Duplicación de fermiones

La acción fermiónica ingenua posee una nueva simetría de intercambio de gustos que no se encuentra en la teoría continua que actúa sobre los campos fermiónicos como ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \psi _{n}\rightarrow e^{-in\cdot \pi _{A}}S_{A}\psi _{n},\ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}_{n}\rightarrow {\bar {\psi }}_{n}S_{A}^{\dagger }e^{in\cdot \pi _{A}},}$

donde los vectores${\displaystyle \pi _{A}}$son los dieciséis vectores con entradas distintas de cero de${\displaystyle \pi }$especificado por${\displaystyle A}$. Por ejemplo,${\displaystyle \pi _{0}=(0,0,0,0)}$,${\displaystyle \pi _{2}=(0,\pi ,0,0)}$,${\displaystyle \pi _{14}=(\pi ,0,0,\pi )}$, y${\displaystyle \pi _{1234}=(\pi ,\pi ,\pi ,\pi )}$. La estructura de Dirac en la simetría se define de manera similar por los índices de${\displaystyle A}$como${\displaystyle S_{A}=S_{\nu _{1}}S_{\nu _{2}}S_{\nu _{3}}S_{\nu _{4}}}$dónde${\displaystyle S_{0}=I}$y${\displaystyle S_{\nu }=i\gamma _{5}\gamma _{\nu }}$; por ejemplo con${\displaystyle S_{14}=(i\gamma _{5}\gamma _{1})(i\gamma _{5}\gamma _{4})}$.

La presencia de estas dieciséis transformaciones de simetría implica la existencia de dieciséis estados fermiónicos idénticos en lugar de uno solo. Partiendo de un campo fermiónico${\displaystyle \psi _{n}}$, la simetría lo mapea a otro campo${\displaystyle \psi '_{n}=e^{-in\cdot \pi _{A}}S_{A}\psi _{n}}$. Al aplicar la transformada de Fourier a esto se muestra que su momento se ha desplazado como${\displaystyle p^{\mu }\rightarrow p^{\mu }+\pi _{A}^{\mu }}$Por lo tanto, un fermión con momento cercano al centro de la zona de Brillouin se mapea a una de sus esquinas, mientras que uno de los fermiones de la esquina reemplaza al fermión central, lo que demuestra que la transformación actúa para intercambiar las preferencias de los fermiones. Dado que se trata de una simetría de la acción, las diferentes preferencias deben ser físicamente indistinguibles entre sí. Aquí, el momento de Brillouin${\displaystyle k^{\mu }=p^{\mu }+\pi _{A}^{\mu }}$para pequeños${\displaystyle p^{\mu }}$no es el momento físico de la partícula, sino que es${\displaystyle p^{\mu }}$. En cambio${\displaystyle \pi _{A}^{\mu }}$actúa más bien como un número cuántico adicional que especifica el sabor de un fermión.

El${\displaystyle S_{A}}$El término es responsable de cambiar la representación de la${\displaystyle \gamma }$-matrices de los duplicadores a${\displaystyle \gamma _{\mu }^{(A)}=S_{A}^{\dagger }\gamma _{\mu }S_{A}}$, lo cual tiene el efecto de cambiar los signos de las matrices como${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3},\gamma _{4})\rightarrow (\pm \gamma _{1},\pm \gamma _{2},\pm \gamma _{3},\pm \gamma _{4})}$Dado que cualquier cambio de signo de este tipo da como resultado un conjunto de matrices que aún satisfacen el álgebra de Dirac , las matrices resultantes forman una representación válida. También es el término que entra en la función de onda de los duplicadores dada por${\displaystyle S_{A}^{\dagger }u({\boldsymbol {p}})}$y${\displaystyle S_{A}^{\dagger }v({\boldsymbol {p}})}$, dónde${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})}$y${\displaystyle v({\boldsymbol {p}})}$son las soluciones habituales de la ecuación de Dirac con momento${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$. ^{[ 3 ]}

En la teoría del continuo, el propagador de Dirac tiene un solo polo ya que la teoría describe solo una partícula. Sin embargo, el cálculo del propagador a partir de la acción ingenua produce

${\displaystyle S(p)={\frac {m-ia^{-1}\sum _{\mu }\gamma _{\mu }\sin(p^{\mu }a)}{m^{2}+a^{-2}\sum _{\mu }\sin(p^{\mu }a)^{2}}},}$

para un fermión con momento${\displaystyle p^{\mu }}$. ^{[ 4 ]} Para momentos bajos${\displaystyle \sin(p^{\mu }a)\approx p^{\mu }a}$Esto todavía tiene el polo esperado en${\displaystyle ap^{\mu }=(am,0,0,0)}$, pero hay quince postes adicionales cuando${\displaystyle ap^{\mu }=(am,0,0,0)+\pi _{A}^{\mu }}$Cada uno de estos es una nueva especie de fermión con duplicación que surge debido a que${\displaystyle \sin(p^{\mu }a)}$La función tiene dos polos en el rango${\displaystyle p^{\mu }\in [-\pi /a,\pi /a]}$Esto contrasta con lo que sucede cuando se discretizan partículas de diferentes espines . Por ejemplo, los escalares adquieren propagadores que toman una forma similar excepto que${\displaystyle \sin(p^{\mu }a/2)}$, que solo tiene un único polo en todo el rango de momento y, por lo tanto, la teoría no sufre un problema de duplicación. ^{[ 5 ]}

La necesidad de la duplicación de fermiones se puede deducir del hecho de que el propagador de fermiones sin masa es impar alrededor del origen . ^{[ 6 ]} Es decir, en el límite continuo es proporcional a${\displaystyle \gamma _{\mu }p^{\mu }}$, lo cual debe seguir siendo así en la red en el límite de momento pequeño. Pero dado que cualquier teoría de red local que se pueda construir debe tener un propagador que sea continuo y periódico , debe cruzar el eje cero al menos una vez más, que es exactamente lo que ocurre en las esquinas de la zona de Brillouin donde${\displaystyle ap_{\mu }=\pi _{A}^{\mu }}$para el propagador fermiónico ingenuo. Esto contrasta con el propagador bosónico , que es cuadrático alrededor del origen y, por lo tanto, no presenta este problema. La duplicación puede evitarse si se utiliza un propagador discontinuo, pero esto da como resultado una teoría no local.

La presencia de duplicadores también se refleja en la relación de dispersión de fermiones . Dado que esta es una relación entre la energía${\displaystyle \omega }$del fermión y su momento, requiere realizar una transformación de Wick inversa.${\displaystyle p_{4}=\pm i\omega }$, con la relación de dispersión que surge del polo del propagador ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \sinh \omega ({\boldsymbol {p}})={\sqrt {m^{2}+\sum _{j=1}^{3}\sin ^{2}p_{j}}}.}$

Los ceros de esta relación de dispersión son mínimos de energía locales alrededor de los cuales las excitaciones corresponden a diferentes especies de partículas. Lo anterior tiene ocho especies diferentes que surgen debido a la duplicación en las tres direcciones espaciales. Los ocho duplicadores restantes ocurren debido a otra duplicación en la dirección temporal euclidiana, que parece haberse perdido. Pero esto se debe a una aplicación ingenua de la transformación inversa de Wick. La teoría tiene una obstrucción que no permite el reemplazo simple de${\displaystyle p_{4}=\pm i\omega }$y en su lugar requiere realizar la integración de contorno completa . Hacer esto para el propagador del espacio de posición resulta en dos términos separados, cada uno de los cuales tiene la misma relación de dispersión de ocho especies de fermiones, lo que da un total de dieciséis. ^{[ 8 ]} La obstrucción entre las teorías de red de fermiones ingenuas de Minkowski y euclidianas ocurre porque la duplicación no ocurre en la dirección temporal de Minkowski, por lo que las dos teorías difieren en su contenido de partículas.

Otra posible solución, aunque poco práctica, al problema de la duplicación es adoptar una discretización de la derivada diferente de la diferencia simétrica.

${\displaystyle \partial _{\mu }f(x)\rightarrow \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {f(x+a{\hat {\mu }})-f(x-a{\hat {\mu }})}{2a}},}$

utilizado en la acción fermiónica ingenua . En su lugar, es posible utilizar la diferencia hacia adelante.

${\displaystyle \partial _{\mu }f(x)\rightarrow \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {f(x+a{\hat {\mu }})-f(x)}{a}},}$

o discretizaciones de diferencias hacia atrás. El efecto de las discretizaciones de derivadas en la duplicación se observa al considerar el problema de juguete unidimensional de encontrar las soluciones propias de${\displaystyle -i\partial _{x}f(x)=\lambda f(x)}$[ ^{27 ]} En el continuo ^, esta ecuación diferencial tiene una única solución. Sin embargo, la implementación de la derivada de diferencias simétrica conduce a la presencia de dos auto-soluciones distintas, mientras que una derivada de diferencias hacia adelante o hacia atrás tiene una sola auto-solución. Este efecto se extiende a la acción fermiónica, donde la duplicación fermiónica está ausente con discretizaciones hacia adelante o hacia atrás.

La razón de esta disparidad en el contenido de partículas es que la derivada de la diferencia simétrica mantiene la propiedad de hermiticidad del continuo.${\displaystyle i\partial _{\mu }}$operador, mientras que las discretizaciones hacia adelante y hacia atrás no lo hacen. Estas últimas discretizaciones conducen a acciones no hermíticas, rompiendo los supuestos del teorema de Nielsen-Ninomiya, y así evitan el problema de duplicación de fermiones. Desarrollar una teoría de interacción con una discretización de derivada no hermítica conduce a una teoría con contribuciones no covariantes a la autoenergía y función de vértice del fermión , lo que hace que la teoría no sea renormalizable y difícil de manejar. ^{[ 28 ]} Por esta razón, tal resolución al problema de duplicación de fermiones generalmente no se implementa.