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Factorión

En teoría de números , un factorión en una base numérica dada es un número natural que es igual a la suma de los factoriales de sus dígitos . [1] [2] [3] El nombre factorión fue...

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En teoría de números , un factorión en una base numérica dada es un número natural que es igual a la suma de los factoriales de sus dígitos . [1] [2] [3] El nombre factorión fue acuñado por el autor Clifford A. Pickover . [4] b {\estilo de visualización b}

Definición

Sea un número natural. Para una base , definimos la suma de los factoriales de los dígitos [5] [6] de , , como la siguiente: norte {\estilo de visualización n} b > 1 {\displaystyle b>1} norte {\estilo de visualización n} Departamento de Bomberos de San Francisco b : norte → norte {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }

Departamento de Bomberos de San Francisco b ⁡ ( norte ) = ∑ i = 0 a − 1 d i ! . {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.}

donde es el número de dígitos del número en base , es el factorial de y a = ⌊ registro b ⁡ norte ⌋ + 1 {\displaystyle k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1} b {\estilo de visualización b} norte ! {\estilo de visualización n!} norte {\estilo de visualización n}

d i = norte modificación b i + 1 − norte modificación b i b i {\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}

es el valor del dígito n del número. Un número natural es un - factorión si es un punto fijo para , es decir, si . [7] y son puntos fijos para todas las bases , y por lo tanto son factoriones triviales para todos los , y todos los demás factoriones son factoriones no triviales . i {\estilo de visualización i} norte {\estilo de visualización n} b {\estilo de visualización b} Departamento de Bomberos de San Francisco b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} Departamento de Bomberos de San Francisco b ⁡ ( norte ) = norte {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=n} 1 {\estilo de visualización 1} 2 {\estilo de visualización 2} b {\estilo de visualización b} b {\estilo de visualización b}

Por ejemplo, el número 145 en base es un factorión porque . b = 10 {\estilo de visualización b=10} 145 = 1 ! + 4 ! + 5 ! {\displaystyle 145=1!+4!+5!}

Para , la suma de los factoriales de los dígitos es simplemente el número de dígitos en la representación base 2 ya que . b = 2 {\estilo de visualización b=2} a {\estilo de visualización k} 0 ! = 1 ! = 1 {\displaystyle 0!=1!=1}

Un número natural es un factorión sociable si es un punto periódico para , donde para un entero positivo , y forma un ciclo de período . Un factorión es un factorión sociable con , y un factorión amistoso es un factorión sociable con . [8] [9] norte {\estilo de visualización n} Departamento de Bomberos de San Francisco b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} Departamento de Bomberos de San Francisco b a ⁡ ( norte ) = norte {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{k}(n)=n} a {\estilo de visualización k} a {\estilo de visualización k} a = 1 {\estilo de visualización k=1} a = 2 {\estilo de visualización k=2}

Todos los números naturales son puntos preperiódicos para , independientemente de la base. Esto se debe a que todos los números naturales de base con dígitos satisfacen . Sin embargo, cuando , entonces para , por lo que cualquier satisfará hasta . Hay un número finito de números naturales menores que , por lo que se garantiza que el número alcance un punto periódico o un punto fijo menor que , lo que lo convierte en un punto preperiódico. Para , el número de dígitos para cualquier número, una vez más, lo convierte en un punto preperiódico. Esto significa también que hay un número finito de factoriones y ciclos para cualquier base dada . norte {\estilo de visualización n} Departamento de Bomberos de San Francisco b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} b {\estilo de visualización b} a {\estilo de visualización k} b a − 1 ≤ norte ≤ ( b − 1 ) ! ( a ) {\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)} a ≥ b {\displaystyle k\geq b} b a − 1 > ( b − 1 ) ! ( a ) {\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)} b > 2 {\displaystyle b>2} norte {\estilo de visualización n} norte > Departamento de Bomberos de San Francisco b ⁡ ( norte ) {\displaystyle n>\operatorname {SFD} _{b}(n)} norte < b b {\displaystyle n<b^{b}} b b Estilo de visualización b b b Estilo de visualización b b = 2 {\estilo de visualización b=2} a ≤ norte {\displaystyle k\leq n} b {\estilo de visualización b}

El número de iteraciones necesarias para alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función de , y es indefinido si nunca alcanza un punto fijo. i {\estilo de visualización i} Departamento de Bomberos de San Francisco b i ⁡ ( norte ) {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{i}(n)} Departamento de Bomberos de San Francisco b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} norte {\estilo de visualización n}

Factores paraEstado de emergencia b

b= (a− 1)!

Sea un entero positivo y la base numérica . Entonces: a {\estilo de visualización k} b = ( a − 1 ) ! {\displaystyle b=(k-1)!}

  • norte 1 = a b + 1 {\displaystyle n_{1}=kb+1} es un factor para todos Departamento de Bomberos de San Francisco b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} a . {\estilo de visualización k.}
Prueba

Sean los dígitos de , y entonces norte 1 = d 1 b + d 0 {\displaystyle n_{1}=d_{1}b+d_{0}} d 1 = a estilo de visualización d_{1}=k d 0 = 1. {\displaystyle d_{0}=1.}

Departamento de Bomberos de San Francisco b ⁡ ( norte 1 ) = d 1 ! + d 0 ! {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!}
= a ! + 1 ! {\displaystyle =k!+1!}
= a ( a − 1 ) ! + 1 {\displaystyle =k(k-1)!+1}
= d 1 b + d 0 {\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}
= norte 1 {\displaystyle =n_{1}}

Por lo tanto es un factor para todo . norte 1 estilo de visualización n_{1} F b Estilo de visualización F_{b} a {\estilo de visualización k}

  • norte 2 = a b + 2 Estilo de visualización n_{2}=kb+2 es un factor para todos . Departamento de Bomberos de San Francisco b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} a {\estilo de visualización k}
Prueba

Sean los dígitos de , y . Entonces norte 2 = d 1 b + d 0 Estilo de visualización n_{2}=d_{1}b+d_{0}} d 1 = a estilo de visualización d_{1}=k d 0 = 2 estilo de visualización d_{0}=2

Departamento de Bomberos de San Francisco b ⁡ ( norte 2 ) = d 1 ! + d 0 ! {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n_{2})=d_{1}!+d_{0}!}
= a ! + 2 ! {\displaystyle =k!+2!}
= a ( a − 1 ) ! + 2 {\displaystyle =k(k-1)!+2}
= d 1 b + d 0 {\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}
= norte 2 {\displaystyle =n_{2}}

Por lo tanto es un factor para todo . norte 2 {\estilo de visualización n_{2}} F b Estilo de visualización F_{b} a {\estilo de visualización k}

b=a!−a+ 1

Sea un entero positivo y la base numérica . Entonces: a {\estilo de visualización k} b = a ! − a + 1 {\displaystyle b=k!-k+1}

  • norte 1 = b + a Estilo de visualización n_{1}=b+k es un factor para todos . Departamento de Bomberos de San Francisco b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} a {\estilo de visualización k}
Prueba

Sean los dígitos de , y . Entonces norte 1 = d 1 b + d 0 {\displaystyle n_{1}=d_{1}b+d_{0}} d 1 = 1 estilo de visualización d_{1}=1 d 0 = a {\displaystyle d_{0}=k}

Departamento de Bomberos de San Francisco b ⁡ ( norte 1 ) = d 1 ! + d 0 ! {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!}
= 1 ! + a ! {\displaystyle =1!+k!}
= a ! + 1 − a + a {\displaystyle =k!+1-k+k}
= 1 ( a ! − a + 1 ) + a {\displaystyle =1(k!-k+1)+k}
= d 1 b + d 0 {\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}
= norte 1 {\displaystyle =n_{1}}

Por lo tanto es un factor para todo . norte 1 estilo de visualización n_{1} F b Estilo de visualización F_{b} a {\estilo de visualización k}

Tabla de factoriones y ciclos deEstado de emergencia b

Todos los números están representados en base . b {\estilo de visualización b}

Véase también

Referencias

  1. ^ Sloane, Neil, "A014080", Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
  2. ^ Gardner, Martin (1978), "Factorial Oddities", Espectáculo de magia matemática: más acertijos, juegos, diversiones, ilusiones y otros juegos de ingenio matemático, Vintage Books, págs. 61 y 64, ISBN 9780394726236
  3. ^ Madachy, Joseph S. (1979), Recreaciones matemáticas de Madachy, Dover Publications, pág. 167, ISBN 9780486237626
  4. ^ Pickover, Clifford A. (1995), "La soledad de los Factorions", Keys to Infinity, John Wiley & Sons, págs. 169-171 y 319-320, ISBN 9780471193340– a través de Google Books
  5. ^ Gupta, Shyam S. (2004), "Suma de los factoriales de los dígitos de los números enteros", The Mathematical Gazette , 88 (512), The Mathematical Association: 258–261, doi : 10.1017/S0025557200174996 , JSTOR  3620841, S2CID  125854033
  6. ^ Sloane, Neil, "A061602", Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
  7. ^ Abbott, Steve (2004), "Cadenas SFD y ciclos factoriales", The Mathematical Gazette , 88 (512), The Mathematical Association: 261–263, doi :10.1017/S002555720017500X, JSTOR  3620842, S2CID  99976100
  8. ^ ab Sloane, Neil, "A214285", Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
  9. ^ ab Sloane, Neil, "A254499", Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
  10. ^ Sloane, Neil, "A193163", Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
  • Factorión en Wolfram MathWorld
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