Sistema de clasificación Elo

La USCF implementó las sugerencias de Elo en 1960, ^{[ 9 ]} y el sistema rápidamente ganó reconocimiento por ser más justo y preciso que el sistema de clasificación Harkness . El sistema de Elo fue adoptado por la Federación Internacional de Ajedrez (FIDE) en 1970. ^{[ 10 ]} Elo describió su trabajo en detalle en The Rating of Chessplayers, Past and Present , publicado por primera vez en 1978. ^{[ 11 ]}

Pruebas estadísticas posteriores han sugerido que el rendimiento en ajedrez casi con certeza no se distribuye como una distribución normal , ya que los jugadores más débiles tienen mayores probabilidades de ganar de lo que predice el modelo Elo. ^{[ 12 ] [ 13 ]} En datos de comparación por pares, a menudo hay muy poca diferencia práctica entre asumir que las diferencias en la fuerza de los jugadores se distribuyen de forma normal o logística . Sin embargo, matemáticamente, la función logística es más conveniente para trabajar que la distribución normal. ^{[ 14 ]} La FIDE continúa utilizando la tabla de diferencia de rating propuesta por Elo. ^{[ 15 ] : tabla 8.1b}

El desarrollo de la Tabla de Expectativa Porcentual (tabla 2.11) es descrito con más detalle por Elo de la siguiente manera: ^{[ 16 ]}

Las probabilidades normales pueden tomarse directamente de las tablas estándar de las áreas bajo la curva normal cuando la diferencia en la calificación se expresa como una puntuación z . Dado que la desviación estándar σ de los desempeños individuales se define como 200 puntos, la desviación estándar σ' de las diferencias en los desempeños se convierte en${\displaystyle \sigma {\sqrt {2}}}$o 282,84. El valor z de una diferencia es entonces D / 282,84 . Esto dividirá el área bajo la curva en dos partes: la mayor dará P para el jugador mejor clasificado y la menor dará P para el jugador peor clasificado.

Por ejemplo, sea D = 160. Entonces z = 160 / 282,84 = 0,566 . La tabla proporciona 0,7143 y 0,2857 como las áreas de las dos porciones bajo la curva. Estas probabilidades se redondean a dos cifras en la tabla 2.11.

La tabla en realidad se construye con una desviación estándar de 200 × 10/7 ≈ 285,71 como aproximación para${\displaystyle 200\times {\sqrt {2}}\approx 282.84}$[ ^{17 ] Las distribuciones normal y logística son, en cierto modo ,} puntos arbitrarios en un espectro de distribuciones que funcionarían bien. En la práctica, ambas distribuciones funcionan muy bien para varios juegos diferentes. ^{[ 18 ]}

Para los mejores jugadores, la clasificación más importante es su clasificación FIDE . La FIDE ha publicado las siguientes listas:

• Entre 1971 y 1980 se publicó una lista al año.
• Desde 1981 hasta 2000, se publicaron dos listas al año, en enero y julio.
• Desde julio de 2000 hasta julio de 2009, se publicaron cuatro listas al año, a principios de enero, abril, julio y octubre.
• Desde julio de 2009 hasta julio de 2012, se publicaron seis listas al año, a principios de enero, marzo, mayo, julio, septiembre y noviembre.
• Desde julio de 2012, la lista se actualiza mensualmente.

El siguiente análisis de la lista de clasificación FIDE de julio de 2015 ofrece una idea aproximada de lo que significa una determinada clasificación FIDE en términos de ranking mundial:

• Un total de 5.323 jugadores tenían una calificación activa comprendida entre 2200 y 2299, rango que suele asociarse con el título de Candidato a Maestro .
• 2.869 jugadores tenían una puntuación Elo activa en el rango de 2300 a 2399, que suele estar asociada con el título de Maestro FIDE .
• 1.420 jugadores tenían una puntuación activa entre 2400 y 2499, la mayoría de los cuales ostentaban el título de Maestro Internacional o Gran Maestro Internacional .
• Un total de 542 jugadores tenían una puntuación activa entre 2500 y 2599, la mayoría de los cuales ostentaban el título de Gran Maestro Internacional .
• 187 jugadores tenían una puntuación activa entre 2600 y 2699, todos ellos con el título de Gran Maestro Internacional .
• 40 jugadores tenían una calificación activa entre 2700 y 2799.
• Cuatro jugadores tenían una calificación activa superior a 2800. ( Magnus Carlsen tenía una calificación de 2853, y tres jugadores tenían una calificación entre 2814 y 2816).

La puntuación Elo clásica más alta jamás alcanzada por la FIDE fue de 2882, que Carlsen logró en dos ocasiones, en mayo de 2014 y en agosto de 2019.

La FIDE actualiza su lista de clasificaciones al comienzo de cada mes. En cambio, las clasificaciones en vivo no oficiales calculan el cambio en la clasificación de los jugadores después de cada partida. Estas clasificaciones en vivo se basan en las clasificaciones de la FIDE publicadas previamente, por lo que la clasificación en vivo de un jugador pretende corresponder a la que tendría la FIDE si publicara una nueva lista ese día. Aunque las clasificaciones en vivo no son oficiales, despertaron interés en agosto/septiembre de 2008 cuando cinco jugadores diferentes alcanzaron el puesto número 1 en la clasificación en vivo. ^{[ 20 ]}

Las clasificaciones en vivo no oficiales de jugadores con más de 2700 puntos Elo fueron publicadas y mantenidas por Hans Arild Runde en el sitio web Live Rating hasta agosto de 2011. Otro sitio web, 2700chess.com , ha sido mantenido desde mayo de 2011 por Artiom Tsepotan , que cubre a los 100 mejores jugadores, así como a las 50 mejores jugadoras. Los cambios de clasificación se pueden calcular manualmente utilizando la calculadora de cambios de clasificación de la FIDE. ^{[ 21 ]} Todos los mejores jugadores tienen un factor K de 10, lo que significa que el cambio máximo de clasificación en una sola partida es un poco menos de 10 puntos.

La Federación de Ajedrez de los Estados Unidos (USCF) utiliza su propia clasificación de jugadores: ^{[ 22 ]}

• 2400 y superior: Maestro Superior
• 2200–2399: Maestro Nacional
  • 2200–2399 más 300 juegos por encima de 2200: Maestro de Vida Original ^{[ 23 ]}
• 2000–2199: Experto o Candidato a Maestro
• 1800–1999: Clase A
• 1600–1799: Clase B
• 1400–1599: Clase C
• 1200–1399: Clase D
• 1000–1199: Clase E
• 800–999: Clase F
• 600–799: Clase G
• 400–599: Clase H
• 200–399: Clase I
• 100–199: Clase J

El rendimiento no se mide de forma absoluta; se infiere a partir de las victorias, derrotas y empates contra otros jugadores. La puntuación de los jugadores depende de la de sus oponentes y de los resultados obtenidos contra ellos. La diferencia de puntuación entre dos jugadores determina una estimación del resultado esperado entre ellos. Tanto el promedio como la dispersión de las puntuaciones pueden elegirse arbitrariamente. La USCF inicialmente pretendía que un jugador de club promedio tuviera una puntuación de 1500, y Elo sugirió escalar las puntuaciones de manera que una diferencia de 200 puntos de puntuación en ajedrez significara que el jugador más fuerte tendría un resultado esperado de aproximadamente 0,75.

La puntuación esperada de un jugador es su probabilidad de ganar más la mitad de su probabilidad de empatar. Así, una puntuación esperada de 0,75 podría representar un 75 % de probabilidad de ganar, un 25 % de probabilidad de perder y un 0 % de probabilidad de empatar. En el otro extremo, podría representar un 50 % de probabilidad de ganar, un 0 % de probabilidad de perder y un 50 % de probabilidad de empatar. La probabilidad de empatar, a diferencia de tener un resultado decisivo, no se especifica en el sistema Elo. En cambio, un empate se considera media victoria y media derrota. En la práctica, dado que la verdadera fuerza de cada jugador es desconocida, las puntuaciones esperadas se calculan utilizando las calificaciones actuales del jugador de la siguiente manera.

Si el jugador A tiene una calificación de ${\displaystyle R_{A}}$y el jugador B una calificación de ${\displaystyle R_{B}}$, la fórmula exacta (utilizando la curva logística con base 10 y factor de escala 400) ^{[ 30 ]} para la puntuación esperada del jugador A es  $${\displaystyle E_{A}={\frac {1}{1+10^{(R_{B}-R_{A})/400}}}.}$$

De manera similar, la puntuación esperada para el jugador B es  $${\displaystyle E_{B}={\frac {1}{1+10^{(R_{A}-R_{B})/400}}}.}$$

Esto también podría expresarse mediante $${\displaystyle E_{A}={\frac {Q_{A}}{Q_{A}+Q_{B}}}}$$ y $${\displaystyle E_{B}={\frac {Q_{B}}{Q_{A}+Q_{B}}},}$$ dónde${\displaystyle Q_{A}=10^{R_{A}/400}}$y${\displaystyle Q_{B}=10^{R_{B}/400}.}$Nótese que en este último caso, el mismo denominador se aplica a ambas expresiones, y es evidente que${\displaystyle E_{A}+E_{B}=1.}$Esto significa que, estudiando solo los numeradores, descubrimos que la puntuación esperada para el jugador A es ${\displaystyle Q_{A}/Q_{B}}$veces la puntuación esperada para el jugador B. Podemos lograr esto algebraicamente restando 1 del recíproco de ${\displaystyle E_{B}}$antes de multiplicar${\displaystyle E_{B}}$De ello se deduce que por cada 400 puntos de ventaja en la clasificación sobre el oponente, la puntuación esperada se multiplica por diez en comparación con la puntuación esperada del oponente.

Cuando las puntuaciones reales de un jugador en un torneo superan sus puntuaciones esperadas, el sistema Elo lo interpreta como evidencia de que su clasificación es demasiado baja y necesita ajustarse al alza. De manera similar, cuando las puntuaciones reales de un jugador en un torneo son inferiores a sus puntuaciones esperadas, su clasificación se ajusta a la baja. La sugerencia original de Elo, que todavía se usa ampliamente, era un ajuste lineal simple proporcional a la cantidad en que un jugador superaba o no alcanzaba su puntuación esperada. El ajuste máximo posible por partida, llamado factor K, se estableció en${\displaystyle K=16}$para másteres y${\displaystyle K=32}$para jugadores más débiles.

Supongamos que el jugador A (de nuevo con calificación) ${\displaystyle R_{A}}$) se esperaba que anotara${\displaystyle E_{A}}$puntos pero en realidad anotó${\displaystyle S_{A}}$puntos. La fórmula para actualizar la calificación de ese jugador es ^{[ 1 ]}$${\displaystyle R_{A}'=R_{A}+K\cdot (S_{A}-E_{A}).}$$

Esta actualización puede realizarse después de cada partida o torneo, o después de cualquier período de clasificación adecuado. Un ejemplo puede ayudar a aclararlo:

Supongamos que el jugador A tiene una puntuación de 1613 y juega en un torneo de cinco rondas. Pierde contra un jugador con una puntuación de 1609, empata con un jugador con una puntuación de 1477, derrota a un jugador con una puntuación de 1388, derrota a un jugador con una puntuación de 1586 y pierde contra un jugador con una puntuación de 1720. La puntuación real del jugador es (0 + 0.5 + 1 + 1 + 0) = 2.5 . La puntuación esperada, calculada según la fórmula anterior, fue (0.51 + 0.69 + 0.79 + 0.54 + 0.35) = 2.88 . 

Por lo tanto, la nueva calificación del jugador es [1613 + 32 × (2.5 − 2.88)] = 1601 , suponiendo que se utiliza un factor K de 32. De manera equivalente, en cada partida se puede decir que el jugador ha puesto una apuesta inicial de K veces su puntuación esperada para la partida en un bote, el jugador contrario hace lo mismo, y el ganador se lleva el bote completo de valor K ; en caso de empate, los jugadores se reparten el bote y reciben${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K}$puntos cada uno.

Nótese que, si bien dos victorias, dos derrotas y un empate pueden parecer una puntuación normal, es peor de lo esperado para el jugador A porque sus oponentes tenían una calificación promedio más baja. Por lo tanto, el jugador A se ve ligeramente penalizado. Si el jugador A hubiera obtenido dos victorias, una derrota y dos empates, para una puntuación total de tres puntos, eso habría sido ligeramente mejor de lo esperado, y la nueva calificación del jugador habría sido [1613 + 32 × (3 − 2.88)] = 1617 .   

Este procedimiento de actualización es fundamental para las clasificaciones utilizadas por la FIDE , la USCF , Yahoo! Games , el Internet Chess Club (ICC) y el Free Internet Chess Server (FICS). Sin embargo, cada organización ha adoptado un enfoque diferente para abordar la incertidumbre inherente a las clasificaciones, en particular las de los nuevos jugadores, y para lidiar con el problema de la inflación/deflación de las clasificaciones. A los nuevos jugadores se les asignan clasificaciones provisionales, que se ajustan de forma más drástica que las clasificaciones establecidas. Los principios utilizados en estos sistemas de clasificación pueden aplicarse a otras competiciones, como partidos internacionales de fútbol . Las clasificaciones Elo también se han aplicado a partidas sin posibilidad de tablas y a partidas en las que el resultado puede tener una cantidad (margen pequeño/grande) además de la calidad (victoria/derrota). Consulte Clasificación de Go con Elo para obtener más información.

Las expresiones anteriores ahora se pueden derivar formalmente explotando el vínculo entre la clasificación Elo y la actualización del gradiente estocástico en la regresión logística. ^{[ 37 ] [ 38 ]} Si asumimos que los resultados del juego son binarios , es decir, solo se puede observar una victoria o una derrota, el problema se puede abordar mediante regresión logística , donde los resultados de los juegos son variables dependientes , las clasificaciones de los jugadores son variables independientes , y el modelo que relaciona ambas es probabilístico: la probabilidad del jugador${\displaystyle {\mathsf {A}}}$ganar el juego se modela como

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {A}}~{\textrm {gana}}\}=\sigma (r_{\mathsf {A,B}}),\quad \sigma (r)={\frac {1}{1+10^{-r/s}}},}$

dónde

${\displaystyle r_{\mathsf {A,B}}=(R_{\mathsf {A}}-R_{\mathsf {B}})}$

denota la diferencia de las calificaciones de los jugadores, y utilizamos un factor de escala${\displaystyle s=400}$y, por ley de probabilidad total

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {B}}~{\textrm {gana}}\}=1-\sigma (r_{\mathsf {A,B}})=\sigma (-r_{\mathsf {A,B}}).}$

La pérdida logarítmica se calcula entonces como

${\displaystyle \ell ={\begin{cases}-\log \sigma (r_{\mathsf {A,B}})&{\textrm {si}}~{\mathsf {A}}~{\textrm {gana}},\\-\log \sigma (-r_{\mathsf {A,B}})&{\textrm {si}}~{\mathsf {B}}~{\textrm {gana}},\end{cases}}}$

y, utilizando el descenso de gradiente estocástico, la pérdida logarítmica se minimiza de la siguiente manera:

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}\leftarrow R_{\mathsf {A}}-\eta {\frac {{\textrm {d}}\ell }{{\textrm {d}}R_{\mathsf {A}}}}}$,

${\displaystyle R_{\mathsf {B}}\leftarrow R_{\mathsf {B}}-\eta {\frac {{\textrm {d}}\ell }{{\textrm {d}}R_{\mathsf {B}}}}}$.

dónde${\displaystyle \eta }$es el paso de adaptación.

Desde ${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}r}}\log \sigma (r)={\frac {\log 10}{s}}\sigma (-r)}$, ${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}r_{\mathsf {A,B}}}{{\textrm {d}}R_{\mathsf {A}}}}=1}$, y${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}r_{\mathsf {A,B}}}{{\textrm {d}}R_{\mathsf {B}}}}=-1}$La adaptación se escribe entonces de la siguiente manera:

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}\leftarrow {\begin{cases}R_{\mathsf {A}}+K\sigma (-r_{\mathsf {A,B}})&{\textrm {if}}~{\mathsf {A}}~{\textrm {wins}}\\R_{\mathsf {A}}-K\sigma (r_{\mathsf {A,B}})&{\textrm {if}}~{\mathsf {B}}~{\textrm {wins}},\end{cases}}}$

que puede escribirse de forma compacta como

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}\leftarrow R_{\mathsf {A}}+K(S_{\mathsf {A}}-E_{\mathsf {A}})}$

dónde${\displaystyle K=\eta \log 10/s}$es el nuevo paso de adaptación que absorbe${\displaystyle \eta }$y${\displaystyle s}$,${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=1}$si${\displaystyle {\mathsf {A}}}$victorias y${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=0}$si${\displaystyle {\mathsf {B}}}$victorias, y la puntuación esperada viene dada por${\displaystyle E_{\mathsf {A}}=\sigma (r_{\mathsf {A,B}})}$.

De forma análoga, la actualización de la calificación${\displaystyle R_{\mathsf {B}}}$es

${\displaystyle R_{\mathsf {B}}\leftarrow R_{\mathsf {B}}+K(S_{\mathsf {B}}-E_{\mathsf {B}})}$.

Desde el principio, la clasificación Elo también se ha utilizado en ajedrez, donde observamos victorias, derrotas o empates y, para tratar estos últimos, un valor de puntuación fraccionaria,${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=0.5}$Se introduce. Sin embargo, observamos que las puntuaciones ${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=1}$y${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=0}$son simplemente indicadores de los eventos cuando el jugador ${\displaystyle {\mathsf {A}}}$gana o pierde el juego. Por lo tanto, no está inmediatamente claro cuál es el significado de la puntuación fraccionaria. Además, dado que no especificamos explícitamente el modelo que relaciona los valores de calificación.${\displaystyle R_{\mathsf {A}}}$y${\displaystyle R_{\mathsf {B}}}$Con respecto a la probabilidad del resultado del juego, no podemos decir cuál es la probabilidad de ganar, perder o empatar. Para abordar estas dificultades y derivar la clasificación Elo en los juegos ternarios, definiremos el modelo probabilístico explícito de los resultados. A continuación, minimizaremos la pérdida logarítmica mediante gradiente estocástico. Dado que la pérdida, el empate y la victoria son variables ordinales , debemos adoptar el modelo que tenga en cuenta su naturaleza ordinal, y utilizamos el llamado modelo de categorías adyacentes que puede rastrearse hasta el trabajo de Davidson ^{[ 39 ].}

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {A}}~{\textrm {wins}}\}=\sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa ),}$

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {B}}~{\textrm {wins}}\}=\sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa ),}$

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {A}}~{\textrm {draws}}\}=\kappa {\sqrt {\sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )\sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa )}},}$

dónde

${\displaystyle \sigma (r;\kappa )={\frac {10^{r/s}}{10^{-r/s}+\kappa +10^{r/s}}}}$

y${\displaystyle \kappa \geq 0}$es un parámetro. La introducción de un parámetro libre no debería sorprender, ya que tenemos tres resultados posibles y, por lo tanto, debería aparecer un grado de libertad adicional en el modelo. En particular, con${\displaystyle \kappa =0}$recuperamos el modelo subyacente a la regresión logística

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {A}}~{\textrm {wins}}\}=\sigma (r_{\mathsf {A,B}};0)={\frac {10^{r_{\mathsf {A,B}}/s}}{10^{-r_{\mathsf {A,B}}/s}+10^{r_{\mathsf {A,B}}/s}}}={\frac {1}{1+10^{-r_{\mathsf {A,B}}/s'}}},}$

dónde${\displaystyle s'=s/2}$.

Utilizando el modelo ordinal definido anteriormente, la pérdida logarítmica ahora se calcula como

${\displaystyle \ell ={\begin{cases}-\log \sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )&{\textrm {if}}~{\mathsf {A}}~{\textrm {wins}},\\-\log \sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa )&{\textrm {if}}~{\mathsf {B}}~{\textrm {wins}},\\-\log \kappa -{\frac {1}{2}}\log \sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )-{\frac {1}{2}}\log \sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa )&{\textrm {if}}~{\mathsf {A}}~{\textrm {draw}},\end{cases}}}$

que puede escribirse de forma compacta como

${\displaystyle \ell =-(S_{\mathsf {A}}+{\frac {1}{2}}D)\log \sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )-(S_{\mathsf {B}}+{\frac {1}{2}}D)\log \sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa )-D\log \kappa }$

dónde${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=1}$si y solo si${\displaystyle {\mathsf {A}}}$victorias,${\displaystyle S_{\mathsf {B}}=1}$si y solo si ${\displaystyle {\mathsf {B}}}$victorias y${\displaystyle D=1}$si y solo si ${\displaystyle {\mathsf {A}}}$dibujos.

Como antes, necesitamos la derivada de${\displaystyle \log \sigma (r;\kappa )}$que viene dado por

${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}r}}\log \sigma (r;\kappa )={\frac {2\log 10}{s}}[1-g(r;\kappa )]}$,

dónde

${\displaystyle g(r;\kappa )={\frac {10^{r/s}+\kappa /2}{10^{-r/s}+\kappa +10^{r/s}}}.}$

Por lo tanto, la derivada de la pérdida logarítmica con respecto a la calificación${\displaystyle R_{\mathsf {A}}}$es dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}R_{\mathsf {A}}}}\ell &=-{\frac {2\log 10}{s}}\left((S_{\mathsf {A}}+0.5D)[1-g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa )]-(S_{\mathsf {B}}+0.5D)g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa )\right)\\&=-{\frac {2\log 10}{s}}\left(S_{\mathsf {A}}+0.5D-g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa )\right),\end{aligned}}}$

donde utilizamos las relaciones${\displaystyle S_{\mathsf {A}}+S_{\mathsf {B}}+D=1}$y${\displaystyle g(-r;\kappa )=1-g(r;\kappa )}$.

Luego, el descenso de gradiente estocástico aplicado para minimizar la pérdida logarítmica produce la siguiente actualización para la calificación.${\displaystyle R_{\mathsf {A}}}$

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}\leftarrow R_{\mathsf {A}}+K({\hat {S}}_{\mathsf {A}}-g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa ))}$

dónde${\displaystyle K=2\eta \log 10/s}$y${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathsf {A}}=S_{\mathsf {A}}+0.5D}$. Por supuesto,${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathsf {A}}=1}$si${\displaystyle {\textsf {A}}}$victorias,${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathsf {A}}=0.5}$si${\displaystyle {\textsf {A}}}$dibujos y${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathsf {A}}=0}$si${\displaystyle {\textsf {A}}}$pierde. Para reconocer el origen en el modelo propuesto por Davidson, esta actualización se denomina clasificación Elo-Davidson. ^{[ 38 ]}

La actualización para${\displaystyle R_{\mathsf {B}}}$se deriva de la misma manera que

${\displaystyle R_{\mathsf {B}}\leftarrow R_{\mathsf {B}}+K({\hat {S}}_{\mathsf {B}}-g(r_{\mathsf {B,A}};\kappa ))}$,

dónde${\displaystyle r_{\mathsf {B,A}}=R_{\mathsf {B}}-R_{\mathsf {A}}=-r_{\mathsf {A,B}}}$.

Observamos que

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\hat {S}}_{\mathsf {A}}]&=\Pr\{{\mathsf {A}}~{\text{wins}}\}+0.5\Pr\{{\mathsf {A}}~{\text{draws}}\}\\&=\sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )+0.5\kappa {\sqrt {\sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )\sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa )}}\\&=g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa )\end{aligned}}}$

y así, obtenemos la actualización de la calificación que puede escribirse como

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}\leftarrow R_{\mathsf {A}}+K({\hat {S}}_{\mathsf {A}}-E_{\mathsf {A}})}$,

dónde${\displaystyle E_{\mathsf {A}}=E[{\hat {S}}_{\mathsf {A}}]}$y obtuvimos prácticamente la misma ecuación que en la clasificación Elo, excepto que la puntuación esperada viene dada por${\displaystyle E_{\mathsf {A}}=g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa )}$en lugar de${\displaystyle E_{\mathsf {A}}=\sigma (r_{\mathsf {A,B}})}$.

Como se indicó anteriormente, para${\displaystyle \kappa =0}$, tenemos${\displaystyle g(r;0)=\sigma (r)}$y por lo tanto la calificación Elo-Davidson es exactamente la misma que la calificación Elo; sin embargo, esto no ayuda a entender el caso cuando se observan los empates (no podemos usar${\displaystyle \kappa =0}$lo que significaría que la probabilidad de extracción es nula). Por otro lado, si usamos${\displaystyle \kappa =2}$, tenemos

${\displaystyle g(r;2)={\frac {10^{r/s}+1}{10^{-r/s}+2+10^{r/s}}}={\frac {1}{1+10^{-r/s}}}=\sigma (r)}$

lo que significa que, usando ${\displaystyle \kappa =2}$, la clasificación Elo-Davidson es exactamente la misma que la clasificación Elo. ^{[ 38 ]}

En algunos casos, el sistema de clasificación puede desalentar la actividad de juego para los jugadores que desean proteger su clasificación. ^{[ 40 ]} Para desalentar a los jugadores a mantener una clasificación alta, una propuesta de 2012 del Gran Maestro británico John Nunn para elegir a los clasificados para el campeonato mundial de ajedrez incluía una bonificación de actividad, que se combinaría con la clasificación. ^{[ 41 ]} Fuera del mundo del ajedrez, la preocupación de que los jugadores evitaran el juego competitivo para proteger sus clasificaciones llevó a Wizards of the Coast a abandonar el sistema Elo para los torneos de Magic: The Gathering en favor de un sistema de su propia creación llamado "Puntos de Planeswalker". ^{[ 42 ] [ 43 ]}

Un aspecto más sutil se relaciona con el emparejamiento. Cuando los jugadores pueden elegir a sus oponentes, pueden optar por rivales con un riesgo mínimo de derrota y una recompensa máxima por victoria. Algunos ejemplos de jugadores con una puntuación Elo superior a 2800 que eligen oponentes con un riesgo mínimo y una máxima posibilidad de ganar puntos incluyen: elegir rivales a los que saben que pueden vencer con una estrategia determinada; elegir rivales que consideran sobrevalorados; o evitar jugar contra jugadores fuertes con una puntuación varios cientos de puntos inferior, pero que pueden ostentar títulos de ajedrez como Maestro Internacional o Gran Maestro. En la categoría de elegir rivales sobrevalorados, los nuevos participantes en el sistema de puntuación que han jugado menos de 50 partidas son, en teoría, un objetivo fácil, ya que su puntuación provisional puede estar sobrevalorada. La ICC compensa este problema asignando un factor K menor al jugador establecido si gana contra un nuevo participante. El factor K es, de hecho, una función del número de partidas con puntuación jugadas por el nuevo participante.

Por lo tanto, las clasificaciones Elo en línea siguen siendo un mecanismo útil para proporcionar una clasificación basada en la del oponente. Sin embargo, su credibilidad general debe considerarse en el contexto de al menos los dos problemas principales descritos anteriormente : el abuso de motores de ajedrez y el emparejamiento selectivo de oponentes. La ICC también ha introducido recientemente clasificaciones de "emparejamiento automático" que se basan en emparejamientos aleatorios, pero donde cada victoria consecutiva garantiza un oponente estadísticamente mucho más difícil que también ha ganado x partidas consecutivas. Con cientos de jugadores potencialmente involucrados, esto crea algunos de los desafíos de un gran evento suizo que se disputa ferozmente, donde los ganadores de ronda se enfrentan entre sí. Este enfoque de emparejamiento maximiza el riesgo de clasificación de los participantes con mayor Elo, quienes pueden enfrentar una oposición muy dura de jugadores por debajo de 3000, por ejemplo. Esta es una clasificación aparte en sí misma, y ​​se encuentra dentro de las categorías de clasificación de "1 minuto" y "5 minutos". Las clasificaciones máximas alcanzadas por encima de 2500 son excepcionalmente raras.

El término «inflación», aplicado a las clasificaciones, sugiere que el nivel de juego del jugador clasificado disminuye con el tiempo; por el contrario, la «deflación» sugiere que aumenta. Por ejemplo, si hay inflación, una clasificación moderna de 2500 significa menos que una clasificación histórica de 2500, mientras que ocurre lo contrario si hay deflación. Comparar jugadores de diferentes épocas mediante clasificaciones se dificulta cuando hay inflación o deflación (véase también Comparación de los mejores ajedrecistas de la historia ).

Al analizar las listas de clasificación de la FIDE a lo largo del tiempo, Jeff Sonas sugiere que la inflación puede haber ocurrido desde aproximadamente 1985. ^{[ 44 ]} Sonas examina a los jugadores mejor clasificados, en lugar de a todos los jugadores clasificados, y reconoce que los cambios en la distribución de las clasificaciones podrían haber sido causados ​​por un aumento del nivel de juego en los niveles más altos, pero también busca otras causas.

El número de personas con una puntuación superior a 2700 ha aumentado. Alrededor de 1979, solo había un jugador activo ( Anatoly Karpov ) con una puntuación tan alta. En 1992, Viswanathan Anand fue el octavo jugador en la historia del ajedrez en alcanzar la marca de 2700 en ese momento. ^{[ 45 ]} Esta cifra aumentó a 15 jugadores en 1994. En 2009, 33 jugadores tenían una puntuación superior a 2700 y 44 en septiembre de 2012. Solo 14 jugadores han superado alguna vez una puntuación de 2800.

Una posible causa de esta inflación fue el límite inferior de la clasificación, que durante mucho tiempo estuvo en 2200, y si un jugador caía por debajo de este límite, era eliminado de la lista de clasificación. En consecuencia, los jugadores con un nivel de habilidad justo por debajo del límite inferior solo aparecerían en la lista de clasificación si estaban sobrevalorados, lo que provocaría que aportaran puntos al sistema de clasificación. ^{[ 44 ]}

De 1975 a 1985, la calificación promedio de los 100 mejores fue de alrededor de 2550. ^{[ 44 ]} Esto aumentó a 2644 en julio de 2000 y a 2703 en julio de 2012. ^{[ 45 ]}

Utilizando un potente motor de ajedrez para evaluar los movimientos realizados en partidas entre jugadores clasificados, Regan y Haworth analizan conjuntos de partidas de torneos clasificados por la FIDE y llegan a la conclusión de que hubo poca o ninguna inflación entre 1976 y 2009. ^{[ 46 ]}

En un sistema Elo puro, cada partida termina con una transacción igualitaria de puntos de rating. Si el ganador obtiene N puntos de rating, el perdedor perderá N puntos. Esto impide que los puntos entren o salgan del sistema cuando se juegan y se califican las partidas. Sin embargo, los jugadores suelen ingresar al sistema como novatos con un rating bajo y retirarse como jugadores experimentados con un rating alto. Por lo tanto, a largo plazo, un sistema con transacciones estrictamente iguales tiende a provocar una deflación del rating. ^{[ 47 ]}

En 1995, la USCF reconoció que varios jóvenes jugadores escolares estaban mejorando más rápido de lo que el sistema de clasificación podía registrar. Como resultado, los jugadores establecidos con clasificaciones estables comenzaron a perder puntos de clasificación frente a los jugadores jóvenes y subclasificados. Varios de los jugadores veteranos se sintieron frustrados por lo que consideraban un descenso injusto en su clasificación, y algunos incluso abandonaron el ajedrez por ello. ^{[ 48 ]}

Las partidas de ajedrez entre humanos y computadoras entre 1997 ( Deep Blue contra Garry Kasparov ) y 2006 demostraron que las computadoras de ajedrez son capaces de derrotar incluso a los jugadores humanos más fuertes. A partir de 2023Our World In Data informó que las computadoras habían alcanzado clasificaciones Elo superiores a 3500, según datos de chess.com y SSDF . ^{[ 50 ]}

Sin embargo, las clasificaciones de los motores de ajedrez son difíciles de cuantificar o comparar con las clasificaciones humanas, debido a factores variables como el control de tiempo y el hardware en el que se ejecuta el programa, y ​​también al hecho de que el ajedrez no es un juego justo entre el primer y el segundo jugador. Las listas de clasificación de motores publicadas, como la CCRL, se basan en partidas solo de motores en configuraciones de hardware estándar y no son directamente comparables con las clasificaciones de la FIDE. Para otras estimaciones de clasificación, consulte Motor de ajedrez § Clasificaciones .

La existencia y magnitud de la ventaja del primer movimiento en ajedrez se vuelve muy importante a nivel informático. Superado cierto umbral de habilidad, un motor con blancas debería ser capaz de forzar tablas a demanda desde la posición inicial incluso contra un juego perfecto, simplemente porque las blancas comienzan con una ventaja demasiado grande como para perderla en comparación con la pequeña magnitud de los errores que probablemente cometerán. En consecuencia, dicho motor tiene prácticamente garantizado obtener al menos un 25% de victorias incluso contra un juego perfecto . Las diferencias de habilidad más allá de cierto punto solo podrían detectarse si uno no comienza desde la posición inicial habitual, sino que elige una posición inicial que apenas no está perdida para uno de los bandos. Debido a estos factores, las puntuaciones dependen de los emparejamientos y las aperturas seleccionadas. ^{[ 51 ]}

• Go : La Federación Europea de Go adoptó un sistema de clasificación basado en Elo, inicialmente impulsado por la Federación Checa de Go .
• Backgammon : El popular servidor First Internet Backgammon Server (FIBS) calcula las puntuaciones basándose en un sistema Elo modificado. A los nuevos jugadores se les asigna una puntuación de 1500, mientras que los mejores jugadores humanos y bots superan los 2000. Esta misma fórmula ha sido adoptada por otros sitios de backgammon, como Play65, DailyGammon , GoldToken y VogClub . VogClub establece la puntuación de un nuevo jugador en 1600. La Federación Británica de Backgammon utiliza la fórmula FIBS para sus clasificaciones nacionales del Reino Unido. ^{[ 52 ]}
• Scrabble : Las organizaciones nacionales de Scrabble calculan puntuaciones Elo con distribución normal, excepto en el Reino Unido , donde se utiliza un sistema diferente. La Asociación Norteamericana de Jugadores de Scrabble (NASA) cuenta con la mayor cantidad de miembros activos con puntuación, alrededor de 2000 a principios de 2011. Lexulous también utiliza el sistema Elo.
• A pesar de las dudas sobre la idoneidad del sistema Elo para clasificar juegos en los que la suerte es un factor, los fabricantes de juegos de cartas coleccionables suelen utilizar las clasificaciones Elo para sus esfuerzos de juego organizado. La DCI (anteriormente Duelists' Convocation International) utilizó clasificaciones Elo para torneos de Magic: The Gathering y otros juegos de Wizards of the Coast . Sin embargo, la DCI abandonó este sistema en 2012 en favor de un nuevo sistema acumulativo de "Puntos de Planeswalker", principalmente debido a la preocupación antes mencionada de que Elo anima a los jugadores con alta clasificación a evitar jugar para "proteger su clasificación". ^{[ 42 ] [ 43 ]} Pokémon USA utiliza el sistema Elo para clasificar a sus competidores de juego organizado de TCG. ^{[ 53 ]} Los premios para los mejores jugadores en varias regiones incluían vacaciones e invitaciones a campeonatos mundiales hasta la temporada 2011-2012, donde los premios se basaban en un sistema de Puntos de Campeonato, cuya lógica era la misma que la de la DCI para Magic: The Gathering . De manera similar, Decipher, Inc. utilizó el sistema Elo para sus juegos clasificados, como Star Trek Customizable Card Game y Star Wars Customizable Card Game .

El sistema de clasificación Elo se utiliza en la modalidad de ajedrez -boxeo . Para poder competir profesionalmente en ajedrez-boxeo, es necesario tener una puntuación Elo de al menos 1600, además de haber participado en 50 o más combates de boxeo o artes marciales amateur.

El fútbol americano universitario utilizó el método Elo como parte de su sistema de clasificación de la Bowl Championship Series (BCS) desde 1998 hasta 2013, año en que la BCS fue reemplazada por el College Football Playoff . Jeff Sagarin, de USA Today, publica clasificaciones de equipos para la mayoría de los deportes estadounidenses, incluyendo las del sistema Elo para el fútbol americano universitario. El uso de estos sistemas de clasificación se eliminó prácticamente por completo con la creación del College Football Playoff en 2014.

En otros deportes, los individuos mantienen clasificaciones basadas en el algoritmo Elo. Estas suelen ser extraoficiales y no están avaladas por el organismo rector del deporte. Las clasificaciones Elo de fútbol mundial son un ejemplo del método aplicado al fútbol masculino . ^{[ 54 ]} En 2006, Nate Silver , entonces de Baseball Prospectus , adaptó las clasificaciones Elo para los equipos de las Grandes Ligas de Béisbol . ^{[ 55 ]} Basándose en esta adaptación, ambos también realizaron simulaciones de Monte Carlo basadas en Elo sobre las probabilidades de que los equipos lleguen a los playoffs. ^{[ 56 ]} En 2014, Beyond the Box Score, un sitio de SB Nation , introdujo un sistema de clasificación Elo para el béisbol internacional. ^{[ 57 ]}

En tenis, el Universal Tennis Rating (UTR) basado en Elo clasifica a los jugadores a escala global, independientemente de la edad, el género o la nacionalidad. Es el sistema de clasificación oficial de las principales organizaciones como la Intercollegiate Tennis Association y World TeamTennis y se utiliza con frecuencia en segmentos del Tennis Channel . El algoritmo analiza más de 8 millones de resultados de partidos de más de 800 000 tenistas de todo el mundo. El 8 de mayo de 2018, Rafael Nadal , tras ganar 46 sets consecutivos en partidos sobre tierra batida, tenía un UTR sobre tierra batida casi perfecto de 16,42. ^{[ 58 ]} En billar , se utiliza un sistema basado en Elo llamado Fargo Rate para clasificar a los jugadores en competiciones amateur y profesionales organizadas. ^{[ 59 ]} Una de las pocas clasificaciones basadas en Elo respaldadas por un organismo rector del deporte es la FIFA Women's World Rankings , basada en una versión simplificada del algoritmo Elo, que la FIFA utiliza como su sistema de clasificación oficial para selecciones nacionales en fútbol femenino . Desde la primera lista de clasificación después de la Copa Mundial de la FIFA 2018 , la FIFA también ha utilizado Elo para su Clasificación Mundial Masculina de la FIFA . ^{[ 60 ]}

En 2015, Nate Silver, editor jefe del sitio web de comentarios estadísticos FiveThirtyEight , y Reuben Fischer-Baum produjeron clasificaciones Elo para cada equipo y temporada de la Asociación Nacional de Baloncesto hasta la temporada 2014. ^{[ 61 ] [ 62 ]} En 2014, FiveThirtyEight creó clasificaciones basadas en Elo y proyecciones de victorias para la Liga Nacional de Fútbol Americano profesional . ^{[ 63 ]} La Asociación Inglesa de Korfball clasificó a los equipos según las clasificaciones Elo para determinar los hándicaps para su competición de copa para la temporada 2011/12.

Se ha desarrollado una clasificación basada en Elo para los jugadores de la Liga Nacional de Hockey . ^{[ 64 ]} La métrica Elo de hockey evalúa el juego bidireccional general de un jugador: anotación Y defensa tanto en igualdad numérica como en situaciones de superioridad numérica/penalti. Rugbyleagueratings.com utiliza el sistema de clasificación Elo para clasificar a los equipos internacionales y de clubes de rugby league . Hemaratings.com se fundó en 2017 y utiliza un algoritmo Glicko-2 para clasificar a los esgrimistas individuales de artes marciales históricas europeas de todo el mundo en diferentes categorías como espada larga , estoque , sable histórico y espada y broquel . ^{[ 65 ]}

Muchos videojuegos utilizan sistemas Elo modificados en el juego competitivo. El juego MOBA League of Legends utilizó un sistema de clasificación Elo antes de la segunda temporada de juego competitivo. ^{[ 66 ]} La plataforma en línea FACEIT , que admite varios juegos de esports pero es más conocida por su circuito de partidas informales de Counter-Strike , utiliza Elo para clasificar y emparejar jugadores entre sí. ^{[ 67 ]} El juego de esports Overwatch , base de la organización deportiva profesional única Overwatch League , utiliza un derivado del sistema Elo para clasificar a los jugadores competitivos con varios ajustes realizados entre temporadas competitivas. ^{[ 68 ]} World of Warcraft también utilizó anteriormente el sistema Glicko-2 para formar equipos y comparar jugadores de Arena, pero ahora utiliza un sistema similar a TrueSkill de Microsoft . ^{[ 69 ]} El juego Puzzle Pirates utiliza el sistema de clasificación Elo para determinar las posiciones en los distintos puzles. Este sistema también se utiliza en FIFA Mobile para los modos Division Rivals. Otro juego reciente que comenzó a usar el sistema de clasificación Elo es AirMech , que usa clasificaciones Elo ^{[ 70 ]} para emparejamiento aleatorio/por equipos 1v1, 2v2 y 3v3. RuneScape 3 usó el sistema Elo en el relanzamiento del minijuego de cazarrecompensas en 2016. ^{[ 71 ]} Mechwarrior Online instituyó un sistema Elo para su nuevo modo "Comp Queue", efectivo con el parche del 20 de junio de 2017. ^{[ 72 ]} Age of Empires II DE y Age of Empires III DE están usando el sistema Elo para su tabla de clasificación y emparejamiento, con nuevos jugadores comenzando en Elo 1000. ^{[ 73 ]} Competitive Classic Tetris ( Tetris jugado en Nintendo Entertainment System ) deriva sus clasificaciones usando una combinación de las mejores puntuaciones personales de los jugadores y un sistema Elo altamente modificado. ^{[ 74 ]}

Pocos videojuegos utilizan el sistema de clasificación Elo original. Según Lichess , un servidor de ajedrez en línea, el sistema Elo está obsoleto, y muchas organizaciones de ajedrez utilizan ahora Glicko-2 . ^{[ 75 ]} PlayerUnknown's Battlegrounds es uno de los pocos videojuegos que utiliza el primer sistema Elo. En Guild Wars , las clasificaciones Elo se utilizan para registrar la clasificación de los gremios ganada y perdida a través de batallas entre gremios. En 1998, se lanzó una escalera de juegos en línea llamada Clanbase ^{[ 76 ]} , que utilizaba el sistema de puntuación Elo para clasificar a los equipos. El valor K inicial era 30, pero se cambió a 5 en enero de 2007, y luego a 15 en julio de 2009. ^{[ 77 ]} El sitio posteriormente dejó de estar disponible en 2013. ^{[ 78 ]} Un sitio alternativo similar se lanzó en 2016 bajo el nombre de Scrimbase , ^{[ 79 ]} que también utilizaba el sistema de puntuación Elo para clasificar a los equipos. Desde 2005, Golden Tee Live ha clasificado a los jugadores según el sistema Elo. Los nuevos jugadores comienzan en 2100, y los mejores jugadores superan los 3000. ^{[ 80 ]} A pesar de que muchos videojuegos utilizan sistemas diferentes para el emparejamiento , es común que los jugadores de videojuegos con clasificación se refieran a todas las clasificaciones de emparejamiento como Elo .

El sistema de clasificación Elo se ha utilizado en biometría blanda , ^{[ 81 ]} que se refiere a la identificación de individuos mediante descripciones humanas. Se utilizaron descripciones comparativas junto con el sistema de clasificación Elo para proporcionar "mediciones relativas" robustas y discriminatorias, lo que permite una identificación precisa. El sistema de clasificación Elo se ha utilizado en biología para evaluar jerarquías de dominancia masculina, ^{[ 82 ]} y en automatización y visión por computadora para la inspección de tejidos . ^{[ 83 ]} Además, los sitios de jueces en línea están utilizando el sistema de clasificación Elo o sus derivados. Por ejemplo, Topcoder está utilizando una versión modificada basada en la distribución normal, ^{[ 84 ]} mientras que Codeforces está utilizando otra versión basada en la distribución logística. ^{[ 85 ] [ 86 ] [ 87 ]}

El sistema de clasificación Elo se ha observado en aplicaciones de citas, como en la aplicación de emparejamiento Tinder , que utiliza una variante del sistema de clasificación Elo. ^{[ 88 ]} El YouTuber Marques Brownlee y su equipo utilizaron el sistema de clasificación Elo cuando permitieron que la gente votara entre fotos digitales tomadas con diferentes modelos de teléfonos inteligentes lanzados en 2022. ^{[ 89 ]} El sistema de clasificación Elo se ha utilizado en clasificaciones universitarias de preferencia revelada en EE. UU. , como las de la empresa de credenciales digitales Parchment. ^{[ 90 ] [ 91 ] [ 92 ]}

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