Rayo externo

Dejar${\displaystyle \Psi _{c}\,}$Sea el isomorfismo conforme del complemento (exterior) del disco unitario cerrado.${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$ al complemento del conjunto Julia completo${\displaystyle \ K_{c}}$.

${\displaystyle \Psi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}}$

dónde${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$denota el plano complejo extendido .${\displaystyle \Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,}$denotamos el mapa de Boettcher . ^{[ 14 ]}${\displaystyle \Phi _{c}\,}$es un mapa uniformizador de la cuenca de atracción del infinito, porque conjuga${\displaystyle f_{c}}$en el complemento del conjunto Julia completo${\displaystyle K_{c}}$a${\displaystyle f_{0}(z)=z^{2}}$en el complemento del disco de la unidad:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}&\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\\z&\mapsto \lim _{n\to \infty }(f_{c}^{n}(z))^{2^{-n}}\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle \Phi _ {c}\circ f_ {c}\circ \Phi _ {c}^{-1}=f_ {0}}$

Un valor${\displaystyle w=\Phi _ {c}(z)}$se denomina coordenada de Boettcher para un punto${\displaystyle z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}}$.

El rayo externo de ángulo${\displaystyle \theta \,}$ señalado como${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta}^{K}}$es:

• la imagen debajo${\displaystyle \Psi _{c}\,}$de líneas rectas${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}=\Psi _{c}({\mathcal {R}}_{\theta })}$

• conjunto de puntos del exterior del conjunto de Julia relleno con el mismo ángulo externo ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}=\{z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}:\arg(\Phi _{c}(z))=\theta \}}$

Dejar${\displaystyle \Psi _{M}\,}$sea ​​el mapeo del complemento (exterior) del disco de unidad cerrada${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$ al complemento del conjunto de Mandelbrot${\displaystyle \ M}$. ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \Psi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to \mathbb {\hat {C}} \setminus M}$

y mapa de Boettcher (función)${\displaystyle \Phi _{M}\,}$, que es un mapa uniformizador ^{[ 18 ]} del complemento del conjunto de Mandelbrot, porque conjuga el complemento del conjunto de Mandelbrot${\displaystyle \ M}$y el complemento (exterior) del disco de la unidad cerrada

${\displaystyle \Phi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus M\to \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}}$

se puede normalizar de manera que  :

${\displaystyle {\frac {\Phi _{M}(c)}{c}}\to 1\ as\ c\to \infty \,}$^{[ 19 ]}

dónde  :

${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} }$denota el plano complejo extendido

Función de Jungreis${\displaystyle \Psi _{M}\,}$es la inversa de uniformizar el mapa  :

${\displaystyle \Psi _{M}=\Phi _{M}^{-1}\,}$

En el caso de un polinomio cuadrático complejo, se puede calcular este mapa utilizando la serie de Laurent alrededor del infinito ^{[ 20 ] [ 21 ].}

${\displaystyle c=\Psi _{M}(w)=w+\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}w^{-m}=w-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8w}}-{\frac {1}{4w^{2}}}+{\frac {15}{128w^{3}}}+...\,}$

dónde

${\displaystyle c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M}$

${\displaystyle w\in \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}}$

El rayo externo de ángulo${\displaystyle \theta \,}$es:

• la imagen debajo${\displaystyle \Psi _{c}\,}$de líneas rectas${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\Psi _{M}({\mathcal {R}}_{\theta })}$

• conjunto de puntos del exterior del conjunto de Mandelbrot con el mismo ángulo externo ${\displaystyle \theta }$^{[ 22 ]}

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\{c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M:\arg(\Phi _{M}(c))=\theta \}}$

Douady y Hubbard definen:

${\displaystyle \Phi _{M}(c)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \Phi _{c}(z=c)\,}$

por lo tanto ángulo externo del punto${\displaystyle c\,}$del plano de parámetros es igual al ángulo externo del punto${\displaystyle z=c\,}$del plano dinámico

• argumento de la coordenada de Böttcher como argumento externo ^{[ 24 ]}
  • ${\displaystyle \arg _{M}(c)=\arg(\Phi _{M}(c))}$
  • ${\displaystyle \arg _{c}(z)=\arg(\Phi _{c}(z))}$
• secuencia de amasado como una expansión binaria del argumento externo ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}