Geometría de contacto

Dado un${\displaystyle n}$-colector liso dimensional${\displaystyle M}$y un punto${\displaystyle p\in M}$, un elemento de contacto de${\displaystyle M}$con punto de contacto${\displaystyle p}$es un${\displaystyle n-1}$subespacio lineal de dimensión del espacio tangente a${\displaystyle M}$en${\displaystyle p}$Una estructura de contacto en una variedad de dimensión impar .${\displaystyle M}$, de dimensión${\displaystyle 2n+1}$, es una distribución suave de elementos de contacto, denotada por${\displaystyle \xi }$, que es genérico (en el sentido de ser máximamente no integrable ) en cada punto. Una variedad de contacto es una variedad diferenciable equipada con una estructura de contacto. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Debido a la ambigüedad por multiplicación con una función suave no nula, el espacio de todos los elementos de contacto de${\displaystyle M}$puede identificarse con un cociente del haz cotangente${\displaystyle T^{*}M}$(con la sección cero${\displaystyle 0_{M}}$eliminado), a saber: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathrm {PT} ^{*}M=(T^{*}M\setminus 0_{M})/{\sim }}$$ para${\displaystyle \omega _{i}\in T_{p}^{*}M}$,${\displaystyle \omega _{1}\sim \omega _{2}\iff \exists \,\lambda \neq 0}$con${\displaystyle \omega _{1}=\lambda \omega _{2}}$.

De forma equivalente, una estructura de contacto puede definirse como una sección completamente no integrable de${\displaystyle C_{2n}M}$, el${\displaystyle 2n}$-ésimo paquete de contactos de${\displaystyle M}$.

Según el teorema de Darboux , todas las estructuras de contacto de la misma dimensión son localmente difeomorfas. Por lo tanto, a diferencia de la geometría riemanniana, pero al igual que la geometría simpléctica, la teoría local de la geometría de contacto es trivial y no existen análogos de ángulo o curvatura. Sin embargo, la teoría global no es trivial y existen estructuras de contacto globalmente no equivalentes.

A diferencia de un campo vectorial o un campo covectorial (es decir, una 1-forma ), una estructura de contacto no posee un sentido intrínseco de tamaño o coorientación. En este sentido, puede interpretarse como el espacio de superficies infinitesimales no parametrizadas , de forma similar a como un fibrado tangente puede interpretarse como el espacio de curvas infinitesimales parametrizadas en el tiempo.

Un formulario de contacto es un formulario de 1 elemento.${\displaystyle \alpha }$que proporciona un sentido intrínseco de tamaño y coorientación, es decir, una sección suave del fibrado cotangente. La condición de no integrabilidad puede darse explícitamente en el cálculo exterior : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}\neq 0\ {\text{donde}}\ ({\text{d}}\alpha )^{n}=\underbrace {{\text{d}}\alpha \wedge \ldots \wedge {\text{d}}\alpha } _{n{\text{-veces}}}.}$

Tenga en cuenta que dado cualquier${\displaystyle f}$función suave no nula ,${\displaystyle f\alpha }$da la misma estructura de contacto. Para absorber la ambigüedad de magnitud, se puede considerar el conjunto de todos${\displaystyle f\alpha }$para una suavidad arbitraria${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$. Esto constituye un ideal de todas las 1-formas en${\displaystyle M}$, llamado el ideal de contacto .

Según el teorema de Darboux , alrededor de cualquier punto existe un entorno con un sistema de coordenadas.${\displaystyle (z,x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n})}$, de tal manera que${\displaystyle \alpha =dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}}$Estas coordenadas se denominan coordenadas de Darboux . En este sentido, la geometría de contacto es una distribución estable , ya que todas son iguales salvo difeomorfismo local .

${\displaystyle \alpha }$no necesita estar definido globalmente. De hecho, a veces no puede estar definido globalmente debido a obstrucciones topológicas. Una obstrucción es que si${\displaystyle \alpha }$se define globalmente, entonces${\displaystyle \alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}}$es una forma de volumen , por lo tanto${\displaystyle M}$es orientable. Por lo tanto, si${\displaystyle M}$no es orientable, entonces${\displaystyle \alpha }$no se puede definir globalmente. Otro obstáculo es la coorientabilidad.

Una estructura de contacto es coorientable si y solo si existe una elección global del lado "positivo" de cada elemento de contacto. Es decir, la forma de contacto${\displaystyle \alpha }$puede definirse globalmente como una sección no nula en el fibrado cotangente${\displaystyle T^{*}M}$. En este caso,${\displaystyle \alpha }$Se define de forma única, salvo una multiplicación por una función suave no nula. Una coorientación puede definirse como una sección global no nula del fibrado de líneas.${\displaystyle TM/\ker \alpha }$.

La estructura de contacto es coorientable si y solo si${\displaystyle TM/\ker \alpha \cong M\times \mathbb {R} }$es trivial, si y solo si la cohomología es trivial, y más específicamente si y solo si la primera clase de Stiefel-Whitney es trivial.

Porque${\displaystyle \alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}\neq 0}$El teorema de Frobenius sobre integrabilidad implica que el campo de contacto ξ es completamente no integrable . De hecho, las estructuras de contacto se definen como distribuciones completamente no integrables. No se puede encontrar una hipersuperficie en M cuyos espacios tangentes coincidan con ξ , ni siquiera localmente. De hecho, no existe ninguna subvariedad de dimensión mayor que k cuyos espacios tangentes se encuentren en ξ . Una subvariedad que alcanza este límite de dimensión k es una subvariedad legendriana .

Para las 3-variedades, existe una caracterización geométrica de las estructuras de contacto en ellas. Una distribución${\displaystyle {\mathcal {D}}}$de elementos planos en una 3-variedad es una estructura de contacto si y solo si en cualquier punto${\displaystyle p}$en cualquier superficie incrustada${\displaystyle \Sigma }$, el contacto en${\displaystyle p}$entre${\displaystyle \Sigma }$y${\displaystyle {\mathcal {D}}}$es como máximo de orden 1. ^{[ 3 ] : Teorema 1.6.2}

No integrabilidad máxima, según se define por${\displaystyle \alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}\neq 0}$, puede considerarse una propiedad genérica de las distribuciones, ya que${\displaystyle \alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}\neq 0}$es una ecuación algebraica no genérica sobre las derivadas de los componentes de${\displaystyle \alpha }$Esta perspectiva explica por qué se trata de una distribución estable.

Otra perspectiva sobre la no integrabilidad se obtiene mediante el teorema de conectividad de Chow-Rashevskii , que establece que cualesquiera dos puntos en una variedad de contacto pueden conectarse mediante una curva suave tangente a la estructura de contacto. Esto se ha generalizado a variedades subriemannianas utilizando el lenguaje de la termodinámica teórica, especialmente los ciclos de Carnot . ^{[ 4 ]}

Otra perspectiva es a través del álgebra de Lie de la distribución. Existe hasta${\displaystyle n}$campos vectoriales${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$en la distribución de tal manera que no generen .

La estructura de contacto estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, con coordenadas ( x , y , z ), es la forma única dz − y dx . El plano de contacto ξ en un punto ( x , y , z ) está generado por los vectores X ₁ = ∂ _y y X ₂ = ∂ _x + y ∂ _z .

Estos planos parecen retorcerse a lo largo del eje y . No es integrable, como se puede comprobar dibujando un cuadrado infinitesimal en el plano x - y y siguiendo su trayectoria. Tras completar un ciclo, la trayectoria no volvería a la misma coordenada z . Este es un ejemplo del teorema de conectividad de Chow-Rashevskii.

Este ejemplo se generaliza a cualquier${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$Su estructura de contacto estándar es${\displaystyle \theta$ :=dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}} . Es estándar, porque el teorema de Darboux establece que cualquier estructura de contacto es localmente la misma que la estándar.

Dado cualquier n , la forma de contacto estándar en la esfera (2n-1)${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$se obtiene restringiendo la 1-forma de Liouville${\displaystyle \lambda =\Sigma _{i}\left(x_{i}dy_{i}-y_{i}dx_{i}\right)}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$a la esfera unitaria . De forma equivalente, se obtiene mediante la 1-forma de Liouville en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \Sigma _{j}z_{j}d{\bar {z}}_{j}-{\bar {z}}_{j}dz_{j}=dr\circ J}$, dónde${\displaystyle J}$es la multiplicación por${\displaystyle i}$, es decir, la estructura compleja estándar en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

El campo vectorial de Reeb es${\displaystyle \Sigma _{j=1}^{n}\left(x_{j}\partial _{y_{j}}+y_{j}\partial _{x_{j}}\right)=\Sigma _{j=1}^{n}\left(z_{j}\partial _{z_{j}}+{\bar {z}}_{j}\partial _{{\bar {z}}_{j}}\right)}$, que genera la fibración de Hopf .

De forma equivalente, consideremos la estructura simpléctica estándar.${\displaystyle \omega =\Sigma _{i}dx_{i}\wedge dy_{i}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$Cada subespacio unidimensional${\displaystyle V}$es isotrópico y tiene un subespacio coisotrópico complementario.${\displaystyle V^{\omega }}$que lo contiene. Proyectivizado a${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{2n})}$, cada punto en${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{2n})}$tiene un plano complementario que contiene el punto. Esta distribución de planos es isomorfa a la estructura de contacto estándar en${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$.

Dado un conjunto${\displaystyle M}$de dimensión${\displaystyle n}$, el espacio de un solo jet${\displaystyle J^{1}(M,\mathbb {R} )}$es el espacio de gérmenes de tipo${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$identificado hasta el contacto de orden 1. Intuitivamente, cada punto en${\displaystyle J^{1}(M,\mathbb {R} )}$es una aplicación desde un entorno infinitesimal de${\displaystyle M}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$Cada miembro del espacio puede identificarse mediante las tres cantidades. ${\displaystyle x\in M,f(x)\in \mathbb {R} ,\nabla f(x)\in T_{x}^{*}M}$, de este modo${\displaystyle J^{1}(M,\mathbb {R} )}$es una variedad de dimensión${\displaystyle 2n+1}$y puede identificarse con${\displaystyle T^{*}M\times \mathbb {R} }$Tiene una forma de contacto natural.${\displaystyle \alpha =df-\theta }$dada por la forma 1 tautológica${\displaystyle \theta =\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}}$. La estructura de contacto estándar es el caso especial donde${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$.

Cualquier función primeramente diferenciable${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$luego se eleva de forma única a una subvariedad legendriana en${\displaystyle J^{1}(M,\mathbb {R} )}$y, a la inversa, cualquier subvariedad legendriana es la elevación de una función primeramente diferenciable.${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$. Su proyección a${\displaystyle M\times \mathbb {R} }$es la gráfica de la función. Esto también muestra que${\displaystyle J^{1}(M,\mathbb {R} )}$se incrusta en el haz de contacto de elementos hiperplanos${\displaystyle C_{n}(M\times \mathbb {R} )}$, definido a continuación. ^{[ 5 ] : 311}

Dado un conjunto${\displaystyle M}$de dimensión${\displaystyle n+1}$, su n -ésimo paquete de contactos${\displaystyle C_{n}M}$es el haz de sus elementos de contacto de dimensión n . De forma más abstracta, es el haz cotangente proyectivizado.${\displaystyle C_{n}(M)\cong \mathbb {P} (T^{*}M)}$. A nivel local, expandir${\displaystyle M}$en coordenadas como${\displaystyle q^{0},\dots ,q^{n}}$, entonces el paquete de contactos localmente tiene coordenadas${\displaystyle (q^{0},\dots ,q^{n},[p_{0},\dots ,p_{n}])}$, dónde${\displaystyle p_{0},\dots ,p_{n}}$utiliza coordenadas proyectivas . Cualquier n- subvariedad de${\displaystyle M}$eleva de forma única a una n -subvariedad de${\displaystyle C_{n}M}$. Por el contrario, una n -subvariedad de${\displaystyle C_{n}(M)}$es un levantamiento de una n -subvariedad de${\displaystyle M}$Si aniquila la forma 1${\displaystyle \Sigma _{\mu =0}^{n}p_{\mu }dq^{\mu }}$. En el subconjunto donde${\displaystyle p_{0}\neq 0}$, la condición se convierte en${\displaystyle dq^{0}+\Sigma _{i=1}^{n}p_{i}dq^{i}}$, que es la estructura de contacto estándar.

De manera similar, el haz de contacto de elementos hiperplanos coorientados${\displaystyle C_{n}(M)^{+}\cong \mathbb {S} (T^{*}M)}$se obtiene esferizando el fibrado cotangente, es decir, cociente solo por${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$.

La estructura de contacto en${\displaystyle C_{n}(M)}$También se puede describir sin coordenadas. Definir${\displaystyle \pi :C_{n}(M)\to M}$ser la proyección de fibra que mapea un elemento de hiperplano a su punto base. Entonces, para cualquier${\displaystyle \xi \in C_{n}(M)}$, un vector tangente local${\displaystyle v\in T_{\xi }C_{1}(M)}$es una traslación simultánea del punto base y una rotación del elemento hiperplano. Entonces${\displaystyle v}$está en el hiper-hiperplano en${\displaystyle \xi }$si y solo si${\displaystyle \pi (v)}$está en el elemento hiperplano de${\displaystyle \xi }$mismo. En otras palabras, el${\displaystyle 2n}$Hiperhiperplano dimensional en${\displaystyle \xi }$está abarcado por la traslación del punto base dentro${\displaystyle \xi }$, así como la rotación del elemento hiperplano manteniendo su punto base sin cambios. ^{[ 5 ] : 311}

Tenga cuidado con los dos significados de hiperplanos aquí. Un elemento hiperplano en${\displaystyle M}$es un hiperplano infinitesimal de dimensión n en${\displaystyle M}$Estos son los puntos del colector de contacto${\displaystyle C_{n}(M)}$. La estructura de contacto de${\displaystyle C_{n}(M)}$consta de elementos hiperplanos en${\displaystyle C_{n}(M)}$, que son hiperplanos infinitesimales de dimensión 2 n en${\displaystyle C_{n}(M)}$La estructura de contacto no está terminada${\displaystyle M}$, que puede tener dimensiones pares, mientras que${\displaystyle C_{n}(M)}$necesariamente tiene dimensiones extrañas.

Cuando${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}}$,${\displaystyle C_{1}M}$es el fibrado de contacto de elementos de línea en el plano, y es homeomorfo al producto directo del plano con el espacio 1-proyectivo.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{1})}$. La estructura de contacto de${\displaystyle C_{1}(M)}$parece como elementos planos que giran alrededor de su eje mientras se mueven a lo largo de la "vertical".${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{1})}$dirección, completando un giro de 180° cuando termina un ciclo a través de${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{1})}$. La estructura de contacto estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Luego se puede inducir mediante un mapa.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{1})}$. De forma equivalente, la estructura de contacto en${\displaystyle C_{1}(M)}$se puede construir pegando${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$en el infinito . Sin embargo, mientras que la estructura de contacto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$es coorientable, que en${\displaystyle C_{1}(M)}$no lo es, puesto que de${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {R} ^{1})}$no es orientable. Puede ser doblemente cubierto por${\displaystyle C_{1}(M)^{+}\cong \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$, que es coorientable. ^{[ 3 ] : 8} Un círculo en el plano se eleva a una hélice en${\displaystyle C_{1}(M)^{+}}$, pero una doble hélice en${\displaystyle C_{1}(M)}$.

Hasta la década de 1950, los únicos colectores de contacto eran los mencionados anteriormente, hasta que Boothby y Wang en 1958 realizaron una construcción general mediante contacto . ^{[ 6 ]}

Los colectores Sasakian son colectores de contacto.

Las variedades de Brieskorn se definen por$${\displaystyle \Sigma \left(a_{0},\ldots ,a_{n}\right)=\left\{\left(z_{0},\ldots ,z_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n+1}\mid z_{0}^{a_{0}}+\cdots +z_{n}^{a_{n}}=0\right\}\cap S^{2n+1}}$$donde el${\textstyle a_{j}}$son números naturales${\textstyle \geq 2}$y${\textstyle \mathbb {S} ^{2n+1}}$es la esfera unitaria en${\textstyle \mathbb {C} ^{n+1}}$. Tiene una estructura de contacto definida por${\textstyle {\frac {i}{2}}\Sigma _{j=0}^{n}\left(z_{j}d{\bar {z}}_{j}-{\bar {z}}_{j}dz_{j}\right)=0}$.

Toda variedad tridimensional compacta y orientable conexa admite una estructura de contacto. ^{[ 7 ]} Este resultado se generaliza a cualquier variedad casi de contacto compacta . ^{[ 8 ]}

Dado un colector de contacto${\displaystyle (M,\alpha )}$, una subvariedad de contacto es alguna subvariedad${\displaystyle L\subset M}$de tal manera que${\displaystyle (L,\alpha |_{L})}$es un subcolector de contacto.

Dado un colector de contacto${\displaystyle (M,\alpha )}$, una subvariedad isotrópica (o subvariedad integral ) es alguna subvariedad${\displaystyle L\subset M}$de tal manera que para cualquier punto${\displaystyle p\in L}$, el espacio tangente está dentro de la distribución${\displaystyle T_{p}L\subset \ker \alpha }$, eso es,${\displaystyle \alpha |_{L}=0}$.

En particular, dado que${\displaystyle (d\alpha )^{n}\wedge \alpha \neq 0}$en cualquier momento${\displaystyle p\in L}$,${\displaystyle d\alpha _{p}}$es una forma simpléctica en el hiperplano en${\displaystyle p}$. Sin embargo, también debemos tener${\displaystyle d\alpha |_{L}=0}$, entonces${\displaystyle T_{p}L}$es un espacio nulo en el hiperplano local, que debe tener dimensión como máximo${\displaystyle n}$.

Como se describió anteriormente, una variedad integral puede tener hasta n dimensiones. Estas variedades integrales extremales son subvariedades legendrianas . De hecho, tales subvariedades son extremadamente comunes, ya que satisfacen un principio h : ^{[ 1 ] : 367}

Dadas las coordenadas locales de Darboux tales que${\displaystyle \alpha =dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}}$cualquier partición del conjunto de índices${\displaystyle \{1,\dots ,n\}=I\cup J}$y cualquier función suave${\displaystyle F(x_{I},y_{J}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$,$${\displaystyle y_{I}={\frac {\partial F}{\partial x_{I}}},\quad x_{J}=-{\frac {\partial F}{\partial y_{J}}},\quad z=F-x_{I}{\frac {\partial F}{\partial x_{I}}}}$$define una subvariedad legendriana parametrizada por${\displaystyle (x_{I},y_{J})}$Por el contrario, cualquier subvariedad legendriana es localmente de esta forma. Por lo tanto, cada subvariedad legendriana está completamente definida por sus funciones generadoras (locales).

Es un principio h, ya que cualquier subvariedad legendriana de este tipo es homotópica a la que es algo trivial definida por${\displaystyle F(x_{I},y_{J})=0}$.

Dadas dos subvariedades legendrianas${\displaystyle L_{0}\subset M_{0},\;L_{1}\subset M_{1}}$, si existe un mapeo de difeomorfismo${\displaystyle L_{0}}$a${\displaystyle L_{1}}$, entonces se puede extender a un contactomorfismo desde un entorno de${\displaystyle L_{0}\subset M_{0}}$a un barrio de${\displaystyle L_{1}\subset M_{1}}$. Dado que localmente, cualesquiera dos n- subvariedades legendrianas son difeomorfas a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, esto implica inmediatamente que alrededor de cualquier punto${\displaystyle p\in L}$existe un sistema de coordenadas local en el que${\displaystyle L}$se define por${\displaystyle y_{i}=0,z=0}$, y${\displaystyle \alpha =dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}}$. ^{[ 3 ] : 72}

Además, esto permite una forma de teorema de Darboux global para subvariedades legendrianas. Por ejemplo, para cualquier nudo legendriano en cualquier 3-variedad de contacto, existe un entorno que es contactomorfo al nudo legendriano estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$, por lo tanto, existe un sistema de coordenadas local${\displaystyle (x,y,\theta )}$alrededor del nudo, en el que el nudo está${\displaystyle x=0,y=0}$y el formulario de contacto es${\displaystyle \alpha =\cos \theta dx-\sin \theta dy}$. ^{[ 3 ] : 72}

Una fibración legendriana es una partición de la variedad en subvariedades legendrianas. La forma de contacto estándar${\displaystyle \alpha =dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}}$tiene una fibración legendriana estándar definida como las fibras de${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z)}$Una equivalencia de fibraciones de Legendre es un contactomorfismo que también preserva las subvariedades legendrianas. Como otro fenómeno de Darboux, cualquier fibración legendriana es localmente la fibración legendriana estándar. ^{[ 1 ] : 367}

Las subvariedades legendrianas son análogas a las subvariedades lagrangianas de las variedades simplécticas. Existe una relación precisa: la elevación de una subvariedad legendriana en una simpléctica de una variedad de contacto es una subvariedad lagrangiana.

El ejemplo más simple de subvariedades legendrianas son las curvas dentro de una 3-variedad de contacto. Cuando la curva es cerrada, es un nudo legendriano . Los nudos legendrianos no equivalentes pueden ser equivalentes como nudos suaves; es decir, hay nudos legendrianos que son isotópicos suaves entre sí, pero al menos un nudo intermedio durante la isotopía no debe ser legendriano. Esto se debe a que los nudos legendrianos son rígidos .

En general, las subvariedades legendrianas son objetos muy rígidos; normalmente existen infinitas clases de isotopía legendriana de incrustaciones, todas ellas isotópicas suaves. La teoría de campos simpléctica proporciona invariantes de las subvariedades legendrianas, denominadas homología de contacto relativo , que a veces permiten distinguir subvariedades legendrianas distintas que son topológicamente idénticas (es decir, isotópicas suaves).

En una variedad simpléctica${\displaystyle (P,\omega )}$, un campo vectorial${\displaystyle X}$es (localmente) Liouville si y solo si${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\omega }$Según la fórmula mágica de Cartan , esto es equivalente a${\displaystyle d(\omega (X,\cdot ))=\omega }$. Dado que es una 1-forma tautológica${\displaystyle \theta =\Sigma _{i}p_{i}dq^{i}}$Cuando se diferencia, crea una forma simpléctica.${\displaystyle \omega =d\theta }$, un campo vectorial de Liouville puede interpretarse como una forma de recuperar la 1-forma tautológica, es decir, identificar la variedad simpléctica (localmente) con la estándar.${\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}}$.

Una forma de Liouville es cualquier forma de 1${\displaystyle \lambda }$de tal manera que${\displaystyle \omega =d\lambda }$. La forma 1 tautológica es un ejemplo.

Dado un formulario de contacto${\displaystyle \alpha }$en un colector${\displaystyle M}$, tiene un campo vectorial de Reeb , o campo vectorial característico.${\displaystyle R}$, dado por$${\displaystyle d\alpha (R,\cdot )=0,\;\alpha (R)=1}$$En coordenadas locales de Darboux,${\displaystyle \alpha =dz-\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i},\;R=\partial _{z}}$En particular, demuestra que está definido de forma única.

Según la fórmula mágica de Cartan , esto implica${\displaystyle {\mathcal {L}}_{R}\alpha =0}$, es decir, el campo vectorial de Reeb es una transformación de contacto infinitesimal estricta de${\displaystyle (M,\alpha )}$Visualmente, si el formulario de contacto se dibuja como elementos hiperplanos emparejados, estos se conservan bajo el flujo vectorial de Reeb. ^{[ 3 ] : 34}

Porque el campo de Reeb para${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle f\alpha }$En general no son paralelos, el campo de Reeb no es parte de la estructura de contacto, sino más bien de la dinámica de contacto .

Si una forma de contacto surge como una hipersuperficie de energía constante dentro de una variedad simpléctica, entonces el campo vectorial de Reeb es la restricción al subconjunto del campo vectorial hamiltoniano asociado a la función de energía. (Esta restricción genera un campo vectorial en la hipersuperficie de contacto porque el campo vectorial hamiltoniano conserva los niveles de energía).

La dinámica del campo de Reeb puede utilizarse para estudiar la estructura de la variedad de contacto o incluso de la variedad subyacente mediante técnicas de homología de Floer, como la teoría de campos simplécticos y, en tres dimensiones, la homología de contacto embebida . Diferentes formas de contacto cuyos núcleos dan la misma estructura de contacto producirán diferentes campos vectoriales de Reeb, cuya dinámica es, en general, muy diferente. Las distintas variantes de la homología de contacto dependen a priori de la elección de una forma de contacto y construyen estructuras algebraicas a partir de las trayectorias cerradas de sus campos vectoriales de Reeb; sin embargo, estas estructuras algebraicas resultan ser independientes de la forma de contacto, es decir, son invariantes de la estructura de contacto subyacente, de modo que, en última instancia, la forma de contacto puede considerarse una elección auxiliar. En el caso de la homología de contacto embebida, se obtiene un invariante de la variedad tridimensional subyacente, es decir, la homología de contacto embebida es independiente de la estructura de contacto; esto permite obtener resultados que son válidos para cualquier campo vectorial de Reeb en la variedad.

El campo de golf Reeb recibe su nombre en honor a Georges Reeb .

Dado un simpléctico${\displaystyle 2n}$-colector${\displaystyle (P,\omega )}$, si su forma simpléctica no solo es cerrada sino también exacta, entonces dejemos${\displaystyle \omega =d\theta }$para alguna forma 1${\displaystyle \theta }$sobre ello. Entonces${\displaystyle (P\times \mathbb {R} ,\alpha )}$dónde${\displaystyle \alpha$ :=dW-\theta } es una variedad de contacto.

Esta construcción requiere la clase de cohomología de${\displaystyle \omega }$ser trivial. Si lo es${\displaystyle \mathbb {Z} }$, entonces se puede contactar con la construcción de Boothby-Wang. ^{[ 10 ]} Supongamos${\textstyle [\omega ]/2\pi \in H^{2}(P;\mathbb {Z} )}$Tomar un principio${\textstyle \mathbb {S} ^{1}}$-manojo${\textstyle \pi :Y\rightarrow P}$con la clase de Euler${\textstyle [\omega ]/2\pi }$Cualquier conexión de forma 1${\textstyle \alpha }$que satisface la condición de curvatura${\textstyle d\alpha =\pi ^{*}\omega }$es un formulario de contacto. Diferentes opciones del formulario de conexión${\textstyle \alpha }$son isotópicos como formas de contacto. El campo de Reeb genera el${\textstyle \mathbb {S} ^{1}}$-acción y${\textstyle \pi$ :(Y,\operatorname {ker} \alpha )\rightarrow (P,\omega )} es la fibración de precuantización. ^{[ 3 ] : Sec. 7.2}

Dado un conjunto simpléctico${\displaystyle (P,\omega )}$y un campo vectorial de Liouville${\displaystyle X}$sobre ello:${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\omega }$, define la 1-forma${\displaystyle \alpha$ :=\omega (X,\cdot )} , entonces por la fórmula mágica de Cartan,${\displaystyle d\alpha =\omega }$, entonces${\textstyle \alpha \wedge d\alpha ^{n-1}={\tfrac {1}{n}}\iota _{X}(\omega ^{n})}$. En particular, si${\displaystyle M\subset P}$es un${\displaystyle (2n-1)}$-subvariedad que es transversal en todas partes a${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle (M,\alpha |_{M})}$es un colector de contacto.

En general, definimos una subvariedad de tipo contacto de la variedad simpléctica original como una subvariedad de codimensión 1 transversal a algún campo vectorial de Liouville. Esta construcción demuestra que a cualquier subvariedad de tipo contacto se le puede asignar una forma de contacto definida globalmente, por lo que es coorientable.

Dado que una subvariedad de tipo contacto está atravesada por vectores de Liouville,${\displaystyle P}$localmente parece que${\displaystyle M\times \mathbb {R} }$y sugiere una operación inversa que extiende una variedad de contacto a una variedad simpléctica. De hecho, la simplectización es una inversa estricta de esta operación en el siguiente sentido: ^{[ 11 ]}

Dado un conjunto simpléctico${\displaystyle (P,\omega )}$y un tipo compacto y de contacto${\displaystyle M\subset P}$, construir un colector de contacto${\displaystyle (M,\alpha |_{M})}$como se describe, luego construya un positivo (ya que${\displaystyle M}$es coorientable) simplicidad${\displaystyle (P^{+},\omega ')}$dónde${\displaystyle P^{+}=M\times \mathbb {R} ^{+}}$. Entonces existe un vecindario de${\displaystyle M\subset P}$y un vecindario de${\displaystyle M\times \{1\}\subset P^{+}}$que son isomorfos simplécticamente.

Dado un colector de contacto${\displaystyle (M,\alpha )}$, construir coordenadas locales de Darboux de modo que${\displaystyle \alpha =dW-\theta }$, con${\displaystyle \theta =p_{i}dq^{i}}$, entonces${\displaystyle d\alpha =-d\theta =\omega }$, dónde${\displaystyle \omega =dq^{i}\wedge dp_{i}}$y el campo vectorial de Reeb${\displaystyle R=\partial _{W}}$. Por lo tanto, si${\displaystyle P\subset M}$es alguno${\displaystyle 2n}$-subvariedad que es transversal al campo vectorial de Reeb, entonces${\displaystyle (P,d\alpha |_{P})}$es una variedad simpléctica. El flujo de campo vectorial de Reeb proporciona homotopía simplectomorfa entre estas, otra instancia del principio h. ^{[ 12 ]}

Dado cualquier colector de contacto${\displaystyle M}$de dimensión${\displaystyle 2n-1}$con una distribución de hiperplanos${\displaystyle \xi }$, se puede simplificar a una variedad simpléctica${\displaystyle (P,\omega )}$de dimensión${\displaystyle 2n}$. La variedad consta de covectores de${\displaystyle M}$que están en pleno contacto con la distribución de hiperplanos:$${\displaystyle P:=\{(p,w):p\in M,w\in T_{p}^{*}M,\ker w\in \xi \}}$$Esto produce${\displaystyle \theta }$, una 1-forma tautológica global en${\displaystyle P}$Cualquier vector${\displaystyle V\in T_{(p,w)}P}$proyectos hasta un vector${\displaystyle v\in T_{p}M}$y definimos${\displaystyle \theta (V):=w(v)}$. Luego define${\displaystyle \omega$ :=d\theta } . Esta es una forma simpléctica, como se puede verificar construyendo coordenadas de Darboux locales. Por ejemplo, dada una n -variedad${\displaystyle M}$su paquete de contactos${\displaystyle C_{n-1}(M)}$simpatiza con${\displaystyle T^{*}M\setminus \{0\}}$, el fibrado cotangente no nulo.

Esta construcción no depende de la elección del formulario de contacto. Si un formulario de contacto${\displaystyle \alpha }$fueron elegidos localmente, luego$${\displaystyle P:=\{(p,r\alpha _{p}):p\in M,r\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\}}$$y${\displaystyle \omega =d(r\alpha )}$.${\displaystyle P}$es un haz de fibras sobre${\displaystyle M}$, con fibras siendo${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$Si la estructura de contacto es coorientable, entonces la forma de contacto se puede elegir globalmente y el haz de fibras se divide en dos haces de líneas triviales:$${\displaystyle P^{\pm }:=\{(p,r\alpha _{p}):p\in M,\pm r>0\}\cong M\times \mathbb {R} }$$Existe una biyección entre los simplectomorfismos infinitesimales 1-homogéneos de la variedad simpléctica y los contactomorfismos infinitesimales de la variedad de contacto. En una dirección, dado un campo vectorial${\displaystyle v}$en${\displaystyle M}$que es un contactomorfismo infinitesimal, fluye cualquier${\displaystyle (p,w)\in P}$para algunos${\displaystyle (p',w')}$Dado que conserva la estructura de contacto,${\displaystyle (p',w')\in P}$. Además, para cualquier${\displaystyle k\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$fluye${\displaystyle (p,kw)}$a${\displaystyle (p',kw')}$Por lo tanto, se eleva a un campo vectorial.${\displaystyle V}$en${\displaystyle P}$Se trata de un simplectomorfismo infinitesimal que es 1-homogéneo a lo largo de las fibras. Recíprocamente, cualquier simplectomorfismo infinitesimal que sea 1-homogéneo a lo largo de las fibras se proyecta hacia abajo en un contactomorfismo infinitesimal.

Digamos que un hamiltoniano${\displaystyle H:P\to \mathbb {R} }$es 1-homogéneo si y solo si$${\displaystyle H(p,kw)=kH(p,w),\quad \forall (p,w)\in P,\;k\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$$entonces cada contactomorfismo infinitesimal de${\displaystyle P}$es la proyección de un flujo hamiltoniano de${\displaystyle P}$generado por algún hamiltoniano 1-homogéneo. ^{[ 1 ] : 361} Este es un isomorfismo de álgebra de Lie entre contactomorfismos infinitesimales y simplectomorfismos infinitesimales. ^{[ 1 ] : 362} Esto traduce la teoría bien desarrollada de flujos hamiltonianos a la teoría de flujos de contacto.

De forma análoga a como una función de valor real (un hamiltoniano) en una variedad simpléctica genera un flujo, una función de valor real en una variedad de contacto genera un flujo, que puede denominarse hamiltoniano de contacto.

Arreglar un formulario de contacto${\displaystyle \alpha }$en${\displaystyle M}$Dado cualquier flujo de contacto${\displaystyle v}$en${\displaystyle M}$, utilice la construcción anterior para elevar a un flujo simpléctico${\displaystyle V}$en${\displaystyle P}$generado por un hamiltoniano 1-homogéneo${\displaystyle H:P\to \mathbb {R} }$Esto luego se proyecta de vuelta a un hamiltoniano de contacto.${\displaystyle K:M\to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle K(p)=H(p,\alpha _{p})}$Resulta que${\displaystyle K(p)=\alpha (v_{p})}$, o más sucintamente,${\displaystyle K=\alpha (v)}$.

El flujo conserva una subvariedad integral si y solo si${\displaystyle K=0}$en la subvariedad.

Supongamos que H es una función suave en T* M , que E es un valor regular para H , de modo que el conjunto de nivel${\displaystyle L=\{(q,p)\in T^{*}M\mid H(q,p)=E\}}$es una subvariedad lisa de codimensión 1. Un campo vectorial Y se denomina campo vectorial de Euler (o Liouville) si es transversal a L y simpléctico, lo que significa que la derivada de Lie${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}\omega =\omega }$. De hecho, ser conformemente simpléctico es suficiente, lo que significa${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}\omega =f\omega }$para alguna función cero en ninguna parte${\displaystyle f}$. Entonces${\displaystyle \omega (Y,\cdot )}$es un formulario de contacto en L.

Esta construcción tiene su origen en la mecánica hamiltoniana , donde${\displaystyle M}$es un espacio de configuración,${\displaystyle T^{*}M}$es el espacio de fases,${\displaystyle H:T^{*}M\to \mathbb {R} }$es el hamiltoniano, y${\displaystyle E}$es la energía. Si${\displaystyle T^{*}M}$tiene las coordenadas estándar${\displaystyle p_{i},q^{i}}$, entonces deja${\displaystyle \theta =p_{i}dq^{i}}$Siendo la 1-forma tautológica, un campo vectorial de Liouville puede definirse mediante${\displaystyle \omega (Y,\cdot )=\theta }$. En particular,${\displaystyle Y=p_{i}\partial _{q^{i}}}$es Liouville.

En términos más generales, si${\displaystyle P}$es una variedad simpléctica con una forma simpléctica exacta${\displaystyle \omega =d\theta }$, y${\displaystyle \omega (Y,\cdot )=\theta }$, entonces${\displaystyle Y}$es Liouville.

La motivación original para el estudio de la geometría de contacto fue la resolución de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de primer orden . En general, el problema consiste en encontrar alguna${\displaystyle z(x_{1},\dots ,x_{n})}$Satisfacer una ecuación diferencial parcial$${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n},\partial _{1}z,\dots ,\partial _{n}z,z)=0}$$La idea de Sophus Lie era extender la ecuación al espacio de un solo jet.${\displaystyle J^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$, en la que la ecuación${\displaystyle F(x,y,z)=0}$Se especifica una hipersuperficie de 2n dimensiones, y el problema se reduce a encontrar subvariedades legendrianas dentro de esta hipersuperficie.

El principio de Huygens-Fresnel de propagación de ondas puede formalizarse como una transformación de contacto. Específicamente, dada una n -variedad riemanniana${\displaystyle M}$Consideremos sus curvas geodésicas de velocidad unitaria (es decir, parametrizadas por la longitud de arco). Esto produce un transporte de vectores tangentes de longitud unitaria y, por lo tanto, un campo de flujo vectorial en el haz tangente unitario.${\displaystyle UT(M)}$Este es el flujo geodésico . De manera dual, la propagación de frentes de onda infinitesimales (ondículas) produce un transporte de vectores cotangentes de longitud unitaria y, por lo tanto, un campo de flujo vectorial en el haz cotangente unitario.${\displaystyle UT^{*}(M)}$. Este es el flujo cogeodésico . La 1-forma tautológica en${\displaystyle T^{*}M}$restringido a${\displaystyle UT^{*}(M)}$es un formulario de contacto, que luego induce un contacto en${\displaystyle UT(M)}$El principio de Huygens-Fresnel establece que el flujo (co)geodésico es una simetría de contacto infinitesimal estricta y, más precisamente, es el campo vectorial de Reeb . ^{[ 1 ] : 360 [ 3 ] : Sec. 1.5 [ 11 ]} Esta construcción se generaliza directamente a flujos (co)geodésicos en variedades de Finsler . ^{[ 16 ]}

Subvariedades legendrianas en${\displaystyle UT^{*}(M)}$corresponden a superficies de frente de onda en${\displaystyle M}$y la propagación de ondas en el tiempo corresponde a la aplicación del flujo de Reeb a la subvariedad legendriana del frente de onda. Subvariedades legendrianas en${\displaystyle UT(M)}$Corresponden a tipos especiales de haces de rayos , y el flujo de Reeb corresponde a la propagación de rayos en el tiempo. Que el flujo de Reeb preserve las subvariedades legendrianas implica el teorema de Malus-Dupin . En particular, una única fuente puntual puede considerarse como una esfera de rayos salientes o como una esfera de frentes de onda salientes. Ambas son subvariedades legendrianas compactas máximamente extendidas.

Por ejemplo, la propagación de ondas en el plano a velocidad constante es particularmente simple y se convierte en un cizallamiento helicoidal en${\displaystyle UT^{*}(\mathbb {R} ^{2})\cong \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$. Los frentes de onda circulares que salen de un solo punto en el plano se elevan a una hélice que sale de una sola línea en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$. Dada una involuta de una evoluta, las demás involutas se obtienen mediante la familia de transformaciones de contacto de un parámetro. ^{[ 9 ] : Sec. 4.3}

Por el contrario, cualquier transformación de contacto infinitesimal puede expresarse en forma de propagación de ondas. ^{[ 9 ] : Sec. 4.2}

La termodinámica clásica estudia los sistemas en equilibrio térmico . Dado un sistema termodinámico, sea${\displaystyle M}$ser la variedad de estados termodinámicos. Las leyes de la termodinámica implican que existe una estructura de contacto en${\displaystyle M}$. Específicamente, existe un sistema de coordenadas:

• grandes cantidades${\displaystyle q^{1},\dots ,q^{n}}$
• sus cantidades intensivas conjugadas de Legendre${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$
• entropía${\displaystyle S}$

de tal manera que, definiendo${\textstyle \alpha$ :=dS-\Sigma _{i=1}^{n}p_{i}dq^{i}} , el espacio de estados alcanzables es unasubvariedad legendriana n- dimensional${\displaystyle L}$Cada variedad legendriana se especifica localmente mediante ecuaciones.$${\displaystyle p_{I}={\frac {\partial F}{\partial q^{I}}},\quad q^{J}=-{\frac {\partial F}{\partial p_{J}}},\quad z=F-q^{I}{\frac {\partial F}{\partial q^{I}}}}$$Interpretadas termodinámicamente, las primeras n son las ecuaciones de estado , mientras que la última ecuación es la relación fundamental . Las transformaciones de Legendre son casos especiales de transformaciones de contacto.

Por ejemplo, para la formulación de las leyes de los gases, la forma de contacto es$${\displaystyle dS-p_{U}dU-p_{V}dV-p_{N}dN,\quad p_{U}={\frac {1}{T}},\quad p_{V}={\frac {p}{T}},\quad p_{N}=-{\frac {\mu }{T}}}$$Para cualquier sistema gaseoso específico, sus estados alcanzables son una subvariedad legendriana tridimensional. Al cambiar la relación fundamental, se pueden especificar todos los sistemas gaseosos posibles permitidos por la termodinámica clásica. ^{[ 17 ]}