Ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos)

En mecánica clásica , las ecuaciones de rotación de Euler son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, cuasilineales y vectoriales, que describen la rotación de un cuerpo rígido utilizando un sistema de referencia giratorio con velocidad angular ω cuyos ejes están fijos al cuerpo. Reciben su nombre en honor a Leonhard Euler .

En ausencia de pares aplicados , se obtiene la peonza de Euler . Cuando los pares se deben a la gravedad , existen casos especiales en los que el movimiento de la peonza es integrable .

Su forma vectorial general es

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

donde M es el par aplicado e I es la matriz de inercia . El vector${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\omega }}}}$es la aceleración angular . Nuevamente, tenga en cuenta que todas las magnitudes se definen en el sistema de referencia giratorio.

En coordenadas de ejes principales ortogonales de inercia, las ecuaciones se convierten en:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}\,{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}\,{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{3}\,\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}\,{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\,\omega _{1}\,\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}}$

donde M _k son las componentes de los pares aplicados, I _k son los momentos principales de inercia y ω _k son las componentes de la velocidad angular.

En un sistema de referencia inercial (subíndice "in"), la segunda ley de Euler establece que la derivada temporal del momento angular L es igual al par aplicado :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\text{in}}}{dt}}=\mathbf {M} _{\text{in}}}$

Para partículas puntuales tales que las fuerzas internas son fuerzas centrales , esto se puede derivar utilizando la segunda ley de Newton . Para un cuerpo rígido, se tiene la relación entre el momento angular y el momento de inercia I _dada por:

${\displaystyle \mathbf {L} _{\text{en}}=\mathbf {I} _{\text{en}}{\boldsymbol {\omega }}}$

En el sistema de referencia inercial, la ecuación diferencial no siempre resulta útil para resolver el movimiento de un cuerpo rígido en rotación, ya que tanto I _in como ω pueden cambiar durante el movimiento. En su lugar, se puede cambiar a un sistema de coordenadas fijo en el cuerpo en rotación, en el que el tensor de momento de inercia es constante. Al usar un sistema de referencia como el del centro de masas, la posición del sistema se elimina de las ecuaciones. En cualquier sistema de referencia en rotación, la derivada temporal debe reemplazarse para que la ecuación se convierta en

${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {rot} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {M} }$

y así surge el producto vectorial, véase la derivada temporal en el sistema de referencia giratorio . Las componentes vectoriales del par en los sistemas de referencia inercial y giratorio están relacionadas por ${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{in}}=\mathbf {Q} \mathbf {M} ,}$ dónde${\displaystyle \mathbf {Q} }$es el tensor de rotación (no la matriz de rotación ), un tensor ortogonal relacionado con el vector de velocidad angular por ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}={\dot {\mathbf {Q} }}\mathbf {Q} ^{-1}{\boldsymbol {u}}}$ para cualquier vector u . Ahora${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}}$Se sustituye y se toman las derivadas temporales en el sistema de referencia giratorio, teniendo en cuenta que las posiciones de las partículas y el tensor de inercia no dependen del tiempo. Esto conduce a la forma vectorial general de las ecuaciones de Euler, que son válidas en dicho sistema de referencia.

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

Las ecuaciones también se derivan de las leyes de Newton en la discusión del torque resultante .

De manera más general, según las reglas de transformación tensorial, cualquier tensor de rango 2${\displaystyle \mathbf {T} }$tiene una derivada temporal${\displaystyle \mathbf {\dot {T}} }$de tal manera que para cualquier vector${\displaystyle \mathbf {u} }$, uno tiene${\displaystyle \mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {T} \mathbf {u} )-\mathbf {T} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u} )}$Esto produce las ecuaciones de Euler al sustituir${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

Las ecuaciones de Euler se pueden generalizar a cualquier álgebra de Lie simple . ^{[ 1 ]} Las ecuaciones de Euler originales provienen de fijar el álgebra de Lie a:${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$, con generadores${\displaystyle {t_{1},t_{2},t_{3}}}$satisfaciendo la relación${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\epsilon _{abc}t_{c}}$. Entonces si${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)=\sum _{a}\omega _{a}(t)t_{a}}$(dónde${\displaystyle t}$es una coordenada temporal, que no debe confundirse con vectores base${\displaystyle t_{a}}$) es un${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$función valorada en el tiempo, y${\displaystyle \mathbf {I} =\mathrm {diag} (I_{1},I_{2},I_{3})}$(con respecto a la base del álgebra de Lie), entonces las ecuaciones de Euler originales (sin torsión) se pueden escribir ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}=[\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\omega }}].}$$ Para definir${\displaystyle \mathbf {I} }$De forma independiente de la base, debe ser una aplicación autoadjunta en el álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con respecto a la forma bilineal invariante en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Esta expresión se generaliza fácilmente a un álgebra de Lie simple arbitraria, por ejemplo, en la clasificación estándar de álgebras de Lie simples.

Las ecuaciones de Euler para la dinámica de cuerpos rígidos se pueden derivar de la ecuación de Euler-Arnold , una clase de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que describen el flujo geodésico en grupos de Lie de dimensión infinita equipados con métricas invariantes a la derecha . Asimismo, las ecuaciones de Euler para la dinámica de fluidos se pueden derivar de la misma ecuación de Euler-Arnold. ^{[ 3 ]}

Esto también puede considerarse como una formulación de pares de Lax de las ecuaciones generalizadas de Euler, lo que sugiere su integrabilidad.

• ángulos de Euler
• Efecto Dzhanibekov
• Momento de inercia
• Elipsoide de Poinsot
• Rotor rígido

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• Landau LD y Lifshitz EM (1976) Mecánica , 3.ª ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8(tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4(de tapa blanda).
• Goldstein H. (1980) Mecánica clásica , 2.ª ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
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