149508-1.
  2. ↑ Jim Breithaupt (2000). Nueva comprensión de la física para nivel avanzado ( edición ilustrada). Nelson Thornes. pág. 231. ISBN   978-0-7487-4314-8.Extracto de la página 231
  3. ↑ Katherine Blundell (2015). Agujeros negros: Una introducción muy breve ( edición ilustrada). Oxford University Press. pág. 4. ISBN   978-0-19-960266-7.Extracto de la página 4
  4. ↑ "Valor CODATA 2022: Constante de gravitación newtoniana" . Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
  5. ↑ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de astrodinámica (edición ilustrada ). Courier Corporation . pág. 39. ISBN   978-0-486-60061-1.
  6. ^ Oficina Internacional de Pesos y Medidas (1901). "Declaración relativa a la unidad de masa y a la definición de pesos; valor convencional de g n ". Comptes Rendus des Séances de la Troisième Conférence · Générale des Poids et Mesures (en francés). París: Gauthier-Villars. pag. 68. El nombre adoptado en el Servicio Internacional de Pesos y Medidas para el valor de aceleración normal del pesanteur es 980,665 cm/seg², nombre sancionado déjà por algunas leyes. Declaración relativa a la unidad de masa y a la definición de pesos; valor convencional de g n . 
  7. ↑ Lai, Shu T. (2011). Fundamentos de la carga de naves espaciales: Interacciones de naves espaciales con plasmas espaciales . Princeton University Press . pág. 240. ISBN  978-1-4008-3909-4.
  8. ↑ "NASA – NSSDC – Nave espacial – Detalles" . Archivado del original el 2 de junio de 2019. Consultado el 21 de agosto de 2019 .
  9. ↑ Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald; Bertschinger, Edmund (2010). Explorando agujeros negros: Introducción a la relatividad general (2.ª ed. revisada). Addison-Wesley. págs. 2–22 . ISBN   978-0-321-51286-4.Capítulo de muestra, páginas 2-22. Archivado el 21 de julio de 2017 en Wayback Machine.
  10. ↑ Choquet-Bruhat, Yvonne (2015). Introducción a la relatividad general, los agujeros negros y la cosmología ( edición ilustrada). Oxford University Press . págs. 116–117 . ISBN   978-0-19-966646-1.
  11. ↑ Bate, Mueller y White, pág. 35
  12. ↑ Teodorescu, PP (2007). Sistemas mecánicos, modelos clásicos . Springer, Japón. pág. 580. ISBN  978-1-4020-5441-9.Sección 2.2.2 , pág. 580
  13. ↑ SJ Bauer (2012). Física de las ionosferas planetarias ( edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pág. 28. ISBN   978-3-642-65555-5.Extracto de la página 28
  14. ↑ Osamu Morita (2022). Mecánica clásica en la dinámica de fluidos geofísicos (2.ª ed., ilustrada). CRC Press. pág. 195. ISBN   978-1-000-80250-4.Extracto de la página 195
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  16. 1 2 Para planetas: "Planetas y Plutón : características físicas" . NASA . Consultado el 18 de enero de 2017 . 
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  19. 1 2 "A los viajeros y escapando del Sol" . Iniciativa para Estudios Interestelares. 25 de febrero de 2015. Recuperado el 3 de febrero de 2023 .
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  • Calculadora numérica de velocidad de escape basada en la web