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f ( R ) gravedad

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En física , f ( R ) es un tipo de teoría de gravedad modificada que generaliza la relatividad general de Einstein . La gravedad f ( R ) es en realidad una familia de teorías, cada una definida por una función diferente, f , del escalar de Ricci , R. El caso más simple es simplemente que la función sea igual al escalar; esta es la relatividad general. Como consecuencia de introducir una función arbitraria, puede haber libertad para explicar la expansión acelerada y la formación de estructuras del Universo sin agregar formas desconocidas de energía oscura o materia oscura . Algunas formas funcionales pueden estar inspiradas en correcciones que surgen de una teoría cuántica de la gravedad . La gravedad f ( R ) fue propuesta por primera vez en 1970 por Hans Adolph Buchdahl [ 1 ] (aunque se usó ϕ en lugar de f para el nombre de la función arbitraria). Se ha convertido en un campo de investigación activo después del trabajo de Alexei Starobinsky sobre la inflación cósmica . [ 2 ] Una amplia gama de fenómenos puede producirse a partir de esta teoría al adoptar diferentes funciones; Sin embargo, muchas formas funcionales ahora pueden descartarse basándose en observaciones o debido a problemas teóricos patológicos.

Introducción

En la gravedad f ( R ), se busca generalizar el lagrangiano de la acción de Einstein-Hilbert : S[gramo]=∫12κR−gramod4incógnita{\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x} a S[gramo]=∫12κF(R)−gramod4incógnita{\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x} dóndeκ=8πGRAMOdo4,gramo=detgramoμν{\displaystyle \kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }}es el determinante del tensor métrico , y f ( R ) es alguna función del escalar de Ricci . [ 3 ]

Hay dos maneras de rastrear el efecto de cambiar R a f ( R ), es decir, de obtener las ecuaciones de campo de la teoría . La primera es usar el formalismo métrico y la segunda es usar el formalismo de Palatini . [ 3 ] Si bien los dos formalismos conducen a las mismas ecuaciones de campo para la Relatividad General, es decir, cuando f ( R ) = R , las ecuaciones de campo pueden diferir cuando f ( R ) ≠ R .

Gravedad métrica f ( R )

Derivación de ecuaciones de campo

En la gravedad métrica f ( R ), se llega a las ecuaciones de campo variando la acción con respecto a la métrica y sin tratar la conexiónΓαβμ{\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }}De forma independiente. Para mayor claridad, mencionaremos brevemente los pasos básicos de la variación de la acción. Los pasos principales son los mismos que en el caso de la variación de la acción de Einstein-Hilbert (véase el artículo para más detalles), pero también existen algunas diferencias importantes.

La variación del determinante es, como siempre: δ−gramo=−12−gramogramoμνδgramoμν{\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }}

El escalar de Ricci se define como R=gramoμνRμν.{\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.}

Por lo tanto, su variación con respecto a la métrica inversagramoμν{\displaystyle g^{\mu \nu }}es dado por δR=Rμνδgramoμν+gramoμνδRμν=Rμνδgramoμν+gramoμν(∇ρδΓνμρ−∇νδΓρμρ){\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}}

Para el segundo paso, consulte el artículo sobre la acción de Einstein-Hilbert . Dado queδΓμνλ{\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}es la diferencia de dos conexiones, debe transformarse como un tensor. Por lo tanto, se puede escribir como δΓμνλ=12gramoλa(∇μδgramoaν+∇νδgramoaμ−∇aδgramoμν).{\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).}

Sustituyendo en la ecuación anterior: δR=Rμνδgramoμν+gramoμν◻δgramoμν−∇μ∇νδgramoμν{\displaystyle \delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }} dónde∇μ{\displaystyle \nabla _{\mu }}es la derivada covariante y◻=gramoμν∇μ∇ν{\displaystyle \square =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }}es el operador d'Alembert .

DenotandoF(R)=dFdR{\displaystyle F(R)={\frac {df}{dR}}}, la variación en la acción dice: δS[gramo]=∫12κ(δF(R)−gramo+F(R)δ−gramo)d4incógnita=∫12κ(F(R)δR−gramo−12−gramogramoμνδgramoμνF(R))d4incógnita=∫12κ−gramo(F(R)(Rμνδgramoμν+gramoμν◻δgramoμν−∇μ∇νδgramoμν)−12gramoμνδgramoμνF(R))d4incógnita{\displaystyle {\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{alineado}}}

Al realizar la integración por partes en el segundo y tercer término (y despreciando las contribuciones de frontera), obtenemos: δS[gramo]=∫12κ−gramoδgramoμν(F(R)Rμν−12gramoμνF(R)+[gramoμν◻−∇μ∇ν]F(R))d4incógnita.{\displaystyle \delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.}

Al exigir que la acción permanezca invariante bajo variaciones de la métrica,δSδgramoμν=0{\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0}, se obtienen las ecuaciones de campo: F(R)Rμν−12gramoμνF(R)+[gramoμν◻−∇μ∇ν]F(R)=κTμν,{\displaystyle F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },} dóndeTμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}es el tensor energía-momento definido como Tμν=−2−gramoδ(−gramoLmetro)δgramoμν,{\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},} dóndeLmetro{\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}¿Es la cuestión lagrangiana?

Ecuaciones generalizadas de Friedmann

Suponiendo una métrica de Robertson-Walker con factor de escalaa(t){\displaystyle a(t)}Podemos encontrar que las ecuaciones generalizadas de Friedmann son (en unidades dondeκ=1{\displaystyle \kappa =1}): 3FH2=ρmetro+ρrad+12(FR−F)−3HF˙{\displaystyle 3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}}−2FH˙=ρmetro+43ρrad+F¨−HF˙,{\displaystyle -2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},} dónde H=a˙a{\displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}}}es el parámetro de Hubble , el punto es la derivada con respecto al tiempo cósmico t , y los términos ρ m y ρ rad representan las densidades de materia y radiación respectivamente; estos satisfacen las ecuaciones de continuidad : ρ˙metro+3Hρmetro=0;{\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;}ρ˙rad+4Hρrad=0.{\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.}

Constante gravitacional modificada

Una característica interesante de estas teorías es el hecho de que la constante gravitacional depende del tiempo y de la escala. [ 4 ] Para ver esto, agregue una pequeña perturbación escalar a la métrica (en el calibre newtoniano ): ds2=−(1+2Φ)dt2+α2(1−2Ψ)δijdincógnitaidincógnitaj{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}} donde Φ y Ψ son los potenciales newtonianos y se utilizan las ecuaciones de campo hasta el primer orden. Tras algunos cálculos extensos, se puede definir una ecuación de Poisson en el espacio de Fourier y atribuir los términos adicionales que aparecen en el lado derecho a una constante gravitacional efectiva G eff . Al hacerlo, obtenemos el potencial gravitacional (válido en escalas subhorizonte k 2 ≫ a 2 H 2 ): Φ=−4πGRAMOmiFFa2k2δρmetro{\displaystyle \Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }} donde δ ρ m es una perturbación en la densidad de la materia, k es la escala de Fourier y G eff es: GRAMOmiFF=18πF1+4k2a2Rmetro1+3k2a2Rmetro,{\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},} con metro≡RF,RF.{\displaystyle m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.}

Ondas gravitacionales masivas

Esta clase de teorías, cuando se linealiza, exhibe tres modos de polarización para las ondas gravitacionales , de los cuales dos corresponden al gravitón sin masa (helicidades ±2) y el tercero (escalar) proviene del hecho de que si tomamos en cuenta una transformación conforme, la teoría de cuarto orden f ( R ) se convierte en relatividad general más un campo escalar . Para ver esto, identifique Φ→F′(R)ydVdΦ→2F(R)−RF′(R)3,{\displaystyle \Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},} y utilice las ecuaciones de campo anteriores para obtener ◻Φ=dVdΦ{\displaystyle \Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi }}}

Trabajando hasta el primer orden de la teoría de perturbaciones: gramoμν=ημν+hμν{\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}Φ=Φ0+δΦ{\displaystyle \Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi } y después de un álgebra tediosa, se puede resolver para la perturbación métrica, que corresponde a las ondas gravitacionales. Un componente de frecuencia particular, para una onda que se propaga en la dirección z , se puede escribir como hμν(t,z;ω)=A+(ω)exp⁡(−iω(t−z))miμν++A×(ω)exp⁡(−iω(t−z))miμν×+hF(vgramot−z;ω)ημν{\displaystyle h_{\mu \nu }(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }} dónde hF≡δΦΦ0,{\displaystyle h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi _{0}}},} y v g ( ω )  =  d ω /d k es la velocidad de grupo de un paquete de ondas h f centrado en el vector de onda k . Los dos primeros términos corresponden a las polarizaciones transversales usuales de la relatividad general, mientras que el tercero corresponde al nuevo modo de polarización masiva de las teorías f ( R ). Este modo es una mezcla de modo de respiración transversal sin masa (pero no sin traza) y modo escalar longitudinal masivo. [ 5 ] [ 6 ] Los modos transversales y sin traza (también conocidos como modos tensoriales) se propagan a la velocidad de la luz , pero el modo escalar masivo se mueve a una velocidad v G  <  1 (en unidades donde c  =  1), este modo es dispersivo. Sin embargo, en el formalismo métrico de gravedad f ( R ), para el modeloF(R)=αR2{\displaystyle f(R)=\alpha R^{2}}(también conocido como puro)R2{\displaystyle R^{2}}modelo), el tercer modo de polarización es un modo de respiración puro y se propaga a la velocidad de la luz a través del espaciotiempo. [ 7 ]

Formalismo equivalente

Bajo ciertas condiciones adicionales [ 8 ] podemos simplificar el análisis de las teorías f ( R ) introduciendo un campo auxiliar Φ . SuponiendoF″(R)≠0{\displaystyle f''(R)\neq 0}para todo R , sea V ( Φ ) la transformación de Legendre de f ( R ) de modo queΦ=F′(R){\displaystyle \Phi =f'(R)}yR=V′(Φ){\displaystyle R=V'(\Phi )}. Entonces, se obtiene la acción de O'Hanlon (1972): S=∫d4incógnita−gramo[12κ(ΦR−V(Φ))+Lmetro].{\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa }}\left(\Phi R-V(\Phi )\right)+{\mathcal {L}}_{\text{m}}\right].}

Tenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange : V′(Φ)=R{\displaystyle V'(\Phi )=R}Φ(Rμν−12gramoμνR)+(gramoμν◻−∇μ∇ν)Φ+12gramoμνV(Φ)=κTμν{\displaystyle \Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }}

Al eliminar Φ , obtenemos exactamente las mismas ecuaciones que antes. Sin embargo, las ecuaciones son de segundo orden en las derivadas, en lugar de cuarto orden.

Actualmente estamos trabajando con el marco de Jordan . Al realizar un reescalado conforme: gramo~μν=Φgramoμν,{\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi g_{\mu \nu },} nos transformamos al marco de Einstein : R=Φ[R~+3◻~ΦΦ−92(∇~ΦΦ)2]{\displaystyle R=\Phi \left[{\tilde {R}}+{\frac {3{\tilde {\Box }}\Phi }{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]}S=∫d4incógnita−gramo~12κ[R~−32(∇~ΦΦ)2−V(Φ)Φ2]{\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi )}{\Phi ^{2}}}\right]} después de integrar por partes.

DefiniciónΦ~=3ln⁡Φ{\displaystyle {\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }}y sustituyendo S=∫d4incógnita−gramo~12κ[R~−12(∇~Φ~)2−V~(Φ~)]{\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {\Phi }}\right)^{2}-{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})\right]}V~(Φ~)=mi−23Φ~V(miΦ~/3).{\displaystyle {\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).}

Se trata de la relatividad general acoplada a un campo escalar real: usar teorías f ( R ) para describir el universo en expansión acelerada es prácticamente equivalente a usar la quintaesencia . (Al menos, equivalente con la salvedad de que aún no hemos especificado los acoplamientos de la materia, por lo que (por ejemplo) la gravedad f ( R ) en la que la materia está mínimamente acoplada a la métrica (es decir, en el marco de Jordan) es equivalente a una teoría de la quintaesencia en la que el campo escalar media una quinta fuerza con intensidad gravitacional).

Palatini f ( R ) gravedad

En la gravedad de Palatini f ( R ), se tratan la métrica y la conexión de forma independiente y se varía la acción con respecto a cada una de ellas por separado. Se supone que el lagrangiano de la materia es independiente de la conexión. Se ha demostrado que estas teorías son equivalentes a la teoría de Brans-Dicke con ω = − 3 ⁄ 2 . [ 9 ] [ 10 ] Sin embargo, debido a la estructura de la teoría, las teorías de Palatini f ( R ) parecen estar en conflicto con el Modelo Estándar, [ 9 ] [ 11 ] pueden violar los experimentos del Sistema Solar, [ 10 ] y parecen crear singularidades no deseadas. [ 12 ]

Gravedad métrica-afín f ( R )

En la gravedad f ( R ) métrica-afín , se generalizan aún más las cosas, tratando tanto la métrica como la conexión de forma independiente, y asumiendo que el lagrangiano de la materia también depende de la conexión.

Pruebas de observación

Dado que existen muchas formas potenciales de la gravedad f ( R ), resulta difícil encontrar pruebas genéricas. Además, como en algunos casos las desviaciones de la Relatividad General pueden ser arbitrariamente pequeñas, es imposible excluir de forma concluyente algunas modificaciones. Se pueden lograr algunos avances, sin asumir una forma concreta para la función f ( R ), mediante el desarrollo de Taylor.F(R)=a0+a1R+a2R2+⋯{\displaystyle f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots }

El primer término es como la constante cosmológica y debe ser pequeño. El siguiente coeficiente a 1 puede establecerse en uno como en la relatividad general. Para la gravedad métrica f ( R ) (a diferencia de la gravedad de Palatini o la gravedad métrica-afín f ( R )), el término cuadrático se restringe mejor mediante mediciones de la quinta fuerza , ya que conduce a una corrección de Yukawa al potencial gravitatorio. Los mejores límites actuales son | a 2 | <4 × 10 −9  m 2 o equivalentemente | a 2 | <2,3 × 10 22  GeV −2 . [ 13 ] [ 14 ]

El formalismo postnewtoniano parametrizado está diseñado para poder restringir teorías genéricas modificadas de la gravedad. Sin embargo, la gravedad f ( R ) comparte muchos de los mismos valores que la Relatividad General y, por lo tanto, es indistinguible mediante estas pruebas. [ 15 ] En particular, la desviación de la luz no cambia, por lo que la gravedad f ( R ), al igual que la Relatividad General, es totalmente consistente con los límites del seguimiento de Cassini . [ 13 ]

gravedad de Starobinsky

La gravedad de Starobinsky tiene la siguiente forma: F(R)=R+R26METRO2{\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}} dóndeMETRO{\displaystyle M}tiene las dimensiones de masa. [ 16 ]

La gravedad de Starobinsky proporciona un mecanismo para la inflación cósmica , justo después del Big Bang , cuando R todavía era grande. Sin embargo, no es adecuada para describir la aceleración del universo actual , ya que en la actualidad R es muy pequeño. [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] Esto implica que el término cuadrático enF(R)=R+R26METRO2{\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}es insignificante, es decir, se tiende a f ( R ) = R , que es la relatividad general con una constante cosmológica cero .

Gravedad de Gogoi-Goswami

La gravedad Gogoi-Goswami (llamada así en honor a Dhruba Jyoti Gogoi y Umananda Dev Goswami) tiene la siguiente forma: F(R)=R−απRdocuna−1⁡(Rdo2R2)−βRdo[1−exp⁡(−RRdo)]{\displaystyle f(R)=R-{\frac {\alpha }{\pi }}R_{c}\cot ^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]} dóndeα{\displaystyle \alpha }yβ{\displaystyle \beta }son dos constantes positivas adimensionales y R c es una constante de curvatura característica. [ 20 ]

Generalización tensorial

La gravedad f ( R ) tal como se presentó en las secciones anteriores es una modificación escalar de la relatividad general. De manera más general, podemos tener una ∫dDincógnita−gramoF(R,RμνRμν,RμνρσRμνρσ){\displaystyle \int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })} Acoplamiento que involucra invariantes del tensor de Ricci y del tensor de Weyl . Casos especiales son la gravedad f ( R ), la gravedad conforme , la gravedad de Gauss-Bonnet y la gravedad de Lovelock . Nótese que, con cualquier dependencia tensorial no trivial, normalmente tenemos grados de libertad masivos de espín 2 adicionales, además del gravitón sin masa y un escalar masivo. Una excepción es la gravedad de Gauss-Bonnet, donde los términos de cuarto orden para las componentes de espín 2 se cancelan.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Buchdahl, HA (1970). "Lagrangianos no lineales y teoría cosmológica" . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 150 : 1–8 . Bibcode : 1970MNRAS.150....1B . doi : 10.1093/mnras/150.1.1 .
  2. ↑ Starobinsky, AA (1980). "Un nuevo tipo de modelos cosmológicos isotrópicos sin singularidad". Physics Letters B . 91 (1): 99– 102. Bibcode : 1980PhLB...91...99S . doi : 10.1016/0370-2693(80)90670-X .
  3. 1 2 L. Amendola y S. Tsujikawa (2013) "Energía oscura, teoría y observaciones" Cambridge University Press
  4. ↑ Tsujikawa, Shinji (2007). "Perturbaciones de la densidad de materia y constante gravitacional efectiva en modelos de gravedad modificada de energía oscura". Physical Review D . 76 (2) 023514. arXiv : 0705.1032 . Bibcode : 2007PhRvD..76b3514T . doi : 10.1103/PhysRevD.76.023514 . S2CID 119324187 . 
  5. ↑ Liang, Dicong; Gong, Yungui; Hou, Shaoqi; Liu, Yunqi (2017). "Polarizaciones de ondas gravitacionales en gravedad f ( R )". Phys. Rev. D . 95 (10) 104034. arXiv : 1701.05998 . Bibcode : 2017PhRvD..95j4034L . doi : 10.1103/PhysRevD.95.104034 . S2CID 119005163 . 
  6. ↑ Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2020). "Un nuevo modelo de gravedad f(R) y propiedades de las ondas gravitacionales en él" . The European Physical Journal C. 80 ( 12): 1101. arXiv : 2006.04011 . Bibcode : 2020EPJC...80.1101G . doi : 10.1140/epjc/s10052-020-08684-3 . S2CID 219530929 . 
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  20. ↑ Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2020). "Un nuevo modelo de gravedad f(R) y propiedades de las ondas gravitacionales en él" . The European Physical Journal C. 80 ( 12): 1101. arXiv : 2006.04011 . Bibcode : 2020EPJC...80.1101G . doi : 10.1140/epjc/s10052-020-08684-3 . S2CID 219530929 . 

Lecturas adicionales

  • Véase el capítulo 29 del libro de texto "Partículas y campos cuánticos" de Kleinert, H. (2016), World Scientific (Singapur, 2016) (también disponible en línea ).
  • Sotiriou, TP; Faraoni, V. (2010). "Teorías f(R) de la gravedad". Reviews of Modern Physics . 82 (1): 451– 497. arXiv : 0805.1726 . Bibcode : 2010RvMP...82..451S . doi : 10.1103/RevModPhys.82.451 . S2CID 15024691 . 
  • Sotiriou, TP (2009). "6+1 lecciones de la gravedad f(R)". Journal of Physics: Conference Series . 189 (9) 012039. arXiv : 0810.5594 . Bibcode : 2009JPhCS.189a2039S . doi : 10.1088/1742-6596/189/1/012039 . S2CID 14820388 . 
  • Capozziello, S.; De Laurentis, M. (2011). "Teorías extendidas de la gravedad". Physics Reports . 509 ( 4– 5): 167– 321. arXiv : 1108.6266 . Bibcode : 2011PhR...509..167C . doi : 10.1016/j.physrep.2011.09.003 . S2CID 119296243 . 
  • Salvatore Capozziello y Mariafelicia De Laurentis, (2015) " Teorías F ( R ) de la gravitación". Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31422
  • Kalvakota, Vaibhav R., (2021) "Investigando f ( R )" gravedad y cosmologías". Archivo de preimpresiones de física matemática, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf
  • f ( R ) gravedad en arxiv.org
  • Teorías extendidas de la gravedad