Ladrillo de Euler

En matemáticas , un ladrillo de Euler , llamado así en honor a Leonhard Euler , es un paralelepípedo rectangular cuyas aristas y diagonales tienen longitudes enteras. Un ladrillo de Euler primitivo es aquel cuyas aristas tienen longitudes relativamente primas . Un ladrillo de Euler perfecto es aquel cuya diagonal espacial también es entera, pero aún no se ha encontrado tal ladrillo.

Definición

La definición de un ladrillo de Euler en términos geométricos es equivalente a una solución del siguiente sistema de ecuaciones diofánticas :

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}

donde $a, b, c$ son las aristas y $d, e, f$ son las diagonales.

Propiedades

Si $(a, b, c)$ es una solución, entonces $(ka, kb, kc)$ también lo es para cualquier $k$ . En consecuencia, las soluciones en números racionales son todas reescalamientos de soluciones enteras. Dado un ladrillo de Euler con longitudes de arista $(a, b, c)$ , la terna $(bc, ac, ab)$ también constituye un ladrillo de Euler. ^{[ 1 ]}^{: pág. 106}

Exactamente una arista y dos diagonales de las caras de un ladrillo de Euler primitivo son impares.

Al menos dos aristas de un ladrillo de Euler son divisibles por 3. ^{[ 1 ]}^{: pág. 106}

Al menos dos aristas de un ladrillo de Euler son divisibles por 4. ^{[ 1 ]}^{: pág. 106}

Al menos una arista de un ladrillo de Euler es divisible por 11. ^{[ 1 ]}^{: pág. 106}

Ejemplos

El ladrillo de Euler más pequeño, descubierto por Paul Halcke en 1719, tiene aristas $(a, b, c) = (44, 117, 240)$ y diagonales de caras $(d, e, f) = (125, 244, 267)$ . ^{[ 2 ]} A continuación se muestran otras soluciones primitivas pequeñas, dadas como aristas $(a, b, c)$ y diagonales de caras $(d, e, f)$ :

Fórmula generadora

Euler encontró al menos dos soluciones paramétricas al problema, pero ninguna proporciona todas las soluciones. ^{[ 3 ]}

Se puede generar una infinidad de ladrillos de Euler con $la$ $fórmula$ paramétrica de Saunderson ^{[ 4 ]} . Sea $($ $u$ $,$ $v$ $,$ $w$ $)$ una terna pitagórica (es decir, $u²$ $+$ $v²$ $=$ $w²$ $)$ . Entonces ^[¹^]^:¹⁰⁵ las aristas

a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw

dar diagonales a la cara

d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).

Hay muchos ladrillos de Euler que no están parametrizados como se indicó anteriormente, por ejemplo el ladrillo de Euler con aristas $(a, b, c) = (240, 252, 275)$ y diagonales de cara $(d, e, f) = (348, 365, 373)$ .

cuboide perfecto

Problema sin resolver en matemáticas

¿Existe un paralelepípedo perfecto?

Más problemas sin resolver en matemáticas

Un cuboide perfecto (también llamado ladrillo de Euler perfecto o caja perfecta ) es un ladrillo de Euler cuya diagonal espacial también tiene longitud entera. En otras palabras, se añade la siguiente ecuación al sistema de ecuaciones diofánticas que definen un ladrillo de Euler:

a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},

donde $g$ es la diagonal del espacio. A partir de marzo de 2020 , no se ha encontrado ningún ejemplo de cuboide perfecto y nadie ha demostrado que no existan. ^{[ 5 ]}

Las exhaustivas búsquedas informáticas demuestran que, si existe un cuboide perfecto,

El borde impar debe ser mayor que 2,5 × 10 ¹³ , ^{[ 6 ]}
el borde más pequeño debe ser mayor que5 × 10 ¹¹ , ^{[ 6 ]} y
La diagonal del espacio debe ser mayor que 9 × 10 ¹⁵ . ^{[ 7 ]}

Se conocen algunos hechos sobre las propiedades que debe satisfacer un cuboide perfecto primitivo , si es que existe, basándose en la aritmética modular : ^{[ 8 ]}

Una arista, dos diagonales de la cara y la diagonal del espacio deben ser impares, una arista y la diagonal de la cara restante deben ser divisibles por 4, y la arista restante debe ser divisible por 16.
Dos de los bordes deben tener una longitud divisible por 3 y al menos uno de esos bordes debe tener una longitud divisible por 9.
Una de las aristas debe tener una longitud divisible por 5.
Una de las aristas debe tener una longitud divisible por 7.
Una de las aristas debe tener una longitud divisible por 11.
Una de las aristas debe tener una longitud divisible por 19.
Una de las aristas o diagonales del espacio debe ser divisible por 13.
Una arista, una diagonal de la cara o una diagonal del espacio debe ser divisible por 17.
Una arista, una diagonal de la cara o una diagonal del espacio debe ser divisible por 29.
Una arista, una diagonal de la cara o una diagonal del espacio debe ser divisible por 37.

Además:

La diagonal espacial no es ni una potencia prima ni un producto de dos primos . ^{[ 9 ]}^{: pág. 579}
La diagonal del espacio solo puede contener divisores primos que sean congruentes con 1 módulo 4. ^{[ 9 ]}^{: pág. 566}^{[ 10 ]}

triángulos heronianos

Si existe un cuboide perfecto con aristas $a,b,c$ diagonales de caras correspondientes $d,e,f$ y espacio diagonal $g$ Entonces, existen los siguientes triángulos heronianos :

Un triángulo heroniano con longitudes de lado $(d^{2},e^{2},f^{2})$ , un área de $abcg$ y bisectrices de ángulos racionales. ^{[ 11 ]}
Un triángulo heroniano agudo con longitudes de lado $(af,be,cd)$ y un área de ${\frac {abcg}{2}}$ .
Triángulos heronianos obtusos con longitudes de lado $(bf,ae,gd)$ , $(ad,cf,ge)$ , y $(ce,bd,gf)$ , cada uno con un área de ${\frac {abcg}{2}}$ .
Triángulos heronianos rectángulos con longitudes de lado $(ab,cg,ef)$ , $(ac,bg,df)$ , y $(bc,ag,de)$ , cada uno con un área de ${\frac {abcg}{2}}$ .

Conjeturas sobre cuboides

Las tres conjeturas del cuboide son tres proposiciones matemáticas que afirman la irreducibilidad de tres polinomios univariados con coeficientes enteros que dependen de varios parámetros enteros. Estas conjeturas están relacionadas con el problema del cuboide perfecto . ^[¹²^]^[¹³^] Si bien no son equivalentes al problema del cuboide perfecto, si las tres conjeturas son ciertas, entonces no existen cuboides perfectos. No han sido probadas ni refutadas.

Conjetura del cuboide 1. Para cualesquiera dos números enteros positivos coprimos $a\neq u$ el polinomio de octavo grado

es irreducible sobre el anillo de enteros $\mathbb {Z}$ .

Conjetura del cuboide 2. Para cualesquiera dos números enteros positivos coprimos $p\neq q$ el polinomio de décimo grado

es irreducible sobre el anillo de enteros $\mathbb {Z}$ .

Conjetura del cuboide 3. Para cualesquiera tres números enteros positivos coprimos $a$ , $b$ , $u$ de tal manera que ninguna de las condiciones

se cumplen, el polinomio de duodécimo grado

es irreducible sobre el anillo de enteros $\mathbb {Z}$ .

Cuboides casi perfectos

Un cuboide casi perfecto tiene 6 de sus 7 longitudes racionales. Estos cuboides se pueden clasificar en tres tipos: cuboides de cuerpo , cuboides de aristas y cuboides de caras . ^{[ 14 ]} En el caso del cuboide de cuerpo, la diagonal de cuerpo (espacio) $g$ es irracional. Para el cuboide de aristas, una de las aristas $a, b o c$ es irracional. El cuboide de caras tiene una de las diagonales de caras $d, e o f irracional$ .

El cuboide de cuerpo se conoce comúnmente como cuboide de Euler en honor a Leonhard Euler, quien estudió este tipo de cuboide. ^{[ 15 ]} También conocía los cuboides de caras y proporcionó el ejemplo (104, 153, 672). ^{[ 16 ]} Las tres longitudes enteras de las aristas y las tres longitudes enteras de las diagonales de un cuboide de caras también pueden interpretarse como las longitudes de las aristas de un tetraedro de Herón que también es un ortoesquema de Schläfli . Existen infinitos cuboides de caras e infinitos ortoesquemas de Herón. ^{[ 17 ]}

Las soluciones más pequeñas para cada tipo de cuboide casi perfecto, dadas como aristas, diagonales de caras y la diagonal del espacio $(a, b, c, d, e, f, g)$ , son las siguientes:

Cuboide del cuerpo : $(44, 117, 240, 125, 244, 267, \sqrt 73225)$
Cuboide de aristas : $(520, 576, \sqrt 618849, 776, 943, 975, 1105)$
Cuboide de caras : $(104, 153, 672, 185, 680, \sqrt 474993, 697)$

A partir de julio de 2020 Se encontraron 167.043 cuboides con la longitud de arista entera más pequeña menor que 200.000.000.027: 61.042 son cuboides de Euler (cuerpo), 16.612 son cuboides de arista con una longitud de arista de número complejo , 32.286 eran cuboides de arista y 57.103 eran cuboides de cara. ^{[ 18 ]}

A diciembre de 2017 , una búsqueda exhaustiva contabilizó todos los cuboides de aristas y caras con la diagonal del espacio entero más pequeña menor que 1.125.899.906.842.624: 194.652 eran cuboides de aristas, 350.778 eran cuboides de caras. ^{[ 7 ]}

paralelepípedo perfecto

Un paralelepípedo perfecto es un paralelepípedo con aristas, diagonales de caras y diagonales de cuerpo de longitud entera, pero no necesariamente con todos los ángulos rectos; un cuboide perfecto es un caso especial de un paralelepípedo perfecto. En 2009, se demostró la existencia de docenas de paralelepípedos perfectos, ^{[ 19 ]} respondiendo a una pregunta abierta de Richard Guy . Algunos de estos paralelepípedos perfectos tienen dos caras rectangulares. El paralelepípedo perfecto más pequeño tiene aristas 271, 106 y 103; diagonales de cara cortas 101, 266 y 255; diagonales de cara larga 183, 312 y 323; y diagonales de cuerpo 374, 300, 278 y 272.

Conexión con curvas elípticas

En 2022, Aubrey de Grey publicó ^{[ 20 ]} una exploración de troncos de pirámide rectangulares isósceles perfectos , a los que denominó "plomos". Estos son hexaedros con dos caras rectangulares de la misma relación de aspecto y cuatro caras que son trapecios isósceles . Así, al igual que los cuboides casi perfectos y los paralelepípedos perfectos, un cuboide perfecto sería un caso especial de un plinto perfecto. Los plintos perfectos existen, pero son mucho más raros para un tamaño dado que los paralelepípedos perfectos o los cuboides casi perfectos. En un artículo posterior, ^{[ 21 ]} de Grey, Philip Gibbs y Louie Helm se basaron en este hallazgo para explorar clases de curvas elípticas que corresponden a plintos perfectos, cuboides casi perfectos y otras generalizaciones de cuboides perfectos. De este modo, aumentaron drásticamente el rango hasta el cual se pueden buscar cuboides perfectos computacionalmente. También demostraron que una gran proporción de ternas pitagóricas no pueden formar una cara de un cuboide perfecto, al identificar varias familias de curvas elípticas que deben tener rango positivo para que exista un cuboide perfecto. De forma independiente, Paulsen y West demostraron ^{[ 22 ]} que un cuboide perfecto debe corresponder a una curva elíptica numérica congruente de rango al menos 2.

Véase también

cuádruple pitagórico

Notas

1 2 3 4 5 Wacław Sierpiński , Triángulos pitagóricos , Publicaciones de Dover, 2003 (ed. original 1962).
↑ Visiones del infinito: Los grandes problemas matemáticos, por Ian Stewart, Capítulo 17
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Referencias

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[10] Ronald van Luijk, Sobre cuboides perfectos, junio de 2000

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[14] Rathbun RL, Granlund T., La tabla de cuboides enteros con soluciones de tipo cuerpo, arista y cara // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.

[15] Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, San Petersburgo, 1771

[16] Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, traducción al inglés: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984

[17] "Problema 930" (PDF) , Soluciones, Crux Mathematicorum , 11 (5): 162-166 , mayo de 1985

[18] Rathbun, Randall L. (14 de julio de 2020). "La tabla de cuboides enteros". arXiv : 1705.05929v4 [ math.NT ].

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[20] Grey, Aubrey DNJ (2022). "Plinths perfectos: ¿un camino para resolver la cuestión del cuboide perfecto?". Geombinatorics . 31 : 156–161 .

[21] Grey, Aubrey DNJ; Gibbs, Philip; Helm, Louie (2024). "Nuevas propiedades requeridas y algoritmos eficientes para buscar cuboides perfectos". Geombinatorics . 33 : 107–131 .

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