Funtor de imagen inversa excepcional

En matemáticas , más concretamente en la teoría de haces , una rama de la topología y la geometría algebraica , el excepcional functor imagen inversa es el cuarto y más sofisticado de una serie de functores imagen para haces . Es necesario para expresar la dualidad de Verdier en su forma más general.

Sea f : X → Y una aplicación continua de espacios topológicos o un morfismo de esquemas . Entonces la imagen inversa excepcional es un functor.

R f ^! : D( Y ) → D( X )

donde D(–) denota la categoría derivada de haces de grupos o módulos abelianos sobre un anillo fijo.

Se define como el adjunto derecho del functor derivado total R f _! de la imagen directa con soporte compacto . Su existencia se deduce de ciertas propiedades de R f _! y de teoremas generales sobre la existencia de functores adjuntos, al igual que su unicidad.

La notación R f ^! es un abuso de notación en la medida en que, en general, no existe ningún functor f ^! cuyo functor derivado sea R f ^! .

• Si f : X → Y es una inmersión de un subespacio localmente cerrado , entonces es posible definir

f ^! ( F )  := f ^∗ G ,

donde G es el subhaz de F cuyas secciones en algún subconjunto abierto U de Y son las secciones s ∈ F ( U ) cuyo soporte está contenido en X . El functor f ^! es exacto por la izquierda , y el R f ^! anterior , cuya existencia está garantizada por un sinsentido abstracto , es de hecho el functor derivado de este f ^! . Además, f ^! también es adjunto por la derecha de f _! ,.

• De forma un poco más general, una afirmación similar es válida para cualquier morfismo cuasifinito, como un morfismo étale .
• Si f es una inmersión abierta , la imagen inversa excepcional es igual a la imagen inversa usual .

Dejar${\displaystyle X}$ser una variedad suave de dimensión${\displaystyle d}$y dejar${\displaystyle f:X\rightarrow *}$ser el mapa único que mapea todo a un punto. Para un anillo${\displaystyle \Lambda }$, uno encuentra que${\displaystyle f^{!}\Lambda =\omega _{X,\Lambda }[d]}$es el desplazado${\displaystyle \Lambda }$- haz de orientación .

Por otro lado, dejemos${\displaystyle X}$ser suave${\displaystyle k}$-variedad de dimensiones${\displaystyle d}$. Si${\displaystyle f:X\rightarrow \operatorname {Spec} (k)}$denota el morfismo de estructura entonces${\displaystyle f^{!}k\cong \omega _{X}[d]}$es el haz canónico desplazado en${\displaystyle X}$.

Además, dejemos${\displaystyle X}$ser suave${\displaystyle k}$-variedad de dimensiones${\displaystyle d}$y${\displaystyle \ell }$un invertible primo en${\displaystyle k}$. Entonces${\displaystyle f^{!}\mathbb {Q} _{\ell }\cong \mathbb {Q} _{\ell }(d)[2d]}$dónde${\displaystyle (d)}$denota el giro de Tate .

Recordando la definición de la cohomología con soporte compacto como empuje hacia adelante de grito inferior y observando que por debajo del último${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$significa el haz constante en${\displaystyle X}$y el resto significa que en${\displaystyle *}$,${\displaystyle f:X\to *}$, y

${\displaystyle \mathrm {H} _{c}^{n}(X)^{*}\cong \operatorname {Hom} \left(f_{!}f^{*}\mathbb {Q} _{\ell }[n],\mathbb {Q} _{\ell }\right)\cong \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Q} _{\ell },f_{*}f^{!}\mathbb {Q} _{\ell }[-n]\right),}$

El cálculo anterior proporciona la${\displaystyle \ell }$-dualidad de Poincaré ádica

${\displaystyle \mathrm {H} _{c}^{n}\left(X;\mathbb {Q} _{\ell }\right)^{*}\cong \mathrm {H} ^{2d-n}(X;\mathbb {Q} (d))}$

a partir de la aplicación repetida de la condición de adjunción.

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190 trata el entorno topológico
• Artín, Michael (1972). Alejandro Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol.  305. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . págs.vi  +640. doi : 10.1007/BFb0070714 . ISBN 978-3-540-06118-2. Trata el caso de haces étales en esquemas. Véase Exposé XVIII, sección 3.

• Gallauer, Martin, Introducción a seis formalismos de functores , págs. 10-11da las declaraciones de dualidad.