teoría de Floquet

En un sistema donde las fuerzas son periódicas —como un péndulo sometido a una fuerza impulsora periódica o un circuito oscilante alimentado por corriente alterna—, el comportamiento general del sistema no es necesariamente completamente periódico. Por ejemplo, consideremos a un niño columpiándose: aunque el movimiento es impulsado por impulsos regulares y periódicos, el columpio puede alcanzar gradualmente mayores alturas mientras continúa oscilando. Esto da como resultado una combinación de periodicidad subyacente y crecimiento.

La teoría de Floquet proporciona una forma de analizar este tipo de sistemas. Su idea fundamental es similar al ejemplo del columpio: la solución se puede descomponer en dos partes: un componente periódico (que refleja el movimiento repetitivo) y un factor exponencial (que refleja el crecimiento, la disminución o la estabilidad neutra). Esta descomposición permite analizar el comportamiento a largo plazo y la estabilidad en sistemas periódicos en el tiempo.

Formalmente, la teoría de Floquet es una rama de las ecuaciones diferenciales ordinarias que se relaciona con la clase de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales periódicas de la forma $${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,}$$ con${\displaystyle x\in {R^{n}}}$y${\displaystyle \displaystyle A(t)\in {R^{n\times n}}}$siendo una función periódica con período${\displaystyle T}$y define el estado de estabilidad de las soluciones.

El teorema principal de la teoría de Floquet, el teorema de Floquet , debido a Gaston Floquet ( 1883 ) , da una forma canónica para cada solución matricial fundamental de este sistema lineal común . Da un cambio de coordenadas. ${\displaystyle \displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$con${\displaystyle \displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}$que transforma el sistema periódico en un sistema lineal tradicional con coeficientes reales constantes . Cuando se aplica a sistemas físicos con potenciales periódicos, como los cristales en la física de la materia condensada , el resultado se conoce como el teorema de Bloch .

Nótese que las soluciones de la ecuación diferencial lineal forman un espacio vectorial . Una matriz${\displaystyle \phi \,(t)}$Se denomina solución matricial fundamental si las columnas forman una base del conjunto solución.${\displaystyle \Phi (t)}$Se denomina solución de matriz fundamental principal si todas las columnas son soluciones linealmente independientes y existe${\displaystyle t_{0}}$de tal manera que${\displaystyle \Phi (t_{0})}$es la identidad. Se puede construir una matriz fundamental principal a partir de una matriz fundamental utilizando${\displaystyle \Phi (t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(t_{0})}$. La solución de la ecuación diferencial lineal con la condición inicial${\displaystyle x(0)=x_{0}}$es${\displaystyle x(t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(0)x_{0}}$dónde${\displaystyle \phi \,(t)}$es cualquier solución matricial fundamental.

Dejar${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$sea ​​una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde${\displaystyle x(t)}$es un vector columna de longitud${\displaystyle n}$y${\displaystyle A(t)}$un${\displaystyle n\times n}$matriz periódica con período${\displaystyle T}$(eso es${\displaystyle A(t+T)=A(t)}$para todos los valores reales de${\displaystyle t}$). Dejar${\displaystyle \phi \,(t)}$Sea una solución matricial fundamental de esta ecuación diferencial. Entonces, para todo${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, $${\displaystyle \phi (t+T)=\phi (t)\phi ^{-1}(0)\phi (T).}$$ Aquí $${\displaystyle \phi ^{-1}(0)\phi (T)}$$ se conoce como la matriz de monodromía . Además, para cada elección de matriz${\displaystyle B}$(posiblemente complejo) de tal manera que $${\displaystyle e^{TB}=\phi ^{-1}(0)\phi (T),}$$ Hay un período (con período)${\displaystyle T}$) función matricial${\displaystyle t\mapsto P(t)}$de tal manera que $${\displaystyle \phi (t)=P(t)e^{tB}{\text{ para todo }}t\in \mathbb {R} .}$$ Esta representación se denomina forma normal de Floquet para la solución matricial fundamental.${\displaystyle \phi \,(t)}$. ^{[ 1 ]}

Además, si${\displaystyle \phi (t)}$es una matriz real para cada valor de${\displaystyle t}$, entonces también existe al menos una matriz real${\displaystyle R}$lo cual satisface $${\displaystyle \phi ^{-1}(0)\phi (2T)=(\phi ^{-1}(0)\phi (T))^{2}=e^{2TR}.}$$ Para cualquier elección de tal${\displaystyle R}$, hay un período real (con período-${\displaystyle 2T}$) función matricial${\displaystyle t\mapsto Q(t)}$de tal manera que $${\displaystyle \phi (t)=Q(t)e^{tR}{\text{ para todo }}t\in \mathbb {R} .}$$ En lo anterior${\displaystyle B}$,${\displaystyle P}$,${\displaystyle Q}$y${\displaystyle R}$son${\displaystyle n\times n}$matrices. ^{[ 2 ]}

La teoría de Floquet se aplica al caso especial de una ecuación de segundo orden. $${\displaystyle -y''+V(x)y=Ey}$$ dónde${\displaystyle V(x)}$es un potencial periódico,${\displaystyle V(x+T)=V(x)}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Estas ecuaciones surgen en el estudio de la ecuación de Hill , la ecuación de Lamé y la ecuación de Mathieu . El parámetro espectral${\displaystyle E}$corresponde a los niveles de energía del operador de Schrödinger${\displaystyle L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)}$. ^{[ 5 ]}

Para un valor dado del parámetro${\displaystyle E}$, dejar${\displaystyle u(x,E)}$y${\displaystyle v(x,E)}$sea ​​el par de soluciones tales que $${\displaystyle u(0,E)=1,\quad u'(0,E)=0,\quad v(0,E)=0,\quad v'(0,E)=1.}$$ Debido a que el potencial es periódico, la superposición implica que existen constantes${\displaystyle A(E),B(E),C(E),D(E)}$con $${\displaystyle u(x+T,E)=A(E)u(x,E)+B(E)v(x,E),\quad v(x+T,E)=C(E)u(x,E)+D(E)v(x,E).}$$ En forma matricial, $${\displaystyle {\begin{pmatrix}u(x+T,E)\\v(x+T,E)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A(E)&B(E)\\C(E)&D(E)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u(x,E)\\v(x,E)\end{pmatrix}}}$$ expresando la monodromía de la solución fundamental. (La matriz aquí se llama matriz de monodromía)${\displaystyle M(E)}$.) ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Una solución se denomina solución de Floquet si $${\displaystyle y(x+T)=\xi \,y(x)}$$ por alguna constante${\displaystyle \xi }$llamado multiplicador de Floquet . Escribir una solución de Floquet como${\displaystyle y(x)=a\,u(x,E)+b\,v(x,E)}$muestra que${\displaystyle (a,b)}$debe ser un vector propio (izquierdo) de${\displaystyle M(E)}$, entonces${\displaystyle \xi }$Satisface $${\displaystyle \xi ^{2}-(A(E)+D(E))\xi +\det M(E)=0.}$$ Porque el Wronskiano de las soluciones${\displaystyle u(x,E)}$y${\displaystyle v(x,E)}$es constante,${\displaystyle \det M(E)=1}$por lo que esta ecuación se simplifica a $${\displaystyle \xi ^{2}-(A(E)+D(E))\xi +1=0}$$ o equivalentemente $${\displaystyle \xi +\xi ^{-1}=A(E)+D(E).}$$ Por lo tanto, existen genéricamente dos multiplicadores de Floquet para cada energía.${\displaystyle E}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Los valores de${\displaystyle E}$para los cuales el multiplicador de Floquet satisface${\displaystyle \xi =\pm 1}$se denominan autovalores periódicos y antiperiódicos . Forman los extremos de las bandas espectrales del operador de Schrödinger periódico. Para valores reales de${\displaystyle E}$El comportamiento de las soluciones está determinado por la magnitud de los multiplicadores de Floquet. Una solución no trivial permanece acotada en la recta real si y solo si los multiplicadores correspondientes satisfacen${\displaystyle |\xi |=1}$. ^{[ 4 ] [ 5 ]} El conjunto de tales energías consiste en una unión de intervalos $${\displaystyle [E_{1},E_{2}],\;[E_{3},E_{4}],\;\ldots ,}$$ llamadas bandas espectrales , separadas por intervalos ( brechas de banda ) donde las soluciones no están acotadas. Como${\displaystyle E}$varía a lo largo de una banda espectral, los multiplicadores de Floquet se mueven a lo largo del círculo unitario en el plano complejo, y los puntos finales de cada banda ocurren precisamente cuando${\displaystyle \xi =\pm 1}$.

Introduciendo una nueva variable${\displaystyle \nu =\xi -\xi ^{-1}}$, uno tiene $${\displaystyle \nu ^{2}=(\xi +\xi ^{-1})^{2}-4=(A(E)+D(E))^{2}-4.}$$ Esto define una cubierta de dos hojas de la línea de energía, llamada curva espectral . Para un potencial analítico general, esta cubierta es analítica en lugar de algebraica. Sin embargo, en situaciones especiales, se convierte en una curva algebraica . Por ejemplo, para la ecuación de Lamé.${\displaystyle y''(x)-g(g+1)\wp (x)y(x)=Ey(x)}$con grado entero${\displaystyle g}$, la curva correspondiente es hiperelíptica y se puede escribir $${\displaystyle \nu ^{2}=R_{2g+1}(E)}$$ dónde${\displaystyle R_{2g+1}}$es el polinomio espectral de Lamé. ^{[ 6 ]}

Este mapeo${\displaystyle \phi \,(t)=Q(t)e^{tR}}$da lugar a un cambio de coordenadas dependiente del tiempo (${\displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$), bajo el cual nuestro sistema original se convierte en un sistema lineal con coeficientes constantes reales${\displaystyle {\dot {y}}=Ry}$. Desde${\displaystyle Q(t)}$Si es continua y periódica, debe estar acotada. Por lo tanto, la estabilidad de las soluciones${\displaystyle y(t)}$y${\displaystyle x(t)}$están determinados por los valores propios de${\displaystyle R}$.

Los valores propios de${\displaystyle e^{TB}}$se denominan multiplicadores característicos del sistema. Mientras que la matriz${\displaystyle B}$no es único, los valores propios de${\displaystyle e^{TB}}$son lo mismo para las elecciones de${\displaystyle B}$También son los valores propios de los mapas de Poincaré (lineales).${\displaystyle x(t)\to x(t+T)}$Un exponente de Floquet (a veces llamado exponente característico) es un exponente complejo .${\displaystyle \mu }$de tal manera que${\displaystyle e^{\mu T}}$es un multiplicador característico del sistema. Nótese que los exponentes de Floquet no son únicos, ya que${\displaystyle e^{\left(\mu +{\frac {2\pi ik}{T}}\right)T}=e^{\mu T}}$, dónde${\displaystyle k}$es un número entero. Las partes reales de los exponentes de Floquet son exponentes de Lyapunov . La solución cero es asintóticamente estable si todos los exponentes de Floquet tienen parte real negativa. Es estable en el sentido de Lyapunov si todos los exponentes de Floquet tienen parte real no positiva y, además, los multiplicadores de Floquet de módulo 1 son semisimples (equivalentemente, sus multiplicidades algebraica y geométrica coinciden); de lo contrario, es inestable. ^{[ 1 ]}

• La teoría de Floquet se utiliza en el estudio de sistemas dinámicos , como la ecuación de Mathieu (que recibe su nombre de Émile Léonard Mathieu ).
• La teoría de Floquet también se puede aplicar a sistemas dinámicos discretos y ecuaciones en diferencias .
• La teoría de Floquet demuestra la estabilidad de las ecuaciones diferenciales de Hill (introducidas por George William Hill ). Dichas ecuaciones surgen, por ejemplo, al aproximar el movimiento de la luna como un oscilador armónico en un campo gravitatorio periódico .
• El ablandamiento y el endurecimiento de los enlaces en campos láser intensos pueden describirse en términos de soluciones obtenidas a partir del teorema de Floquet.
• La dinámica de los sistemas cuánticos fuertemente impulsados ​​se suele estudiar mediante la teoría de Floquet. En los circuitos superconductores, el marco teórico de Floquet se ha utilizado para dilucidar la electrodinámica cuántica de las interacciones entre múltiples cúbits inducidas por la fuerza impulsora y las transiciones de estado inducidas por dicha fuerza.
• La teoría de Floquet también se utiliza en sistemas cuánticos de materia condensada impulsados ​​que son topológicamente no triviales. La topología del sistema impulsado se analiza mediante el estudio del hamiltoniano de Floquet.

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