Colector de admisión Finsler

La geometría de una variedad de Finsler puede visualizarse mediante la construcción de la indicatriz de Tissot , es decir, dibujando las esferas de radio unitario en el espacio tangente de cada punto. La función de Finsler es entonces simplemente la función de Minkowski de estas esferas.

La homogeneidad positiva significa que la gráfica de${\displaystyle v\mapsto F(x,v)}$, trazado en${\displaystyle T_{x}M}$, parece un cono cuya sección transversal es una esfera unitaria.

La definición positiva significa que cada bola está delimitada y contiene el origen en su interior.

La suavidad y la fuerte convexidad implican que las bolas tienen límites suaves y fuertemente convexos que varían suavemente al cambiar el punto base. Geométricamente, la fuerte convexidad significa que, en cualquier punto del límite de una bola, el límite local oscula un hiperelipsoide (es decir, una hipersuperficie cuadrática ). En particular, el hiperelipsoide osculador puede elegirse de forma única de modo que esté centrado en el origen, lo que corresponde a la forma bilineal simétrica.${\displaystyle g_{v}}$.

La fuerte convexidad permite una transformación de Legendre bien definida entre sus espacios tangente y cotangente.

Una métrica de Finsler es reversible si sus bolas son simétricas respecto a un punto .

Dejar${\displaystyle (M,\alpha )}$sea ​​una variedad riemanniana y${\displaystyle \beta }$una 1-forma diferencial en M tal que$${\displaystyle \forall v\in T_{x}M\setminus \{0\},\;\alpha (x)(v,v)>\beta (x)(v)^{2}}$$entonces

${\displaystyle F(x,v):={\sqrt {\alpha (x)(v,v)}}+\beta (x)(v)}$

define una métrica de Randers y${\displaystyle (M,F)}$es una variedad de Randers . ^{[ 2 ]} También se les llama${\displaystyle (\alpha,\beta)}$-Colectores Finsler. No son reversibles cuando${\displaystyle \beta \neq 0}$Las esferas unitarias de una variedad de Randers son elipsoides descentrados.

El problema de navegación de Zermelo plantea la búsqueda de la ruta más rápida para que un barco vaya del punto A al punto B en un océano en calma, considerando la presencia de un campo de velocidades de corriente oceánica. Si el campo de velocidades es menor que la velocidad máxima del barco, la geometría del problema corresponde a una variedad de Randers.

Dejar${\displaystyle (M,\alpha )}$sea ​​una variedad riemanniana y${\displaystyle \beta }$una 1-forma diferencial en M tal que$${\displaystyle \forall v\in T_{x}M\setminus \{0\},\;\alpha (x)(v,v)>\beta (x)(v)^{2}}$$entonces

${\displaystyle F(x,v):=\alpha (x)(v,v)/\beta (x)(v)}$

define un espacio de Kropina . ^{[ 3 ]} Estrictamente hablando, no es una geometría de Finsler, porque las bolas unitarias son elipsoides tan descentrados que los orígenes caen en sus límites , lo que significa que${\displaystyle F(x,v)}$solo se define en un semi-espacio abierto de${\displaystyle T_{x}M}$Sin embargo, muchos conceptos de la geometría de Finsler siguen siendo aplicables a los espacios de Kropina. En el problema de navegación de Zermelo, esto corresponde al caso en que la corriente oceánica alcanza en todas partes la velocidad máxima del barco.

Sea ( M , d ) una cuasimétrica tal que M también sea una variedad diferenciable y d sea compatible con la estructura diferencial de M en el siguiente sentido:

• Alrededor de cualquier punto z en M existe una carta suave ( U ,  φ) de M y una constante C  ≥  1 tal que para todo x , y ∈ U   

  ${\displaystyle {\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.}$

• La función d : M × M → [0, ∞] es suave en algún entorno perforado de la diagonal.      

Entonces se puede definir una función de Finsler F : TM →[0, ∞] mediante   

${\displaystyle F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}},}$

donde γ es cualquier curva en M con γ (0)  = x y γ' (0) = v. La función de Finsler F obtenida de esta manera se restringe a una norma asimétrica (típicamente no minkowskiana) en cada espacio tangente de M. La métrica intrínseca inducida d _L : M × M → [0, ∞] de la cuasimétrica original se puede recuperar a partir de   

${\displaystyle d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\},}$

y de hecho cualquier función de Finsler F :  T M  → [ 0, ∞) define un d _L cuasimétrico intrínseco en M mediante esta fórmula.  

La dualidad convexa (o transformación de Legendre) crea una biyección.${\displaystyle T_{x}M\leftrightarrow T_{x}^{*}M}$. Para cualquier unidad de longitud${\displaystyle v\in T_{x}M}$, construir el plano que es tangente a la bola unitaria en${\displaystyle v}$Ese es el dual convexo.${\displaystyle v^{*}}$Ahora extendamos esta biyección por 1-homogeneidad a una biyección completa .${\displaystyle T_{x}M\leftrightarrow T_{x}^{*}M}$.

El dual convexo de la bola unitaria también es fuertemente convexo y contiene el origen, definiendo así una métrica dual de Finsler (o co-Finsler).${\displaystyle H}$en el haz cotangente${\displaystyle T^{*}M}$Sobre una variedad dada, la operación dual convexa crea una biyección entre las métricas de Finsler y las métricas duales de Finsler que se pueden definir sobre la variedad.

Un espacio de Finsler es localmente proyectivamente plano (también conocido como localmente proyectivamente euclidiano, con extremos rectilíneos o con geodésicas rectas) si y solo si existe un atlas${\displaystyle \{U_{i},\phi _{i}\}}$, de tal manera que cualquier geodésica en una carta de coordenadas${\displaystyle \gamma :I\to U_{i}}$es, en coordenadas, de la forma${\displaystyle t\mapsto f(t){\vec {a}}+{\vec {b}}}$para algunos${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}}$y algunos estrictamente monótonos${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$Es globalmente proyectivamente plano si y solo si existe un único sistema de coordenadas que lo hace localmente proyectivamente plano alrededor de cada punto.

La cuestión de la planitud se planteó por primera vez en el contexto del cuarto problema de Hilbert . ^{[ 4 ]}

Debido a la homogeneidad de F , la longitud del arco

${\displaystyle L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt}$

La función de distribución de una curva diferenciable γ : [ a , b ] → M en M es invariante bajo reparametrizaciones estrictamente positivas monótonas . En particular, permite la parametrización de velocidad unitaria (o longitud de arco). Cabe señalar que, dado que una variedad de Finsler podría no ser reversible, la longitud de arco solo está bien definida para una curva diferenciable dirigida .

Una curva de velocidad constante γ es una geodésica de una variedad de Finsler si sus segmentos suficientemente cortos γ | _{[ c , d ]} minimizan la longitud en M desde γ ( c ) hasta γ ( d ). De forma equivalente, γ es una geodésica si es estacionaria para el funcional de energía.

${\displaystyle E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt}$

en el sentido de que su derivada funcional se anula entre curvas diferenciables γ : [ a , b ] → M con puntos finales fijos γ ( a ) = x y γ ( b ) = y . Esto puede interpretarse como un principio de acción estacionaria .

Como en el caso de la geometría riemanniana, en cualquier punto y en cualquier dirección existe una geodésica única que va en esa dirección. Utilizando la parametrización de velocidad unitaria, crea un transporte del vector tangente de longitud unitaria, que se extiende por 1-homogeneidad a un transporte del espacio tangente. Este es el flujo geodésico en el fibrado tangente . Tomando el dual convexo, define un flujo co- geodésico en el fibrado cotangente .

Una versión del principio de Huygens-Fresnel se aplica al flujo (co)geodésico. Específicamente, la métrica de Finsler induce una 1-forma de contacto en el espacio de vectores tangentes de longitud unitaria, que por dualidad es una 1-forma de contacto en el espacio de vectores cotangentes de longitud unitaria. Entonces, el flujo (co)geodésico es el flujo vectorial de Reeb correspondiente . ^{[ 5 ]}

El flujo geodésico es un flujo sobre el haz tangente${\displaystyle TM}$De forma equivalente, es el flujo de una sección del haz tangente doble.${\displaystyle TTM}$. Esta sección de${\displaystyle TTM}$es el rociado geodésico .

La ecuación de Euler-Lagrange para el funcional de energía E [ γ ] se expresa en las coordenadas locales ( x1 , ^... , xn , ^{v1 , ...} , vn ⁾ de T M como

${\displaystyle g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0,}$

donde k = 1, ..., n y g _ij es la representación de coordenadas del tensor fundamental, definido como

${\displaystyle g_{ij}(x,v):=g_{v}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{x},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{x}\right).}$

Suponiendo la fuerte convexidad de F ² ( x , v ) con respecto a v ∈ T _x M , la matriz g _ij ( x , v ) es invertible y su inversa se denota por g ^ij ( x , v ). Entonces γ : [ a , b ] → M es una geodésica de ( M , F ) si y solo si su curva tangente γ' : [ a , b ] → T M ∖ {0} es una curva integral del campo vectorial suave H en T M ∖ {0} definido localmente por

${\displaystyle \left.H\right|_{(x,v)}:=\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)},}$

donde los coeficientes de pulverización locales G ⁱ vienen dados por

${\displaystyle G^{i}(x,v):={\frac {1}{4}}g^{ij}(x,v)\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.}$

El campo vectorial H en T M ∖ {0} satisface JH  = V y [ V , H ] = H , donde J y V son el endomorfismo canónico y el campo vectorial canónico en T M ∖ {0}. Por lo tanto, por definición, H es un spray en M . El spray H define una conexión no lineal en el fibrado T M ∖ {0} → M a través de la proyección vertical     

${\displaystyle v:T(\mathrm {T} M\setminus \{0\})\to T(\mathrm {T} M\setminus \{0\});\quad v:={\frac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.}$

En analogía con el caso riemanniano , hay una versión

${\displaystyle D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}\left({\dot {\gamma }}(t),X(t)\right)=0}$

de la ecuación de Jacobi para una estructura de pulverización general ( M , H ) en términos de la curvatura de Ehresmann y la derivada covariante no lineal .

Por el teorema de Hopf-Rinow , la variedad puede cubrirse con conjuntos abiertos tales que cualesquiera dos puntos en un conjunto están conectados por una única curva que minimiza la longitud. Las curvas que minimizan la longitud siempre pueden ser reparametrizadas positivamente para ser geodésicas, y cualquier geodésica debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange para ^E [ γ ] . Suponiendo la fuerte convexidad de F2 existe una única geodésica maximal γ con γ (0) = x y γ' (0) = v para cualquier ( x , v ) ∈ T M ∖ {0} por la unicidad de las curvas integrales .       

Si F ² es fuertemente convexa, las geodésicas γ :  [0, b ] → M son de longitud mínima entre curvas cercanas hasta el primer punto γ ( s ) conjugado a γ (0) a lo largo de γ , y para t > s siempre existen curvas más cortas desde γ (0) hasta γ ( t ) cerca de γ , como en el caso riemanniano .     

El flujo geodésico determina cómo una trayectoria transporta su propio vector de velocidad. No determina cómo transporta otros vectores. Una conexión de Finsler lo extiende a un transporte, definiendo una conexión de Ehresmann en el fibrado tangente doble. Esta no es necesariamente una conexión afín , por lo que el transporte puede ser no lineal.

En consecuencia, la derivada covariante también puede ser no lineal. Asimismo, se define la forma de curvatura .