Teorema de reactancia de Foster

El teorema de reactancia de Foster es un teorema importante en los campos del análisis y la síntesis de redes eléctricas . El teorema establece que la reactancia de una red pasiva de dos terminales ( un puerto ) sin pérdidas siempre aumenta de forma estrictamente monótona con la frecuencia. Es fácil observar que las reactancias de los inductores y los condensadores aumentan o disminuyen individualmente con la frecuencia, respectivamente, y a partir de esta base se puede construir una demostración para redes pasivas sin pérdidas en general. La demostración del teorema fue presentada por Ronald Martin Foster en 1924, aunque el principio ya había sido publicado anteriormente por sus colegas de American Telephone & Telegraph .

El teorema puede extenderse a las admitancias y al concepto general de admitancias . Una consecuencia del teorema de Foster es que los ceros y polos de la reactancia deben alternar con la frecuencia. Foster utilizó esta propiedad para desarrollar dos formas canónicas para la realización de estas redes. El trabajo de Foster constituyó un punto de partida importante para el desarrollo de la síntesis de redes .

Es posible construir redes no Foster utilizando componentes activos como amplificadores. Estos pueden generar una impedancia equivalente a una inductancia o capacitancia negativa. El convertidor de impedancia negativa es un ejemplo de este tipo de circuito.

La reactancia es la parte imaginaria de la impedancia eléctrica compleja . Tanto los capacitores como los inductores poseen reactancia (pero de signo opuesto) y dependen de la frecuencia. La especificación de que la red debe ser pasiva y sin pérdidas implica que no hay resistores (sin pérdidas), ni amplificadores ni fuentes de energía (pasivas) en la red. En consecuencia, la red debe consistir enteramente en inductores y capacitores, y la impedancia será un número puramente imaginario con parte real cero. El teorema de Foster se aplica igualmente a la admitancia de una red, es decir, la susceptancia (parte imaginaria de la admitancia) de un puerto pasivo y sin pérdidas aumenta monótonamente con la frecuencia. Este resultado puede parecer contraintuitivo, ya que la admitancia es el recíproco de la impedancia, pero se demuestra fácilmente. Si la impedancia es

${\displaystyle Z=iX\,}$

dónde${\displaystyle \scriptstyle X}$es reactancia y${\displaystyle \scriptstyle i}$es la unidad imaginaria , entonces la admitancia viene dada por

${\displaystyle Y={\frac {1}{iX}}=-i{\frac {1}{X}}=iB}$

dónde${\displaystyle \scriptstyle B}$es la susceptancia.

Si X aumenta monótonamente con la frecuencia, entonces 1/ X debe disminuir monótonamente. Por consiguiente , −1/ X debe aumentar monótonamente, y por lo tanto se demuestra que B también aumenta.

En la teoría de redes, a menudo ocurre que un principio o procedimiento se aplica igualmente bien a la impedancia o a la admitancia, lo que refleja el principio de dualidad para las redes eléctricas. En estas circunstancias, resulta conveniente utilizar el concepto de admitancia , que puede significar tanto impedancia como admitancia. Los cálculos matemáticos se realizan sin especificar unidades hasta que se desea calcular un ejemplo específico. El teorema de Foster puede enunciarse, por lo tanto, de forma más general como:

Teorema de Foster (forma de inmitancia)

La admitancia imaginaria de un puerto único pasivo y sin pérdidas aumenta de forma estrictamente monótona con la frecuencia.

El teorema de Foster es bastante general. En particular, se aplica a redes de elementos distribuidos , aunque Foster lo formuló en términos de inductores y capacitores discretos. Por lo tanto, es aplicable tanto a frecuencias de microondas como a frecuencias más bajas. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Los siguientes ejemplos ilustran este teorema en varios circuitos sencillos.

Una consecuencia del teorema de Foster es que los ceros y polos de cualquier función de admitancia pasiva deben alternarse a medida que aumenta la frecuencia. Después de pasar por un polo, la función será negativa y está obligada a pasar por cero antes de alcanzar el siguiente polo si se quiere que sea monótonamente creciente. ^{[ 1 ]}

Los polos y ceros de una función de admitancia determinan completamente las características de frecuencia de una red de Foster. Dos redes de Foster con polos y ceros idénticos serán circuitos equivalentes en el sentido de que sus funciones de admitancia serán idénticas. Puede existir una diferencia en el factor de escala entre ellas (todos los elementos de la admitancia multiplicados por el mismo factor de escala), pero la forma de ambas funciones de admitancia será idéntica. ^{[ 5 ]}

Otra consecuencia del teorema de Foster es que la fase de una admitancia debe aumentar monótonamente con la frecuencia. Por consiguiente, la gráfica de una función de admitancia de Foster en un diagrama de Smith siempre debe recorrer el diagrama en sentido horario a medida que aumenta la frecuencia. ^{[ 2 ]}

Una admitancia pasiva de un puerto que consta de elementos discretos (es decir, no elementos distribuidos ) puede representarse como una función racional de s ,

${\displaystyle Z(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}}$

dónde,

${\displaystyle \scriptstyle Z(s)}$es la admitancia

${\displaystyle \scriptstyle P(s),\ Q(s)}$son polinomios con coeficientes reales y positivos

${\displaystyle \scriptstyle s}$es la variable de la transformada de Laplace , que puede ser reemplazada por${\displaystyle \scriptstyle i\omega }$al tratar con señales de CA de estado estacionario .

Esto se deduce del hecho de que la impedancia de los elementos L y C son en sí mismas funciones racionales simples, y cualquier combinación algebraica de funciones racionales da como resultado otra función racional.

A veces se la denomina impedancia de punto de excitación, ya que representa la impedancia en el punto de la red donde se conecta el circuito externo y lo "excita" con una señal. En su artículo, Foster describe cómo se puede implementar (si es posible) una función racional sin pérdidas de este tipo de dos maneras. La primera forma de Foster consiste en varios circuitos LC paralelos conectados en serie. La segunda forma de Foster para la impedancia de punto de excitación consiste en varios circuitos LC serie conectados en paralelo. La implementación de la impedancia de punto de excitación no es única. La implementación de Foster tiene la ventaja de que los polos y/o ceros están directamente asociados con un circuito resonante particular, pero existen muchas otras implementaciones. Quizás la más conocida sea la implementación en escalera de Wilhelm Cauer, proveniente del diseño de filtros. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Una red de Foster debe ser pasiva, por lo que una red activa, que contiene una fuente de alimentación, puede no obedecer el teorema de Foster. Estas se denominan redes no Foster. ^{[ 9 ]} En particular, los circuitos que contienen un amplificador con retroalimentación positiva pueden tener una reactancia que disminuye con la frecuencia. Por ejemplo, es posible crear capacitancia e inductancia negativas con circuitos convertidores de impedancia negativa . Estos circuitos tendrán una función de admitancia con una fase de ±π/2 como una reactancia positiva, pero una amplitud de reactancia con una pendiente negativa en función de la frecuencia. ^{[ 6 ]}

Estas redes resultan interesantes porque pueden realizar tareas que una red Foster no puede. Por ejemplo, las redes de adaptación de impedancia Foster pasivas habituales solo pueden adaptar la impedancia de una antena con una línea de transmisión en frecuencias discretas, lo que limita el ancho de banda de la antena. Una red no Foster podría adaptar una antena en una banda continua de frecuencias. ^{[ 9 ]} Esto permitiría la creación de antenas compactas con un amplio ancho de banda, superando el límite de Chu-Harrington . Las redes no Foster prácticas constituyen un área de investigación activa.

El teorema se desarrolló en American Telephone & Telegraph como parte de las investigaciones en curso sobre filtros mejorados para aplicaciones de multiplexación telefónica . Este trabajo fue comercialmente importante; se podían ahorrar grandes sumas de dinero aumentando el número de conversaciones telefónicas que podían llevarse a cabo en una sola línea. ^{[ 10 ]} El teorema fue publicado por primera vez por Campbell en 1922, pero sin una demostración. ^{[ 11 ]} El teorema se utilizó de inmediato en el diseño de filtros y aparece de forma destacada, junto con una demostración, en el artículo fundamental de Zobel de 1923, que resumía el estado del arte del diseño de filtros en ese momento. ^{[ 12 ]} Foster publicó su artículo al año siguiente, que incluía sus formas de realización canónicas. ^{[ 13 ]}

Cauer, en Alemania, comprendió la importancia del trabajo de Foster y lo utilizó como base para la síntesis de redes . Entre las numerosas innovaciones de Cauer se encuentra la extensión del trabajo de Foster a todas las redes de dos tipos de elementos tras descubrir un isomorfismo entre ellas. Cauer estaba interesado en encontrar la condición necesaria y suficiente para la realizabilidad de una red racional de un puerto a partir de su función polinómica, condición que ahora se sabe que es una función real positiva , y el problema inverso de qué redes eran equivalentes, es decir, tenían la misma función polinómica. Ambos problemas eran importantes en la teoría de redes y el diseño de filtros. Las redes de Foster son solo un subconjunto de las redes realizables, ^{[ 14 ]}

• Foster, RM, " Un teorema de reactancia ", Bell System Technical Journal , vol. 3 , n.º 2, págs.  259-267, noviembre de 1924.
• Campbell, GA, " Teoría física del filtro de ondas eléctricas ", Bell System Technical Journal , vol. 1 , n.º 2, págs.  1-32, noviembre de 1922.
• Zobel, OJ," Teoría y diseño de filtros de ondas eléctricas uniformes y compuestos ", Bell System Technical Journal , vol. 2 , n.º 1, págs.  1-46, enero de 1923.
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