campo cuadráticamente cerrado

En matemáticas , un cuerpo cuadráticamente cerrado es un cuerpo de característica distinta de 2 en el que cada elemento tiene una raíz cuadrada . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• El cuerpo de los números complejos es cuadráticamente cerrado; más generalmente, cualquier cuerpo algebraicamente cerrado es cuadráticamente cerrado.
• El campo de los números reales no es cuadráticamente cerrado, ya que no contiene una raíz cuadrada de −1.
• La unión de los campos finitos${\displaystyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}}$para n  ≥  0 es cuadráticamente cerrado pero no algebraicamente cerrado. ^{[ 3 ]}

• Un cuerpo es cuadráticamente cerrado si y solo si tiene un invariante universal igual a 1.
• Todo cuerpo cuadráticamente cerrado es un cuerpo pitagórico , pero no a la inversa (por ejemplo, R es pitagórico); sin embargo, todo cuerpo pitagórico no formalmente real es cuadráticamente cerrado. ^{[ 2 ]}
• Un cuerpo es cuadráticamente cerrado si y solo si su anillo de Witt-Grothendieck es isomorfo a Z bajo la aplicación de dimensión. ^{[ 3 ]}
• Un cuerpo euclidiano formalmente real E no es cuadráticamente cerrado (ya que −1 no es un cuadrado en E ), pero la extensión cuadrática E ( √ −1 ) sí es cuadráticamente cerrada. ^{[ 4 ]}
• Sea E / F una extensión finita donde E es cuadráticamente cerrada. O bien −1 es un cuadrado en F y F es cuadráticamente cerrada, o bien −1 no es un cuadrado en F y F es euclidiana. Este "teorema descendente" se puede deducir del teorema de Diller-Dress . ^{[ 5 ]}

Una clausura cuadrática de un cuerpo F es un cuerpo cerrado cuadráticamente que contiene a F y que se incrusta en cualquier cuerpo cerrado cuadráticamente que contiene a F. Una clausura cuadrática para cualquier F dado puede construirse como un subcuerpo de la clausura algebraica F ^alg de F , como la unión de todas las extensiones cuadráticas iteradas de F en F ^alg . ^{[ 4 ]}

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  67. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR 2104929 . Zbl 1068.11023 .  
• Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .