Línea de Euler

Euler demostró en 1765 que en cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro son colineales . ^{[ 2 ]} Esta propiedad también se cumple para otro centro triangular , el centro de nueve puntos , aunque no se había definido en la época de Euler. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo son distintos entre sí, y la recta de Euler está determinada por dos cualesquiera de ellos.

Otros puntos notables que se encuentran en la línea de Euler incluyen el punto de De Longchamps , el punto de Schiffler , el punto de Exeter y el perspector de Gossard . ^{[ 1 ]} Sin embargo, el incentro generalmente no se encuentra en la línea de Euler; ^{[ 3 ]} está en la línea de Euler solo para triángulos isósceles , ^{[ 4 ]} para los cuales la línea de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos los centros de los triángulos.

El triángulo tangente de un triángulo de referencia es tangente a su circunferencia circunscrita en los vértices del triángulo de referencia. El circuncentro del triángulo tangente se encuentra sobre la recta de Euler del triángulo de referencia. ^{[ 5 ] : p. 447 [ 6 ] : p.104, #211, p.242, #346} El centro de similitud de los triángulos órtico y tangente también se encuentra sobre la recta de Euler. ^{[ 5 ] : p. 447 [ 6 ] : p. 102}

Dejar${\displaystyle ABC}$ser un triángulo. Una prueba del hecho de que el circuncentro${\displaystyle O}$, el centroide${\displaystyle G}$y el ortocentro${\displaystyle H}$son colineales se basa en vectores libres . Comenzamos por enunciar los prerrequisitos. Primero,${\displaystyle G}$satisface la relación

${\displaystyle {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.}$

Esto se deduce del hecho de que las coordenadas baricéntricas absolutas de${\displaystyle G}$son${\displaystyle {\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}}$. Además, el problema de Sylvester ^{[ 7 ]} se lee como

${\displaystyle {\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.}$

Ahora, utilizando la suma de vectores, deducimos que

${\displaystyle {\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(in triangle }}AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(in triangle }}BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(in triangle }}CGO{\mbox{)}}.}$

Al sumar estas tres relaciones, término por término, obtenemos que

${\displaystyle 3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.}$

En conclusión,${\displaystyle 3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}}$y así los tres puntos${\displaystyle O}$,${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$(en este orden) son colineales.

En el libro de Dörrie, ^{[ 7 ]} la recta de Euler y el problema de Sylvester se presentan juntos en una sola demostración. Sin embargo, la mayoría de las demostraciones del problema de Sylvester se basan en las propiedades fundamentales de los vectores libres, independientemente de la recta de Euler.

En la recta de Euler, el centroide G se encuentra entre el circuncentro O y el ortocentro H , y está al doble de distancia del ortocentro que del circuncentro: ^{[ 6 ] : p.102}

${\displaystyle GH=2GO;}$

${\displaystyle OH=3GO.}$

El segmento GH es un diámetro del círculo ortocentroide .

El centro N del círculo de nueve puntos se encuentra sobre la línea de Euler a medio camino entre el ortocentro y el circuncentro: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.}$

De este modo, la línea de Euler podría reposicionarse en una recta numérica con el circuncentro O en la ubicación 0, el centroide G en 2 t , el centro de nueve puntos en 3 t y el ortocentro H en 6 t para algún factor de escala t .

Además, la distancia al cuadrado entre el centroide y el circuncentro a lo largo de la línea de Euler es menor que el radio de la circunferencia circunscrita al ^cuadrado R² en una cantidad igual a un noveno de la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados a , b y c : ^{[ 6 ] : p. 71}

${\displaystyle GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Además, ^{[ 6 ] : pág. 102}

${\displaystyle OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});}$

${\displaystyle GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Sean A , B , C los ángulos de los vértices del triángulo de referencia, y sea x  : y  : z un punto variable en coordenadas trilineales ; entonces una ecuación para la recta de Euler es

${\displaystyle \sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.}$

Una ecuación para la recta de Euler en coordenadas baricéntricas${\displaystyle \alpha$ :\beta  :\gamma } es ^{[ 8 ]}

${\displaystyle (\tan C-\tan B)\alpha +(\tan A-\tan C)\beta +(\tan B-\tan A)\gamma =0.}$

Otra forma de representar la línea de Euler es en términos de un parámetro t . Comenzando con el circuncentro (con coordenadas trilineales)${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$) y el ortocentro (con trilineales)${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B),}$Cada punto de la línea de Euler, excepto el ortocentro, viene dado por las coordenadas trilineales.

${\displaystyle \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B}$

formada como una combinación lineal de las trilineales de estos dos puntos, para algún t .

Por ejemplo:

• El circuncentro tiene trilineales${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C,}$correspondiente al valor del parámetro${\displaystyle t=0.}$
• El centroide tiene trilineales${\displaystyle \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,}$correspondiente al valor del parámetro${\displaystyle t=1.}$
• El centro de nueve puntos tiene trilineales${\displaystyle \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,}$correspondiente al valor del parámetro${\displaystyle t=2.}$
• La punta de Longchamps tiene trilineales${\displaystyle \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,}$correspondiente al valor del parámetro${\displaystyle t=-1.}$

En un sistema de coordenadas cartesianas , denotamos las pendientes de los lados de un triángulo como${\displaystyle m_{1},}$${\displaystyle m_{2},}$y${\displaystyle m_{3},}$y denotamos la pendiente de su línea de Euler como${\displaystyle m_{E}}$. Entonces estas pendientes se relacionan según ^{[ 9 ] : Lema 1}

${\displaystyle m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}}$

${\displaystyle +3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.}$

Así, la pendiente de la recta de Euler (si es finita) se puede expresar en términos de las pendientes de los lados como

${\displaystyle m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.}$

Además, la línea de Euler es paralela al lado BC de un triángulo acutángulo si y solo si ^{[ 9 ] : p.173}${\displaystyle \tan B\tan C=3.}$

En un triángulo rectángulo , la recta de Euler coincide con la mediana de la hipotenusa ; es decir, pasa por el vértice rectángulo y por el punto medio del cateto opuesto. Esto se debe a que el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus alturas , se encuentra en el vértice rectángulo, mientras que su circuncentro, la intersección de las mediatrices de sus catetos, se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.

La línea de Euler de un triángulo isósceles coincide con el eje de simetría . En un triángulo isósceles, el incentro se encuentra sobre la línea de Euler.

La recta de Euler de un triángulo automediano (aquel cuyas medianas guardan las mismas proporciones, aunque en orden inverso, que los lados) es perpendicular a una de las medianas. ^{[ 11 ]}

Consideremos un triángulo ABC con puntos de Fermat-Torricelli F ₁ y F ₂ . Las rectas de Euler de los 10 triángulos con vértices elegidos de A, B, C, F ₁ y F ₂ son concurrentes en el centroide del triángulo ABC . ^{[ 12 ]}

Las rectas de Euler de los cuatro triángulos formados por un sistema ortocéntrico (un conjunto de cuatro puntos tales que cada uno es el ortocentro del triángulo con vértices en los otros tres puntos) son concurrentes en el centro de nueve puntos común a todos los triángulos. ^{[ 6 ] : p.111}

En un cuadrilátero convexo , el cuasiortocentro H , el "centroide del área" G y el cuasicircuncentro O son colineales en este orden sobre la línea de Euler, y HG = 2 GO . ^{[ 13 ]}

Un tetraedro es un objeto tridimensional delimitado por cuatro caras triangulares . Siete líneas asociadas a un tetraedro son concurrentes en su centroide; sus seis planos medios se intersecan en su punto de Monge ; y existe una esfera circunscrita que pasa por todos sus vértices, cuyo centro es el circuncentro. Estos puntos definen la "línea de Euler" de un tetraedro, análoga a la de un triángulo. El centroide es el punto medio entre su punto de Monge y su circuncentro a lo largo de esta línea. El centro de la esfera de doce puntos también se encuentra sobre la línea de Euler.

Un politopo simplicial es un politopo cuyas facetas son todas símplices (plural de símplice). Por ejemplo, todo polígono es un politopo simplicial. La recta de Euler asociada a dicho politopo es la recta determinada por su centroide y su circuncentro de masa . Esta definición de recta de Euler generaliza las anteriores. ^{[ 14 ]}

Supongamos que${\displaystyle P}$es un polígono. La línea de Euler${\displaystyle E}$es sensible a las simetrías de${\displaystyle P}$de las siguientes maneras:

1. Si${\displaystyle P}$tiene una línea de simetría de reflexión${\displaystyle L}$, entonces${\displaystyle E}$es o${\displaystyle L}$o un punto en${\displaystyle L}$.
2. Si${\displaystyle P}$posee un centro de simetría rotacional${\displaystyle C}$, entonces${\displaystyle E=C}$.