Los Elementos de Euclides

El Libro I de los Elementos es fundamental para todo el texto. ^{[ 4 ]} Comienza con una serie de 20 definiciones de conceptos geométricos básicos como puntos , líneas , ángulos y varios polígonos regulares . ^{[ 20 ]} Euclides presenta luego 10 supuestos (véase la tabla de la derecha), agrupados en cinco postulados y cinco nociones comunes. ^{[ 21 ]} Estos supuestos tienen como objetivo proporcionar la base lógica para cada teorema posterior, es decir, servir como un sistema axiomático . ^{[ 22 ]} Las nociones comunes se refieren exclusivamente a la comparación de magnitudes , los tamaños de los objetos geométricos. ^{[ 23 ]} En matemáticas modernas, estas magnitudes se tratarían como números reales que miden la longitud de arco , el ángulo o el área , y se compararían numéricamente, pero Euclides encontró en cambio formas de comparar la magnitud de las figuras utilizando operaciones geométricas, sin interpretar estas magnitudes como números. ^{[ 24 ]} Si bien los primeros cuatro postulados son relativamente sencillos, el quinto no lo es. Se le conoce como el postulado de las paralelas , y la cuestión de su independencia de los otros cuatro postulados se convirtió en el foco de una larga línea de investigación que condujo al desarrollo de la geometría no euclidiana . ^{[ 23 ]}

El Libro I también incluye 48 proposiciones, que pueden dividirse a grandes rasgos en: teoremas básicos y construcciones de geometría plana y congruencia de triángulos (1–26), líneas paralelas (27–34), el área de triángulos y paralelogramos (35–45), y el teorema de Pitágoras y su recíproco (46–48). ^{[ 23 ]}

La proposición 5, que afirma que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales, se conoció en la Edad Media como el pons asinorum , o puente de asnos, que separaba a los matemáticos que podían demostrarla de los necios que no podían. ^{[ 25 ]} El papiro Oxirrinco 29 , un papiro del siglo III d. C., contiene fragmentos de las proposiciones 8-11 y 14-25. ^{[ d ]} Las dos últimas proposiciones del Libro I comprenden la demostración más antigua que se conserva del teorema de Pitágoras, descrita por Sialaros como «extraordinariamente delicada». ^{[ 16 ]} La figura del teorema de Pitágoras se ha hecho muy conocida con múltiples nombres: la Silla de la Novia , el molino de viento o la cola del pavo real. ^{[ 26 ]}

El segundo libro se centra en el área , medida mediante la cuadratura , es decir, la construcción de un cuadrado de área igual a una figura dada. Incluye un precursor geométrico de la ley de los cosenos y culmina en la cuadratura de rectángulos arbitrarios . ^{[ 23 ]} A finales del siglo XIX y durante el siglo XX, algunos historiadores de las matemáticas interpretaron el Libro II como el establecimiento de un " álgebra geométrica ", una expresión de la manipulación algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas en términos de conceptos geométricos de longitud y área, ^{[ 27 ] [ 28 ]} centrada en el caso cuadrático del teorema del binomio . ^{[ 23 ]} Esta interpretación ha sido objeto de intensos debates desde la década de 1970; ^{[ 28 ]} los críticos describen la caracterización como anacrónica, ya que los fundamentos incluso del álgebra naciente surgieron muchos siglos después. ^{[ 16 ]} Sin embargo, tomadas como afirmaciones sobre geometría, muchas de las proposiciones de este libro son superfluas para las matemáticas modernas, ya que pueden ser subsumidas por el uso del álgebra. ^{[ 29 ]}

La proposición 11 del Libro II subdivide un segmento de línea dado en proporciones extremas y medias, ahora llamadas proporción áurea . Es la primera de varias proposiciones que involucran esta proporción: se utiliza posteriormente en el Libro IV para construir un triángulo áureo y un pentágono regular , y en el Libro XIII para construir el dodecaedro regular y el icosaedro regular , y se estudia como proporción en la proposición 30 del Libro VI. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

El Libro III comienza con una lista de 11 definiciones y continúa con 37 proposiciones que tratan sobre círculos y sus propiedades. La proposición 1 trata sobre cómo encontrar el centro de un círculo. Las proposiciones 2 a 15 tratan sobre cuerdas , y círculos que se intersecan y son tangentes . Las líneas tangentes a los círculos son el tema de las proposiciones 16 a 19. A continuación, hay proposiciones sobre ángulos inscritos (20 a 22), y sobre cuerdas, arcos y ángulos (23 a 30), incluyendo el teorema del ángulo inscrito que relaciona los ángulos inscritos con los ángulos centrales como proposición 20. Las proposiciones 31 a 34 tratan sobre ángulos en círculos, incluyendo el teorema de Tales de que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto (parte de la proposición 31). Las proposiciones restantes, 35 a 37, tratan sobre cuerdas que se intersecan y tangentes; La proposición 35 es el teorema de las cuerdas secantes , y la proposición 36 es el teorema de la tangente-secante . ^{[ 32 ]}

El Libro IV trata sistemáticamente cuatro problemas para diferentes polígonos: inscribir un polígono dentro de un círculo, circunscribir un polígono alrededor de un círculo, inscribir un círculo dentro de un polígono y circunscribir un círculo alrededor de un polígono. ^{[ 33 ]} Estos problemas se resuelven secuencialmente para triángulos y luego para polígonos regulares construibles (es decir, aquellos que tienen una construcción con regla y compás ) de 4, 5, 6 y 15 lados. ^{[ 4 ]}

El Libro V, independiente de los cuatro libros anteriores, trata sobre razones de magnitudes (intuitivamente, cuánto mayor o menor es una figura en relación con otra) y la comparación de razones. ^{[ 34 ]} Heath y otros traductores han formulado sus primeras seis proposiciones en álgebra simbólica, como formas de la ley distributiva de la multiplicación sobre la división y la ley asociativa de la multiplicación. Sin embargo, Leo Corry argumenta que esto es anacrónico y engañoso, porque Euclides no trataba las magnitudes como números, ni tomaba una razón como una operación binaria de números a números. ^{[ 35 ]}

Gran parte del Libro V probablemente se dedujo de matemáticos anteriores, tal vez Eudoxo, ^{[ 16 ]} aunque ciertas proposiciones, como V.16, que tratan sobre la "alternancia" (si a  : b  :: c  : d , entonces a  : c  :: b  : d ) probablemente son anteriores a Eudoxo. ^{[ 36 ]}

Christopher Zeeman ha argumentado que el enfoque del Libro V en el comportamiento de las razones bajo la suma de magnitudes, y su consiguiente fracaso en definir razones de razones, fue un defecto que impidió a los griegos encontrar ciertos conceptos importantes como la razón cruzada (fundamental para la geometría proyectiva ). ^{[ 37 ]}

El Libro VI utiliza la teoría de las razones del Libro V en el contexto de la geometría plana, ^{[ 4 ]} especialmente la construcción y el reconocimiento de figuras semejantes . Está construido casi en su totalidad a partir de su primera proposición: ^{[ 38 ]} «Los triángulos y paralelogramos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases». Es decir, si dos triángulos tienen la misma altura, la razón de sus áreas es igual a la razón de las longitudes de sus dos segmentos de la base (y análogamente para dos paralelogramos de la misma altura). Esta proposición proporciona una conexión entre razones de longitudes y razones de áreas. ^{[ 39 ]} La proposición 25 construye, a partir de dos polígonos cualesquiera , un tercer polígono semejante al primero y con la misma área que el segundo. Plutarco atribuye esta construcción a Pitágoras, calificándola de «más sutil y más científica» que el teorema de Pitágoras. El famoso problema griego antiguo de duplicar el cubo , ahora conocido como imposible con regla y compás, es un caso especial del problema análogo tridimensional de construir una figura con una forma y un volumen específicos. ^{[ 40 ]} El libro termina como empieza, conectando dos tipos de razones: razones de ángulos y razones de longitudes de arcos circulares, en la proposición 33. ^{[ 41 ]}

El Libro VII trata sobre la teoría elemental de números e incluye 39 proposiciones, que pueden dividirse a grandes rasgos en: el algoritmo euclidiano , un método para determinar si los números son primos relativos y para hallar el máximo común divisor (1-4), fracciones (5-10), la teoría de las proporciones para números (11-19), números primos y primos relativos y la teoría del máximo común divisor (20-32), y mínimos comunes múltiplos (33-39). ^{[ 44 ]}

El tema del Libro VIII son las progresiones geométricas . ^{[ 44 ]} Para Euclides, estas se definían por la propiedad de estar en proporción continua (cada dos magnitudes consecutivas tienen la misma razón) en lugar de, como en los tratamientos modernos, por la exponenciación (la${\displaystyle i}$El término n de la progresión tiene la forma${\displaystyle ax^{i}}$para constantes${\displaystyle a}$y${\displaystyle x}$Esto permitió a Euclides evitar la multiplicación de más de dos valores, pero dio lugar a algunas demostraciones engorrosas de hechos que la notación exponencial haría evidentes. ^{[ 45 ]}

La primera parte del Libro VIII (proposiciones 1 a 10) trata sobre la construcción y existencia de progresiones geométricas de números enteros en general, y la divisibilidad de los elementos de una progresión geométrica entre sí. Las proposiciones 11 a 27 tratan sobre los números cuadrados y cúbicos en progresiones geométricas, y la relación entre estas progresiones especiales y los elementos separados por dos o tres pasos en una progresión geométrica arbitraria. ^{[ 44 ]}

Después de continuar las investigaciones del Libro VIII sobre cuadrados y cubos en progresiones geométricas, ^{[ 44 ]} el Libro IX aplica los resultados de los dos libros anteriores y da la infinitud de los números primos (teorema de Euclides, proposición 20), la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (proposición 35) y una construcción que utiliza esta suma para los números pares perfectos (proposición 36). Aquí, un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios , como por ejemplo 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. ^{[ 4 ] [ 46 ]} Alhazen conjeturó c. 1000 , y en el siglo XVIII Leonhard Euler demostró, que esta construcción genera todos los números pares perfectos. Este resultado es el teorema de Euclides-Euler . ^{[ 47 ]}

De los Elementos , el libro X es, con mucho, el más grande y complejo, ya que trata (en términos modernos) de números irracionales en el contexto de magnitudes. ^{[ 16 ] [ 48 ]} La proposición 9 (reformulada en términos modernos) demuestra la irracionalidad de las raíces cuadradas de todos los enteros no cuadrados, como${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, la raíz cuadrada de 2. [ ^{49 ] Un} lema de la Proposición 29 da la fórmula de Euclides para producir todas las ternas pitagóricas fundamentales . ^{[ 50 ]} Además, este libro clasifica las longitudes irracionales en trece categorías disjuntas, relacionadas con su construcción mediante diversas combinaciones de otras longitudes que son números enteros y sus raíces cuadradas. ^{[ 51 ]} Sin embargo, Wilbur Knorr advierte que «El estudiante que se acerca al Libro X de Euclides con la esperanza de que su extensión y oscuridad oculten tesoros matemáticos probablemente se decepcionará... las ideas matemáticas son pocas». ^{[ 52 ]}

En lugar de tratar las magnitudes como números reales y preguntarse si son números racionales , Euclides maneja este material en términos de la conmensurabilidad de longitudes o áreas: si dos segmentos de línea o dos rectángulos pueden medirse mediante un número entero de copias de una subunidad común. ^{[ 48 ]} Su clasificación de longitudes como racionales o irracionales difiere del significado moderno: para Euclides, un segmento de línea es racional cuando el cuadrado de su lado tiene un área racional. Es decir, para Euclides, una longitud como${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es decir, la raíz cuadrada de un área racional es en sí misma racional. ^{[ 53 ]}

Este libro está relacionado con un breve pasaje del diálogo Teeteto de Platón entre Sócrates , Teodoro de Cirene y Teeteto , un matemático más joven. Este pasaje analiza una demostración de Teodoro de que los enteros no cuadrados del 3 al 17 tienen raíces cuadradas irracionales (después del descubrimiento mucho anterior de la irracionalidad de${\displaystyle {\sqrt {2}}}$), la generalización de este resultado a todos los enteros no cuadrados por Teeteto, y una clasificación parcial de los números irracionales (con menos de 13 clases). ^{[ 54 ] [ 55 ]}

El Libro XI generaliza los resultados del Libro VI a figuras sólidas: perpendicularidad, paralelismo, volúmenes y semejanza de paralelepípedos (poliedros con tres pares de caras paralelas). Las tres secciones del Libro XI incluyen contenido sobre: ​​geometría sólida (1–19), ángulos sólidos (20–23) y paralelepípedos (24–37). ^{[ 56 ]}

El Libro XII estudia en detalle los volúmenes de conos , pirámides y cilindros mediante el método de agotamiento , precursor de la integración , ^{[ 56 ]} y muestra, por ejemplo, que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro correspondiente. ^{[ 57 ]} Concluye demostrando que el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su radio (en lenguaje moderno) aproximando su volumen mediante la unión de muchas pirámides. ^{[ 58 ]}

El Libro XIII construye los cinco sólidos platónicos (poliedros regulares) inscritos en una esfera, compara las razones de sus aristas con el radio de la esfera, ^{[ 59 ]} y concluye los Elementos demostrando que estos son los únicos poliedros regulares. ^{[ 60 ]}

El sistema geométrico establecido por los Elementos dominó el campo durante mucho tiempo; sin embargo, hoy en día a ese sistema se le suele llamar « geometría euclidiana » para distinguirlo de otras geometrías no euclidianas descubiertas a principios del siglo XIX. ^{[ 73 ]}

Una de las influencias más notables de Euclides en las matemáticas modernas y, más allá de las matemáticas, en la física moderna y el descubrimiento de la relatividad general , es la discusión del postulado de las paralelas . ^{[ 116 ] [ 117 ]} En el Libro I, Euclides enumera cinco postulados, el quinto de los cuales estipula ^{[ 120 ]}

Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas forma ángulos interiores en el mismo lado menores que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en el lado en el que están los ángulos menores que dos ángulos rectos.

Este postulado atormentó a los matemáticos durante siglos debido a su aparente complejidad en comparación con los otros cuatro postulados. Se hicieron muchos intentos para demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, pero nunca se logró. Finalmente, en 1829, el matemático Nikolai Lobachevsky publicó una descripción de la geometría aguda (o geometría hiperbólica ), una geometría que asumía una forma diferente del postulado de las paralelas. De hecho, es posible crear una geometría válida sin el quinto postulado, o con diferentes versiones del mismo ( geometría elíptica ). Si se da por sentado el quinto postulado, el resultado es la geometría euclidiana . ^{[ 121 ]}

El razonamiento axiomático de los Elementos de Euclides fue considerado durante mucho tiempo como el estándar de rigor matemático, ^{[ 122 ]} pero los problemas de la solidez y completitud de los axiomas de Euclides cobraron protagonismo a finales del siglo XIX, cuando se encontraron lagunas en su razonamiento ^{[ 123 ]} y cuando David Hilbert comenzó a buscar "revivir el punto de vista axiomático de Euclides", para desarrollar sistemas axiomáticos mejorados a través de los cuales todas las preguntas matemáticas y físicas pudieran ser respondidas mediante cálculos simples. ^{[ 118 ]} Las esperanzas de Hilbert se desvanecieron en la crisis fundacional de principios del siglo XX, en la que Kurt Gödel y otros descubrieron que cualquier sistema axiomático sólido para la teoría de conjuntos debe ser necesariamente incompleto. ^{[ 124 ]} En el siglo XXI, surgió un nuevo estándar de rigor, las demostraciones asistidas por computadora , y las proposiciones de los Elementos (con algunas actualizaciones en sus demostraciones) han resistido la verificación por computadora. ^{[ 119 ] [ 125 ]}

Algunas de las demostraciones fundamentales de los Elementos utilizan supuestos que Euclides no enunció explícitamente como axiomas. Por ejemplo, en la primera construcción del Libro 1, de un triángulo equilátero , Euclides utilizó una premisa que no fue ni postulada ni demostrada: que dos círculos que comparten el mismo segmento de línea como radio se cruzarán en dos puntos, en lugar de no cruzarse de alguna manera. ^{[ 126 ] [ 127 ]} Este ejemplo depende únicamente de las propiedades topológicas de su diagrama, que siguen siendo evidentes incluso si el diagrama está dibujado de forma imprecisa. ^{[ 128 ]} Sin embargo, en otros casos, Euclides no demostró que ciertos objetos fueran distintos o estuvieran separados entre sí, y la posibilidad de que pudieran coincidir (un tipo de degeneración ) podría no ser evidente a partir de un solo diagrama. Un ejemplo se da en la bisección de un ángulo de Euclides , al construir un triángulo isósceles sobre el ángulo dado y un triángulo equilátero con la misma base, y conectar con una línea los vértices de los dos triángulos. Esto falla cuando el ángulo inicial es de 60° y los dos vértices coinciden. ^{[ 125 ]}

Editores posteriores de los Elementos han incluido estas suposiciones axiomáticas implícitas, como el axioma de Pasch , ^{[ 129 ] [ 130 ]} en las listas de axiomas formales de sus ediciones. ^{[ 131 ]} Los primeros intentos de construir un conjunto más completo de axiomas incluyen los axiomas de geometría de Hilbert ^{[ 132 ] [ 133 ]} y los de Tarski . ^{[ 129 ] [ 134 ]} En 2017, Michael Beeson et al. utilizaron asistentes de prueba computarizados para crear y verificar un conjunto de axiomas similar al de Euclides. Beeson et al. eligieron el sistema de Tarski como su punto de partida, en lugar del de Hilbert, porque está más cerca del de Euclides y utiliza solo puntos como variables en sus fórmulas. Proporcionaron pruebas verificadas por computadora de todas las proposiciones del Libro I, utilizando estos axiomas, y también demostraron (utilizando una formalización lógica separada de los números reales ) que todos sus axiomas son válidos para los puntos del sistema de coordenadas cartesianas . ^{[ 125 ]}