Número de Meertens

En teoría de números y lógica matemática , un número de Meertens en una base numérica dada${\displaystyle b}$es un número natural que es su propio número de Gödel . Fue nombrado en honor a Lambert Meertens por Richard S. Bird como regalo durante la celebración de sus 25 años en el CWI de Ámsterdam . ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle n}$Sea un número natural. Definimos la función de Meertens para base${\displaystyle b>1}$${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ser lo siguiente:

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}p_{ki-1}^{d_{i}}.}$

dónde${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$es el número de dígitos en el número en base${\displaystyle b}$,${\displaystyle p_{i}}$es el${\displaystyle i}$el -ésimo número primo (comenzando en 0), y

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

es el valor de cada dígito del número. Un número natural${\displaystyle n}$es un número de Meertens si es un punto fijo para${\displaystyle F_{b}}$, lo cual ocurre si${\displaystyle F_{b}(n)=n}$Esto corresponde a una codificación de Gödel .

Por ejemplo, el número 3020 en base${\displaystyle b=4}$es un número de Meertens, porque

${\displaystyle 3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}}$.

Un número natural${\displaystyle n}$es un número de Meertens sociable si es un punto periódico para${\displaystyle F_{b}}$, dónde${\displaystyle F_{b}^{k}(n)=n}$para un entero positivo${\displaystyle k}$y forma un ciclo de período${\displaystyle k}$. Un número de Meertens es un número de Meertens sociable con${\displaystyle k=1}$y un número de Meertens amigable es un número de Meertens sociable con${\displaystyle k=2}$.

El número de iteraciones${\displaystyle i}$necesario para${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función de Meertens.${\displaystyle n}$y no definido si nunca alcanza un punto fijo.

Todos los números están en base${\displaystyle b}$.

• Dinámica aritmética
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• Invariante perfecta dígito a dígito
• Invariante digital perfecto
• número de suma de productos

• Secuencia OEIS A189398 (a(n) = 2^d(1) * 3^d(2) * ... * primo(k)^d(k))
• Secuencia OEIS A246532 (Número de Meertens más pequeño en base n, o -1 si no existe).