Desigualdad entre los Ahlswede y los Daykin

La desigualdad de Ahlswede-Daykin ( Ahlswede y Daykin, 1978 ) , también conocida como el teorema (o desigualdad ) de las cuatro funciones, es una desigualdad de tipo correlación para cuatro funciones en una red distributiva finita . Es una herramienta fundamental en mecánica estadística y combinatoria probabilística (especialmente en grafos aleatorios y el método probabilístico ).

La desigualdad establece que si${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}}$son funciones no negativas en una red distributiva finita tales que

${\displaystyle f_{1}(x)f_{2}(y)\leq f_{3}(x\vee y)f_{4}(x\wedge y)}$

para todo x , y en la red, entonces

${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(Y)\leq f_{3}(X\vee Y)f_{4}(X\wedge Y)}$

para todos los subconjuntos X , Y de la red, donde

${\displaystyle f(X)=\sum _{x\in X}f(x)}$

y

${\displaystyle X\vee Y=\{x\vee y\mid x\in X,y\in Y\}}$

${\displaystyle X\wedge Y=\{x\wedge y\mid x\in X,y\in Y\}.}$

La desigualdad de Ahlswede-Daykin puede utilizarse para proporcionar una demostración breve tanto de la desigualdad de Holley como de la desigualdad de FKG . También implica la desigualdad XYZ .

Para una prueba, consulte el artículo original ( Ahlswede & Daykin 1978 ) o ( Alon & Spencer 2000 ) .

El "teorema de las cuatro funciones" fue generalizado independientemente a 2k funciones en ( Aharoni y Keich 1996 ) y ( Rinott y Saks 1991 ) .

La historia del descubrimiento de la desigualdad Ahlswede-Daykin se describe en la introducción del libro de A. Ahlswede et al.:

"La historia de la idea de la desigualdad AD es muy interesante. Cuando Daykin visitó Bielefeld, Ahlswede estaba empapelando. Se subió a una escalera y Daykin quiso explicarle una desigualdad recién demostrada. La afirmación era compleja, y Ahlswede dijo que probablemente debería existir un teorema más general (y más sencillo). Directamente, subido a la escalera, formuló una propuesta que ya constituía la desigualdad AD." ^{[ 1 ]}

• Ahlswede, Rudolf; Daykin, David E. (1978), "Una desigualdad para los pesos de dos familias de conjuntos, sus uniones e intersecciones", Probability Theory and Related Fields , 43 (3): 183–185 , CiteSeerX 10.1.1.380.8629 , doi : 10.1007/BF00536201 , ISSN 0178-8051 , MR 0491189 , S2CID 120659862    
• Alon, N.; Spencer , JH (2000), El método probabilístico. Segunda edición. Con un apéndice sobre la vida y obra de Paul Erdős. , Wiley-Interscience, Nueva York, ISBN 978-0-471-37046-8, MR 1885388 
• Fishburn, PC (2001) [1994], "Desigualdad de Ahlswede-Daykin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Aharoni, Ron; Keich, Uri (1996), "Una generalización de la desigualdad de Ahlswede Daykin", Matemáticas discretas , 152 ( 1– 3): 1– 12, doi : 10.1016/0012-365X(94)00294-S
• Rinott, Yosef; Saks, Michael (1991), "Desigualdades de correlación y una conjetura para permanentes", Combinatorica , 13 (3): 269–277 , doi : 10.1007/BF01202353 , S2CID 206791629