función de Mathieu

En algunos usos, la función de Mathieu se refiere a las soluciones de la ecuación diferencial de Mathieu para valores arbitrarios de${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$Cuando no puede surgir confusión, otros autores utilizan el término para referirse específicamente a${\displaystyle \pi }$- o${\displaystyle 2\pi }$-soluciones periódicas, que existen solo para valores especiales de${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$. ^{[ 5 ]} Más precisamente, para un (real) dado${\displaystyle q}$Tales soluciones periódicas existen para un número infinito de valores de${\displaystyle a}$, llamados números característicos , indexados convencionalmente como dos secuencias separadas${\displaystyle a_{n}(q)}$y${\displaystyle b_{n}(q)}$, para${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$Las funciones correspondientes se denotan${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$, respectivamente. A veces también se las denomina funciones coseno-elípticas y seno-elípticas , o funciones de Mathieu de primer tipo .

Como resultado de suponer que${\displaystyle q}$es real, tanto los números característicos como las funciones asociadas son de valor real. ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$se pueden clasificar además por paridad y periodicidad (ambos con respecto a${\displaystyle x}$), de la siguiente manera: ^{[ 5 ]}

La indexación con el entero${\displaystyle n}$, además de servir para ordenar los números característicos en orden ascendente, es conveniente porque${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$volverse proporcional a${\displaystyle \cos nx}$y${\displaystyle \sin nx}$como${\displaystyle q\rightarrow 0}$. Con${\displaystyle n}$al ser un número entero , esto da lugar a la clasificación de${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$como funciones de Mathieu (de primera especie) de orden entero. Para general${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$Además de estas, se pueden definir otras soluciones, incluidas funciones de Mathieu de orden fraccionario, así como soluciones no periódicas.

Estrechamente relacionadas están las funciones de Mathieu modificadas , también conocidas como funciones de Mathieu radiales, que son soluciones de la ecuación diferencial modificada de Mathieu.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

que puede relacionarse con la ecuación original de Mathieu tomando${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$. En consecuencia, las funciones de Mathieu modificadas de primer tipo de orden entero, denotadas por${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$, se definen a partir de ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}}$

Estas funciones son de valor real cuando${\displaystyle x}$es real.

Una normalización común, ^{[ 8 ]} que se adoptará a lo largo de este artículo, es exigir

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

así como requerir${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$como${\displaystyle q\rightarrow 0}$.

La ecuación de Mathieu tiene dos parámetros. Para casi cualquier elección de estos parámetros, la teoría de Floquet establece que cualquier solución converge a cero o diverge al infinito.

Si la ecuación de Mathieu se parametriza como${\displaystyle {\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0}$, dónde${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,m\geq 0}$, entonces las regiones de estabilidad e inestabilidad están separadas por las siguientes curvas: ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&0<k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}<k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}$$

Dado que la ecuación de Mathieu es una ecuación diferencial de segundo orden, se pueden construir dos soluciones linealmente independientes . La teoría de Floquet dice que si${\displaystyle a}$es igual a un número característico, una de estas soluciones puede considerarse periódica y la otra no periódica. La solución periódica es una de las${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$, llamada función de Mathieu de primer tipo de orden entero. La no periódica se denota como${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$, respectivamente, y se denomina función de Mathieu de segundo tipo (de orden entero). Las soluciones no periódicas son inestables, es decir, divergen como${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$. ^{[ 14 ]}

Las segundas soluciones corresponden a las funciones de Mathieu modificadas.${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$se definen naturalmente como${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$y${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$.

Las funciones de Mathieu de orden fraccionario se pueden definir como aquellas soluciones${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$,${\displaystyle p}$un no entero, que se convierte en${\displaystyle \cos px}$y${\displaystyle \sin px}$como${\displaystyle q\rightarrow 0}$. ^{[ 7 ]} Si${\displaystyle p}$es irracional, no son periódicos; sin embargo, siguen estando acotados como${\displaystyle x\rightarrow \infty }$.

Una propiedad importante de las soluciones${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$, para${\displaystyle p}$no entero, es que existen para el mismo valor de${\displaystyle a}$. Por el contrario, cuando${\displaystyle p}$es un número entero,${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$nunca ocurren para el mismo valor de${\displaystyle a}$(Véase el teorema de Ince más arriba).

Estas clasificaciones se resumen en la tabla siguiente. Las funciones de Mathieu modificadas correspondientes se definen de forma similar.

Las funciones de Mathieu de primer tipo se pueden representar como series de Fourier : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}$

Los coeficientes de expansión${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$y${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$son funciones de${\displaystyle q}$pero independiente de${\displaystyle x}$. Mediante sustitución en la ecuación de Mathieu, se puede demostrar que obedecen relaciones de recurrencia de tres términos en el índice inferior. Por ejemplo, para cada${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$uno encuentra ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

Siendo una recurrencia de segundo orden en el índice${\displaystyle 2r}$Siempre se pueden encontrar dos soluciones independientes.${\displaystyle X_{2r}}$y${\displaystyle Y_{2r}}$de tal manera que la solución general pueda expresarse como una combinación lineal de las dos:${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$Además, en este caso particular, un análisis asintótico ^{[ 17 ]} muestra que una posible elección de soluciones fundamentales tiene la propiedad

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

En particular,${\displaystyle X_{2r}}$es finito mientras que${\displaystyle Y_{2r}}$diverge. Escritura${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$, por lo tanto vemos que para que la representación en serie de Fourier de${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$converger,${\displaystyle a}$debe ser elegido de tal manera que${\displaystyle c_{2}=0.}$Estas elecciones de${\displaystyle a}$corresponden a los números característicos.

En general, sin embargo, la solución de una recurrencia de tres términos con coeficientes variables no se puede representar de manera simple y, por lo tanto, no hay una forma simple de determinarla.${\displaystyle a}$de la condición ${\displaystyle c_{2}=0}$Además, incluso si se conoce el valor aproximado de un número característico, no se puede utilizar para obtener los coeficientes.${\displaystyle A_{2r}}$iterando numéricamente la recurrencia hacia valores crecientes${\displaystyle r}$. La razón es que mientras${\displaystyle a}$solo se aproxima a un número característico,${\displaystyle c_{2}}$no es idéntica${\displaystyle 0}$y la solución divergente${\displaystyle Y_{2r}}$eventualmente domina para lo suficientemente grande${\displaystyle r}$.

Para superar estos problemas, se requieren enfoques semianalíticos/numéricos más sofisticados, por ejemplo, utilizando una expansión en fracciones continuas , ^{[ 18 ] [ 5 ]} planteando la recurrencia como un problema de valores propios de una matriz , ^{[ 19 ]} o implementando un algoritmo de recurrencia hacia atrás. ^{[ 17 ]} La complejidad de la relación de recurrencia de tres términos es una de las razones por las que existen pocas fórmulas e identidades simples que involucren funciones de Mathieu. ^{[ 20 ]}

En la práctica, las funciones de Mathieu y los números característicos correspondientes se pueden calcular utilizando software preempaquetado, como Mathematica , Maple , MATLAB y SciPy . Para valores pequeños de${\displaystyle q}$y de bajo orden${\displaystyle n}$, también pueden expresarse perturbativamente como series de potencias de${\displaystyle q}$, que puede ser útil en aplicaciones físicas. ^{[ 21 ]}

Hay varias formas de representar las funciones de Mathieu de segundo tipo. ^{[ 22 ]} Una representación es en términos de funciones de Bessel : ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle n,q>0}$, y${\displaystyle J_{r}(x)}$y${\displaystyle Y_{r}(x)}$son funciones de Bessel de primera y segunda especie.

Un enfoque tradicional para la evaluación numérica de las funciones de Mathieu modificadas es a través de series de productos de funciones de Bessel. ^{[ 24 ]} Para valores grandes${\displaystyle n}$y${\displaystyle q}$, la forma de la serie debe elegirse cuidadosamente para evitar errores de resta . ^{[ 25 ] [ 26 ]}

Para pequeños${\displaystyle q}$,${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$comportarse de manera similar a${\displaystyle \cos nx}$y${\displaystyle \sin nx}$. Por arbitrario${\displaystyle q}$, pueden desviarse significativamente de sus contrapartes trigonométricas; sin embargo, en general siguen siendo periódicas. Además, para cualquier real${\displaystyle q}$,${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$tener exactamente${\displaystyle m}$ceros simples en${\displaystyle 0<x<\pi }$y como${\displaystyle q\rightarrow \infty }$el grupo de ceros aproximadamente${\displaystyle x=\pi /2}$. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Para${\displaystyle q>0}$y como${\displaystyle x\rightarrow \infty }$Las funciones de Mathieu modificadas tienden a comportarse como funciones periódicas amortiguadas.

A continuación, el${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$factores de las expansiones de Fourier para${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$pueden ser referenciados (ver Representación explícita y cálculo ). Dependen de${\displaystyle q}$y${\displaystyle n}$pero son independientes de${\displaystyle x}$.

Debido a su paridad y periodicidad,${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$y ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$tienen propiedades simples bajo reflexiones y traslaciones por múltiplos de${\displaystyle \pi }$: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

También se pueden escribir funciones con signo negativo.${\displaystyle q}$en términos de aquellos con resultado positivo${\displaystyle q}$: ^{[ 5 ] [ 29 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

Además,

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

Al igual que sus contrapartes trigonométricas${\displaystyle \cos nx}$y${\displaystyle \sin nx}$, las funciones periódicas de Mathieu${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$satisfacer relaciones de ortogonalidad

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}}$

Además, con${\displaystyle q}$fijo y${\displaystyle a}$tratado como el valor propio, la ecuación de Mathieu es de la forma de Sturm-Liouville . Esto implica que las funciones propias${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$formar un conjunto completo, es decir, cualquier${\displaystyle \pi }$- o${\displaystyle 2\pi }$-función periódica de${\displaystyle x}$puede expandirse como una serie en${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$. ^{[ 4 ]}

Las soluciones de la ecuación de Mathieu satisfacen una clase de identidades integrales con respecto a los núcleos.${\displaystyle \chi (x,x')}$que son soluciones de

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

Más precisamente, si${\displaystyle \phi (x)}$Resuelve la ecuación de Mathieu con los datos dados.${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$, entonces la integral

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

dónde${\displaystyle C}$es un camino en el plano complejo , también resuelve la ecuación de Mathieu con el mismo${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$, siempre que se cumplan las siguientes condiciones: ^{[ 30 ]}

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$resuelve${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• En las regiones consideradas,${\displaystyle \psi (x)}$existe y${\displaystyle \chi (x,x')}$es analítico
• ${\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)}$tiene el mismo valor en los puntos finales de${\displaystyle C}$

Utilizando un cambio de variables apropiado, la ecuación para${\displaystyle \chi }$se puede transformar en la ecuación de onda y resolverla. Por ejemplo, una solución es${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$. Ejemplos de identidades obtenidas de esta manera son ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

Las identidades de este último tipo son útiles para estudiar las propiedades asintóticas de las funciones de Mathieu modificadas. ^{[ 32 ]}

También existen relaciones integrales entre funciones de primer y segundo tipo, por ejemplo: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

válido para cualquier complejo${\displaystyle x}$y real${\displaystyle q}$.

Las siguientes expansiones asintóticas son válidas para${\displaystyle q>0}$,${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$,${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$, y${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$: ^{[ 33 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

Por lo tanto, las funciones de Mathieu modificadas decaen exponencialmente para argumentos reales grandes. Se pueden escribir expansiones asintóticas similares para${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$y${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}$; estos también decaen exponencialmente para argumentos reales grandes.

Para las funciones periódicas de Mathieu pares e impares${\displaystyle ce,se}$y los números característicos asociados${\displaystyle a}$ También se pueden derivar expansiones asintóticas para valores grandes${\displaystyle q}$. ^{[ 34 ]} Para los números característicos en particular, se tiene con${\displaystyle N}$aproximadamente un número entero impar, es decir${\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}}$

Observe la simetría aquí al reemplazar${\displaystyle q^{1/2}}$y${\displaystyle N}$por${\displaystyle -q^{1/2}}$y${\displaystyle -N}$, que es una característica significativa de la expansión. Los términos de esta expansión se han obtenido explícitamente hasta el término de orden inclusive.${\displaystyle |q|^{-7/2}}$. ^{[ 35 ]} Aquí${\displaystyle N}$es solo aproximadamente un número entero impar porque en el límite de${\displaystyle q\to \infty }$todos los segmentos mínimos del potencial periódico${\displaystyle \cos 2x}$se convierten efectivamente en osciladores armónicos independientes (por lo tanto,${\displaystyle N_{0}}$un número entero impar). Al disminuir${\displaystyle q}$, atravesar las barreras se vuelve posible (en lenguaje físico), lo que lleva a una división de los números característicos.${\displaystyle a\to a_{\mp }}$(en mecánica cuántica llamados autovalores) correspondientes a funciones periódicas de Mathieu pares e impares. Esta división se obtiene con condiciones de contorno ^{[ 35 ]} (en mecánica cuántica esto proporciona la división de los autovalores en bandas de energía). ^{[ 36 ]} Las condiciones de contorno son:

${\displaystyle \left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

Imponiendo estas condiciones de contorno a las funciones periódicas asintóticas de Mathieu asociadas con la expansión anterior para${\displaystyle a}$uno obtiene

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].}$

A continuación, se obtienen los números característicos o valores propios correspondientes mediante una expansión, es decir:

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .}$

La inserción de las expresiones apropiadas arriba produce el resultado

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}$

Para${\displaystyle N_{0}=1,3,5,\dots }$Estos son los autovalores asociados a las autofunciones pares de Mathieu.${\displaystyle ce_{N_{0}}}$o${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$(es decir, con signo negativo superior) y funciones propias de Mathieu impares${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$o ${\displaystyle se_{N_{0}}}$(es decir, con signo más bajo). Las expansiones explícitas y normalizadas de las funciones propias se pueden encontrar en ^{[ 35 ]} o en ^{[ 36 ] .}

Similar asymptotic expansions can be obtained for the solutions of other periodic differential equations, as for Lamé functions and prolate and oblate spheroidal wave functions.

The asymptotic nature of the asymptotic solutions of the Mathieu equation has been investigated in detail by investigating the large order behaviour of the expansions.^[37][38]

Mathieu functions arise when separation of variables in elliptic coordinates is applied to 1) the Laplace equation in 3 dimensions, and 2) the Helmholtz equation in either 2 or 3 dimensions. Since the Helmholtz equation is a prototypical equation for modeling the spatial variation of classical waves, Mathieu functions can be used to describe a variety of wave phenomena. For instance, in computational electromagnetics they can be used to analyze the scattering of electromagnetic waves off elliptic cylinders, and wave propagation in elliptic waveguides.^[39] In general relativity, an exact plane wave solution to the Einstein field equation can be given in terms of Mathieu functions.

More recently, Mathieu functions have been used to solve a special case of the Smoluchowski equation, describing the steady-state statistics of self-propelled particles.^[40]

The remainder of this section details the analysis for the two-dimensional Helmholtz equation.^[41] In rectangular coordinates, the Helmholtz equation is

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

Elliptic coordinates are defined by

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}}$

where ${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$, ${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$, and ${\displaystyle c}$ is a positive constant. The Helmholtz equation in these coordinates is

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

The constant ${\displaystyle \mu }$ curves are confocal ellipses with focal length${\displaystyle c}$; hence, these coordinates are convenient for solving the Helmholtz equation on domains with elliptic boundaries. Separation of variables via ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$ yields the Mathieu equations

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle a}$ is a separation constant.

As a specific physical example, the Helmholtz equation can be interpreted as describing normal modes of an elastic membrane under uniform tension. In this case, the following physical conditions are imposed:^[42]

• Periodicity with respect to ${\displaystyle \nu }$, i.e. ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• Continuity of displacement across the interfocal line: ${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• Continuity of derivative across the interfocal line: ${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

For given ${\displaystyle k}$, this restricts the solutions to those of the form ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$ and ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$, where ${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/4}$. This is the same as restricting allowable values of ${\displaystyle a}$, for given ${\displaystyle k}$. Restrictions on ${\displaystyle k}$ then arise due to imposition of physical conditions on some bounding surface, such as an elliptic boundary defined by ${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$. For instance, clamping the membrane at ${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$ imposes ${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$, which in turn requires

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}}$

These conditions define the normal modes of the system.

In dynamical problems with periodically varying forces, the equation of motion sometimes takes the form of Mathieu's equation. In such cases, knowledge of the general properties of Mathieu's equation— particularly with regard to stability of the solutions—can be essential for understanding qualitative features of the physical dynamics.^[43] A classic example along these lines is the inverted pendulum.^[44] Other examples are

• vibrations of a string with periodically varying tension^[43]
• stability of railroad rails as trains drive over them
• seasonally forced population dynamics
• the phenomenon of parametric resonance in forced oscillators
• motion of ions in a quadrupole ion trap^[45]
• the Stark effect for a rotating electric dipole
• the Floquet theory of the stability of limit cycles
• analytic traveling-wave solutions of the Kardar-Parisi-Zhang interface growing equation with periodic noise term^[46]

Mathieu functions play a role in certain quantum mechanical systems, particularly those with spatially periodic potentials such as the quantum pendulum and crystalline lattices.

The modified Mathieu equation also arises when describing the quantum mechanics of singular potentials. For the particular singular potential ${\displaystyle V(r)=g^{2}/r^{4}}$ the radial Schrödinger equation

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0}$

can be converted into the equation

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.}$

The transformation is achieved with the following substitutions

${\displaystyle y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$

Al resolver la ecuación de Schrödinger (para este potencial en particular) en términos de soluciones de la ecuación de Mathieu modificada, se pueden obtener propiedades de dispersión tales como la matriz S y la absortividad . ^{[ 47 ]}

Originalmente, la ecuación de Schrödinger con función coseno fue resuelta en 1928 por Strutt. ^{[ 48 ]}