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Teoría de grafos evolutiva

La teoría evolutiva de grafos es un área de investigación que se sitúa en la intersección de la teoría de grafos , la teoría de la probabilidad y la biología matemática . La teo...

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La teoría evolutiva de grafos es un área de investigación que se sitúa en la intersección de la teoría de grafos , la teoría de la probabilidad y la biología matemática . La teoría evolutiva de grafos es un enfoque para estudiar cómo la topología afecta la evolución de una población . Que la topología subyacente puede afectar sustancialmente los resultados del proceso evolutivo se observa con mayor claridad en un artículo de Erez Lieberman , Christoph Hauert y Martin Nowak . [ 1 ]

Marco matemático

En la teoría evolutiva de grafos, los individuos ocupan vértices de un grafo dirigido ponderado , y el peso w i j de una arista del vértice i al vértice j denota la probabilidad de que i reemplace a j . El peso se corresponde con la noción biológica de aptitud , donde los tipos más aptos se propagan con mayor facilidad.

Una propiedad estudiada en grafos con dos tipos de individuos es la probabilidad de fijación , que se define como la probabilidad de que un único mutante de tipo A, colocado aleatoriamente, reemplace a una población de tipo B. Según el teorema isotérmico , un grafo tiene la misma probabilidad de fijación que el proceso de Moran correspondiente si y solo si es isotérmico, es decir, la suma de todos los pesos que conducen a un vértice es la misma para todos los vértices. Por lo tanto, por ejemplo, un grafo completo con pesos iguales describe un proceso de Moran. La probabilidad de fijación es

ρMETRO=1−r−11−r−norte{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{M}={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}\end{aligned}}}

donde r es la aptitud relativa del tipo invasor.

Amplificadores y supresores de selección

Los gráficos se pueden clasificar en amplificadores de selección y supresores de selección. Si la probabilidad de fijación de una sola mutación ventajosaρGRAMO{\displaystyle \rho _{G}}es mayor que la probabilidad de fijación del proceso de Moran correspondienteρMETRO{\displaystyle \rho _{M}}entonces el gráfico es un amplificador, de lo contrario un supresor de selección. Un ejemplo de supresor de selección es un proceso lineal donde solo el vértice i-1 puede reemplazar al vértice i (pero no al revés). En este caso la probabilidad de fijación esρGRAMO=1/norte{\displaystyle \rho _{G}=1/N}(donde N es el número de vértices) ya que esta es la probabilidad de que la mutación surja en el primer vértice que eventualmente reemplazará a todos los demás. Dado queρGRAMO<ρMETRO{\displaystyle \rho _{G}<\rho _{M}}Para todo r mayor que 1, este gráfico es, por definición, un supresor de la selección.

Formulaciones alternativas

La teoría evolutiva de grafos también puede estudiarse en una formulación dual, como un paseo aleatorio coalescente o como un proceso estocástico . Podemos considerar la población mutante en un grafo como un paseo aleatorio entre barreras absorbentes que representan la extinción y la fijación de mutantes. Para grafos altamente simétricos, podemos usar martingalas para hallar la probabilidad de fijación, como ilustra Monk (2018).

Los juegos evolutivos también pueden estudiarse en grafos, donde, de nuevo, una arista entre i y j significa que estos dos individuos jugarán un juego entre sí.

Entre los procesos estocásticos estrechamente relacionados se encuentra el modelo del votante , introducido por Clifford y Sudbury (1973) e independientemente por Holley y Liggett (1975), y que ha sido estudiado extensamente.

Bibliografía

  • Holley, RA; Liggett, TM (1975). "Teoremas ergódicos para sistemas infinitos de interacción débil y el modelo del votante" . The Annals of Probability . 3 (4): 643– 663. doi : 10.1214/aop/1176996306 .
  • Liggett, Thomas M. (1999). Sistemas estocásticos interactivos: procesos de contacto, votación y exclusión . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-65995-2.
  • Clifford, P.; Sudbury, A. (1973). "Un modelo para el conflicto espacial". Biometrika . 60 (3): 581– 588. doi : 10.1093/biomet/60.3.581 .
  • Martin A. Nowak (2006). Dinámica evolutiva: explorando las ecuaciones de la vida . Cambridge: Belknap Press de Harvard University Press . ISBN 978-0-674-02338-3.
  • Monk, T. (2018). "Martingales y la probabilidad de fijación de grafos evolutivos de alta dimensión". Journal of Theoretical Biology . 451 : 10–18 . Bibcode : 2018JThBi.451...10M . doi : 10.1016/j.jtbi.2018.04.039 . PMID 29727631. S2CID 13682722 .  

Referencias

  1. ↑ Lieberman, E.; Hauert, C.; Nowak, MA (2005). "Dinámica evolutiva en grafos". Nature . 433 (7023): 312– 316. Bibcode : 2005Natur.433..312L . CiteSeerX 10.1.1.398.4515 . doi : 10.1038/nature03204 . PMID 15662424 . S2CID 4386820 .   

Un laboratorio virtual para estudiar la evolución en gráficos:

Lecturas adicionales

  • Allen, Benjamin; Nowak, Martin A. (2014). "Juegos en grafos" . EMS Surveys in Mathematical Sciences . 1 (1): 113– 151. doi : 10.4171/emss/3 .