Conjetura de Euler sobre la suma de potencias

En teoría de números , la conjetura de Euler es una conjetura refutada relacionada con el Último Teorema de Fermat . Fue presentada por Leonhard Euler en 1778 a la Academia de Ciencias de San Petersburgo . Establece que para todos los enteros n y k mayores que 1, si la suma de n potencias k - ésimas de enteros positivos es también una potencia k -ésima, entonces n es mayor o igual que k :

$${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}=b^{k}\implies n\geq k}$$

La conjetura representa un intento de generalizar el Último Teorema de Fermat, que es el caso especial n = 2 : si${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}=b^{k},}$entonces 2 ≥ k .

Aunque la conjetura se cumple para el caso k = 3 (que se deduce del último teorema de Fermat para las terceras potencias), fue refutada para k = 4 y k = 5. Se desconoce si la conjetura falla o se cumple para cualquier valor k ≥ 6 .

Euler conocía la igualdad ^59⁴ + 158⁴ ⁼ 133⁴ ⁺ 134⁴ ^que involucra sumas de cuatro cuartas potencias; ^{[ 1 ] [ 2 ]} sin embargo, esto no es un contraejemplo porque ningún término está aislado en un lado de la ecuación. También proporcionó una solución completa al problema de los cuatro cubos como en el ^número de Platón 3³ ⁺ 4³ + 5³ ⁼ 6³ ^o el número de taxi 1729. ^{[ 3 ] [ 4 ]} La solución general de la ecuación${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=x_{3}^{3}+x_{4}^{3}}$ es $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\lambda (1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2}))\\[2pt]x_{2}&=\lambda ((a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1)\\[2pt]x_{3}&=\lambda ((a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2})\\[2pt]x_{4}&=\lambda ((a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b))\end{aligned}}}$$ donde a , b y${\displaystyle {\lambda }}$son cualquier número racional.

La conjetura se presentó en 1778, pero solo se publicó después de la muerte de Euler. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La conjetura de Euler fue refutada por L. J. Lander y T. R. Parkin en 1966 cuando, mediante una búsqueda directa en una computadora CDC 6600 , encontraron un contraejemplo para k = 5. [ ^{5 ] Esto} se publicó en un artículo que consta de solo dos oraciones. ^{[ 5 ]} Se conocen un total de cuatro contraejemplos primitivos (es decir, en los que los sumandos no tienen todos un factor común ): $${\displaystyle {\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\14132^{5}&=(-220)^{5}+5027^{5}+6237^{5}+14068^{5}\\85359^{5}&=55^{5}+3183^{5}+28969^{5}+85282^{5}\\1956878^{5}&=719115^{5}+1331622^{5}+(-1340632)^{5}+1956213^{5}\end{aligned}}}$$ (Lander y Parkin, 1966); (Scher y Seidl, 1996); (Frye, 2004); (Braun, 2026).

En 1988, Noam Elkies publicó un método para construir una secuencia infinita de contraejemplos para el caso k = 4. ^{[ 6 ]} Su contraejemplo más pequeño fue $${\displaystyle 20615673^{4}=2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}.}$$

Un caso particular de las soluciones de Elkies se puede reducir a la identidad ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle (85v^{2}+484v-313)^{4}+(68v^{2}-586v+10)^{4}+(2u)^{4}=(357v^{2}-204v+363)^{4},}$$ dónde $${\displaystyle u^{2}=22030+28849v-56158v^{2}+36941v^{3}-31790v^{4}.}$$ Esta es una curva elíptica con un punto racional en v ₁ = − ⁠ 31 / 467 ⁠ . A partir de este punto racional inicial, se puede calcular una colección infinita de otros. Sustituyendo v ₁ en la identidad y eliminando los factores comunes, se obtiene el ejemplo numérico citado anteriormente.

En 1988, Roger Frye encontró el contraejemplo más pequeño posible. $${\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}}$$ para k = 4 mediante una búsqueda directa por computadora utilizando técnicas sugeridas por Elkies. Esta solución es la única con valores de las variables inferiores a 1.000.000. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

En 1967, LJ Lander, TR Parkin y John Selfridge conjeturaron ^{[ 11 ]} que si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$,

donde a _i ≠ b _j son enteros positivos para todo 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m , entonces m + n ≥ k . En el caso especial m = 1 , la conjetura afirma que si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$

(bajo las condiciones dadas anteriormente) entonces n ≥ k − 1 .

El caso particular puede describirse como el problema de particionar una potencia perfecta en varias potencias iguales. Para k = 4, 5, 7, 8 y n = k o k − 1 , existen numerosas soluciones conocidas. Algunas de ellas se enumeran a continuación.

Consulte OEIS : A347773  para obtener más datos.

• ecuación de Jacobi-Madden
• Problema de Prouhet-Tarry-Escott
• Conjetura de Beal
• cuádruple pitagórico
• Número de taxi generalizado
• Sumas de potencias , una lista de conjeturas y teoremas relacionados.

• Tito Piezas III, Una colección de identidades algebraicas Archivado el 1 de octubre de 2011 en Wayback Machine
• Jaroslaw Wroblewski, Sumas iguales de potencias iguales
• Ed Pegg Jr., Juegos de matemáticas, Sumas de potencia
• James Waldby, Tabla de quintas potencias iguales a una quinta potencia (2009)
• R. Gerbicz ^{, J.-C. Meyrignac} , U. Beckert, Todas las soluciones de la ecuación diofántica a⁶ ⁺ b⁶ = c⁶ + d⁶ ⁺ e⁶ ^{+ f⁶} + g⁶ para a , b , c , d , e , f , g < 250000 encontradas con un proyecto BOINC distribuido
• EulerNet: Cálculo de sumas mínimas iguales de potencias iguales
• Weisstein, Eric W. "La conjetura de Euler sobre la suma de potencias" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Conjetura cuártica de Euler" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Ecuación diofántica: cuartas potencias" . MathWorld .
• La conjetura de Euler en library.thinkquest.org
• Una explicación sencilla de la conjetura de Euler en ¡Las matemáticas son buenas para ti!