F 4 (matemáticas)

En matemáticas , F₄ es un grupo de Lie _y también su álgebra de Lie f₄ . Es uno de los cinco grupos de Lie simples _{excepcionales} . F₄ _tiene rango 4 y dimensión 52. Su forma compacta es simplemente conexa y su grupo de automorfismos externos es el grupo trivial . Su representación fundamental es de dimensión 26.

La forma real compacta de F ₄ es el grupo de isometrías de una variedad riemanniana de 16 dimensiones conocida como el plano proyectivo octoniónico OP ² . Esto se puede ver sistemáticamente utilizando una construcción conocida como el cuadrado mágico , debido a Hans Freudenthal y Jacques Tits .

Hay 3 formas reales : una compacta, una escindida y una tercera. Son los grupos de isometría de las tres álgebras de Albert reales .

El álgebra de Lie F ₄ puede construirse agregando 16 generadores que se transforman como un espinor al álgebra de Lie de 36 dimensiones so (9), en analogía con la construcción de E ₈ .

En libros y documentos más antiguos, F ₄ a veces se denota por E ₄ .

Álgebra

Diagrama de Dynkin

El diagrama de Dynkin para F ₄ es: .

Grupo Weyl/Coxeter

Su grupo de Weyl / Coxeter G = W (F ₄ ) es el grupo de simetría de la 24-celda : es un grupo resoluble de orden 1152. Tiene un grado fiel mínimo μ ( G ) = 24 , ^{[ 1 ]} que se realiza mediante la acción sobre la 24-celda . El grupo tiene ID (1152,157478) en la biblioteca de grupos pequeños .

Matriz de Cartan

\left[{\begin{array}{rrrr}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{array}}\right]

Red F ₄

La red _{F₄ es una red}cúbica centrada en el cuerpo de cuatro dimensiones (es decir, la unión de dos redes hipercúbicas , cada una ubicada en el centro de la otra). Estas forman un anillo llamado anillo de cuaterniones de Hurwitz . Los 24 cuaterniones de Hurwitz de norma 1 forman los vértices de una celda de 24 vértices centrada en el origen.

Raíces de F ₄

Los 48 vectores raíz de F ₄ se pueden encontrar como los vértices de la celda de 24 en dos configuraciones duales, que representan los vértices de una celda disfenoidal de 288 si las longitudes de las aristas de las celdas de 24 son iguales:

vértices de 24 celdas:

24 raíces por (±1, ±1, 0, 0), permutando posiciones de coordenadas

Vértices duales de 24 celdas:

8 raíces por (±1, 0, 0, 0), permutando posiciones de coordenadas
16 raíces por (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2).

Raíces simples

Una opción de raíces simples para F ₄ , , viene dada por las filas de la siguiente matriz:

{\begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

El diagrama de Hasse para el conjunto parcialmente ordenado de raíces F ₄ se muestra abajo a la derecha.

Diagrama de Hasse del poset raíz F ₄ con etiquetas de aristas que identifican la posición de la raíz simple añadida.

Invariante polinomial F ₄

Así como O( n ) es el grupo de automorfismos que mantienen invariantes los polinomios cuadráticos x² ⁺y² ⁺ ... , _F⁴ es el grupo de automorfismos del siguiente conjunto de 3 polinomios en 27 variables. (El primero se puede sustituir fácilmente en los otros dos, lo que da como resultado 26 variables).

C_{1}=x+y+z

C_{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2X{\overline {X}}+2Y{\overline {Y}}+2Z{\overline {Z}}

C_{3}=xyz-xX{\overline {X}}-yY{\overline {Y}}-zZ{\overline {Z}}+XYZ+{\overline {XYZ}}

Donde x , y , z son valores reales y X , Y , Z son valores octoniónicos. Otra forma de escribir estos invariantes es como (combinaciones de) Tr( ^M) , Tr( M2 ) y Tr( M3 ⁾ de la matriz octoniónica hermitiana :

M={\begin{bmatrix}x&{\overline {Z}}&Y\\Z&y&{\overline {X}}\\{\overline {Y}}&X&z\end{bmatrix}}

El conjunto de polinomios define una superficie compacta de 24 dimensiones (la hipersuperficie isoparamétrica de 24 dimensiones en la esfera unitaria). $C_{2}=1$ con tres curvaturas principales distintas, E. Cartan, 1939).

Representaciones

Los caracteres de las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie reales y complejas y los grupos de Lie vienen dados por la fórmula de caracteres de Weyl . Las dimensiones de las representaciones irreducibles más pequeñas de F ₄ son (secuencia A121738 en la OEIS ) :

1, 26, 52, 273, 324, 1053 (dos veces), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (dos veces), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912...

La representación de 52 dimensiones es la representación adjunta , y la de 26 dimensiones es la parte sin traza de la acción de F ₄ sobre el álgebra de Albert excepcional de dimensión 27.

Hay dos representaciones irreducibles no isomorfas en dimensiones 1053, 160056, 4313088, etc. Las representaciones fundamentales son aquellas con dimensiones 52, 1274, 273, 26 (que corresponden a los cuatro nodos en el diagrama de Dynkin en el orden tal que la flecha doble apunta del segundo al tercero).

A continuación se muestran las incrustaciones de los subgrupos máximos de F ₄ hasta la dimensión 273 con su matriz de proyección asociada.

Véase también

Referencias

↑ Saunders, Neil (2014). "Grados mínimos de permutación fiel para grupos de Coxeter irreducibles y grupos poliédricos binarios". arXiv : 0812.0182 [ math.GR ].

Adams, J. Frank (1996). Lecciones sobre grupos de Lie excepcionales . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press . ISBN 978-0-226-00526-3. MR 1428422 .
John Baez , Los Octoniones , Sección 4.2: F ₄ , Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205 . Versión HTML en línea en http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html .
Chevalley C, Schafer RD (febrero de 1950). "Las excepcionales álgebras de Lie simples F(4) y E(6)" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 36 (2): 137– 41. Bibcode : 1950PNAS...36..137C . doi : 10.1073 / pnas.36.2.137 . PMC 1063148. PMID 16588959 .
Jacobson, Nathan (1 de junio de 1971). Álgebras de Lie excepcionales (1.ª ed.). CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.

[1] Saunders, Neil (2014). "Grados mínimos de permutación fiel para grupos de Coxeter irreducibles y grupos poliédricos binarios". arXiv : 0812.0182 [ math.GR ].

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