Dr. Kaprekar

En 1955, Kaprekar descubrió una propiedad interesante del número 6174, que posteriormente recibió el nombre de constante de Kaprekar. ^{[ 7 ]} Demostró que se llega a 6174 al final, restando repetidamente el número más alto y el más bajo que se pueden construir a partir de un conjunto de cuatro dígitos que no son todos idénticos. Así, partiendo de 1234, tenemos:

4321 − 1234 = 3087, entonces

8730 − 0378 = 8352, y

8532 − 2358 = 6174.

Si se repite a partir de este punto, se obtiene el mismo número (7641 − 1467 = 6174). En general, la operación converge en un máximo de siete iteraciones.

Una constante similar para tres dígitos es 495. ^{[ 8 ]} Sin embargo, en base 10 , una única constante de este tipo solo existe para números de 3 o 4 dígitos; para otras longitudes de dígitos o bases distintas de 10, el algoritmo de rutina de Kaprekar descrito anteriormente puede, en general, terminar en múltiples constantes diferentes o ciclos repetidos, dependiendo del valor inicial. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, para números de 2 dígitos, los números finalmente entran en un bucle, como por ejemplo:

31 − 13 = 18

81 − 18 = 63

63 − 36 = 27

72 − 27 = 45

54 − 45 = 9

90 − 9 = 81

81 − 18 = 63

El bucle en cuestión es 63, 27, 45, 9, 81 y de vuelta a 63.

Sin embargo, si en el ejemplo anterior el 9 no se considera un número de dos dígitos (09), todos los números de dos dígitos terminarán en 9. Todas las diferencias entre los intercambios de dígitos de números de dos dígitos son múltiplos de 9 y, por lo tanto, entrarán inmediatamente en el bucle anterior en algún momento. (Cabe destacar que tanto 495 como 6174 son múltiplos de 9).

Otra clase de números que Kaprekar describió son los números de Kaprekar. ^{[ 10 ]} Un número de Kaprekar es un entero positivo con la propiedad de que si se eleva al cuadrado, su representación se puede particionar en dos partes enteras positivas cuya suma es igual al número original (por ejemplo, 45, ya que 45² ⁼ 2025, y 20 + 25 = 45, también 9, 55, 99, etc.). Sin embargo, tenga en cuenta la restricción de que los dos números sean positivos; por ejemplo, 100 no es un número de Kaprekar aunque 100² ⁼ 10000, y 100 + 00 = 100. Esta operación, que consiste en tomar los dígitos más a la derecha de un cuadrado y sumarlos al entero formado por los dígitos más a la izquierda, se conoce como la operación de Kaprekar.

Algunos ejemplos de números de Kaprekar en base 10, además de los números 9, 99, 999, ..., son (secuencia A006886 en la OEIS ) :

En 1963, Kaprekar definió la propiedad conocida como números auto-suficientes, ^{[ 11 ]} como los enteros que no pueden generarse sumando los dígitos de otro número. Por ejemplo, 21 no es un número auto-suficiente, ya que puede generarse a partir de 15: 15 + 1 + 5 = 21. Pero 20 sí lo es, puesto que no puede generarse a partir de ningún otro entero. También proporcionó una prueba para verificar esta propiedad en cualquier número. A veces se les denomina números Devlali (por la ciudad donde vivió); aunque esta parece haber sido su denominación preferida, ^{[ 11 ]} el término «número auto-suficiente» es más común. En ocasiones, también se les denomina números colombianos , según una designación posterior.

Kaprekar también describió los números harshad, a los que denominó harshad, que significa "que da alegría" ( sánscrito harsha , alegría + da taddhita pratyaya, causativo ); estos se definen por la propiedad de que son divisibles por la suma de sus dígitos. Así, 12, que es divisible por 1 + 2 = 3, es un número harshad. Posteriormente, también se les llamó números de Niven tras la conferencia que impartió el matemático canadiense Ivan M. Niven en 1977. Los números que son harshad en todas las bases (solo 1, 2, 4 y 6) se denominan números totalmente harshad . Se ha investigado mucho sobre los números harshad, y su distribución, frecuencia, etc., son objeto de considerable interés en la teoría de números actual.

Kaprekar también estudió los números de Demlo , ^{[ 12 ]} cuyo nombre derivaba del nombre de una estación de tren, Demlo (ahora llamada Dombivili ), a 30 millas de Bombay en el entonces ferrocarril GIP, donde tuvo la idea de estudiarlos. ^{[ 2 ]} Los más conocidos de estos son los maravillosos números de Demlo 1, 121, 12321, 1234321, ..., que son los cuadrados de las repeticiones 1, 11, 111, 1111, .... ^{[ 13 ]}