Análisis de Fourier

Cuatro gráficos con diferentes imágenes del análisis de Fourier.

En matemáticas , ciencias e ingeniería , el análisis de Fourier ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ) ^{[ 1 ]} es el estudio de cómo las funciones generales en la recta real , el círculo , los enteros , el grupo cíclico finito o el grupo abeliano localmente compacto general pueden representarse o aproximarse mediante sumas de funciones trigonométricas o, más convenientemente, exponenciales complejas . El análisis de Fourier surgió del estudio de las series de Fourier y recibe su nombre de Joseph Fourier , quien demostró que representar una función como una suma de funciones trigonométricas simplifica enormemente el estudio de la transferencia de calor .

El análisis de Fourier tiene aplicaciones en numerosas áreas de las matemáticas puras y aplicadas, en las ciencias y en la ingeniería. El proceso de descomponer una función en componentes oscilatorias se denomina análisis de Fourier, mientras que la reconstrucción de la función a partir de estos componentes se conoce como síntesis de Fourier . Por ejemplo, determinar las frecuencias componentes de una nota musical implica calcular la transformada de Fourier de una nota musical muestreada. Posteriormente, se puede resintetizar el mismo sonido mezclando sonidos puramente armónicos con los componentes de frecuencia revelados en el análisis de Fourier. En matemáticas, el término análisis de Fourier suele referirse al estudio de ambas operaciones.

El proceso de descomposición en sí se denomina transformada de Fourier . Su resultado, la transformada de Fourier , suele recibir un nombre más específico que depende del dominio y otras propiedades de la función que se transforma. Además, el concepto original de análisis de Fourier se ha extendido con el tiempo para aplicarse a situaciones cada vez más abstractas y generales, como la teoría de la representación de grupos , y este campo general se conoce a menudo como análisis armónico . Cada transformada utilizada para el análisis (véase la lista de transformadas relacionadas con Fourier ) tiene una transformada inversa correspondiente que puede utilizarse para la síntesis.

En las aplicaciones, el análisis de Fourier se aplica generalmente a una "señal" que depende del "tiempo" muestreado a intervalos de tiempo iguales de longitud $T$ La transformada de Fourier convierte esta secuencia en una secuencia igualmente larga de amplitudes para senos y cosenos (o, más convenientemente, exponenciales complejas) con múltiplos de frecuencia de $1/T$ Esto es particularmente útil para detectar componentes periódicas fuertes en la señal. La transformada rápida de Fourier es un algoritmo eficiente para calcular estas amplitudes. Se han desarrollado diferentes enfoques para analizar datos con intervalos desiguales, en particular los métodos de análisis espectral de mínimos cuadrados (LSSA) que utilizan un ajuste de mínimos cuadrados de sinusoides a muestras de datos, similar al análisis de Fourier. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} El análisis de Fourier, el método espectral más utilizado en ciencia, generalmente amplifica el ruido de largo período en registros con largos intervalos; LSSA mitiga tales problemas. ^{[ 4 ]}

Aplicaciones

El análisis de Fourier tiene muchas aplicaciones científicas: en física , ecuaciones diferenciales parciales , teoría de números , combinatoria , procesamiento de señales , procesamiento de imágenes digitales , teoría de la probabilidad , estadística , criminalística , valoración de opciones , criptografía , análisis numérico , acústica , oceanografía , sonar , óptica , difracción , geometría , análisis de la estructura de proteínas y otras áreas.

Esta amplia aplicabilidad se deriva de muchas propiedades útiles de las transformaciones :

Las transformaciones son operadores lineales y, con la normalización adecuada, también son unitarias (una propiedad conocida como teorema de Parseval o, más generalmente, como teorema de Plancherel , y de forma más general mediante la dualidad de Pontryagin ). ^{[ 5 ]}
Las transformadas suelen ser invertibles.
Las funciones exponenciales son autofunciones de diferenciación , lo que significa que esta representación transforma ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas ordinarias. ^{[ 6 ]} Por lo tanto, el comportamiento de un sistema lineal invariante en el tiempo puede analizarse en cada frecuencia de forma independiente.
Según el teorema de convolución , las transformadas de Fourier convierten la compleja operación de convolución en una simple multiplicación, lo que significa que proporcionan una forma eficiente de calcular operaciones basadas en la convolución, como el filtrado de señales, la multiplicación de polinomios y la multiplicación de números grandes . ^{[ 7 ]}
La versión discreta de la transformada de Fourier (véase más abajo) se puede evaluar rápidamente en ordenadores utilizando algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT). ^{[ 8 ]}

En ciencias forenses, los espectrofotómetros infrarrojos de laboratorio utilizan el análisis de transformada de Fourier para medir las longitudes de onda de la luz que un material absorbe en el espectro infrarrojo. El método FT se utiliza para decodificar las señales medidas y registrar los datos de longitud de onda. Mediante el uso de una computadora, estos cálculos de Fourier se realizan rápidamente, de modo que en cuestión de segundos, un instrumento FT-IR controlado por computadora puede producir un patrón de absorción infrarroja comparable al de un instrumento de prisma. ^{[ 9 ]}

La transformada de Fourier también resulta útil como representación compacta de una señal. Por ejemplo, la compresión JPEG utiliza una variante de la transformada de Fourier ( transformada discreta del coseno ) aplicada a pequeños fragmentos cuadrados de una imagen digital. Los componentes de Fourier de cada cuadrado se redondean a una precisión aritmética menor y se eliminan los componentes débiles, de modo que los componentes restantes se pueden almacenar de forma muy compacta. En la reconstrucción de imágenes, cada cuadrado se recompone a partir de los componentes transformados de Fourier aproximados que se conservan, los cuales se transforman inversamente para obtener una aproximación de la imagen original.

En el procesamiento de señales , la transformada de Fourier suele tomar una serie temporal o una función de tiempo continuo y transformarla en un espectro de frecuencias . Es decir, traslada una función del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia ; se trata de una descomposición de la función en sinusoides de diferentes frecuencias. En el caso de una serie de Fourier o una transformada discreta de Fourier , las sinusoides son armónicos de la frecuencia fundamental de la función analizada.

Cuando una función $s(t)$ es una función del tiempo y representa una señal física ; la transformada tiene una interpretación estándar como el espectro de frecuencia de la señal. La magnitud de la función de valor complejo resultante $S(f)$ a frecuencia $f$ representa la amplitud de un componente de frecuencia cuya fase inicial viene dada por el ángulo de $S(f)$ (coordenadas polares).

Las transformadas de Fourier no se limitan a funciones del tiempo ni a frecuencias temporales. También pueden aplicarse al análisis de frecuencias espaciales y, de hecho, a casi cualquier dominio funcional. Esto justifica su uso en campos tan diversos como el procesamiento de imágenes , la conducción de calor y el control automático .

Al procesar señales, como audio , ondas de radio , ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier permite aislar componentes de banda estrecha de una forma de onda compuesta, concentrándolos para facilitar su detección o eliminación. Una amplia gama de técnicas de procesamiento de señales consiste en aplicar la transformada de Fourier a una señal, manipular los datos transformados de forma sencilla y revertir la transformación. ^{[ 10 ]}

Algunos ejemplos incluyen :

Ecualización de grabaciones de audio con una serie de filtros de paso de banda ;
Recepción de radio digital sin circuito superheterodino , como en un teléfono celular moderno o un escáner de radio ;
Procesamiento de imágenes para eliminar artefactos periódicos o anisotrópicos , como bordes dentados en vídeos entrelazados , artefactos de franjas en fotografías aéreas en franjas o patrones de ondas de interferencias de radiofrecuencia en una cámara digital;
Correlación cruzada de imágenes similares para la alineación conjunta;
Cristalografía de rayos X para reconstruir una estructura cristalina a partir de su patrón de difracción;
Espectrometría de masas por resonancia ciclotrónica de iones con transformada de Fourier para determinar la masa de los iones a partir de la frecuencia del movimiento ciclotrónico en un campo magnético;
Muchas otras formas de espectroscopia, incluidas las espectroscopias infrarroja y de resonancia magnética nuclear ;
Generación de espectrogramas de sonido utilizados para analizar sonidos;
El sonar pasivo se utiliza para clasificar objetivos en función del ruido de la maquinaria.

Variantes del análisis de Fourier

{\displaystyle T} — Una transformada de Fourier y 3 variaciones causadas por el muestreo periódico (a intervalos $T$ ) y/o suma periódica (a intervalo $P$ ) de la función subyacente en el dominio del tiempo. La relativa facilidad computacional de la secuencia DFT y la comprensión que proporciona sobre $S(f)$ convertirla en una herramienta de análisis popular.

Existen cinco variantes diferentes del análisis de Fourier, dependiendo de las características de la señal de entrada:

Transformada de Fourier de tiempo continuo (CTFT)
Series de Fourier de tiempo continuo (CTFS)
Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT)
Series de Fourier de tiempo discreto (DTFS)
Transformada discreta de Fourier (DFT)

La elección de cuál de las cuatro primeras variantes utilizar está determinada por dos características de la función de entrada:

Si el dominio de la función de entrada es continuo o discreto, y
Si la función de entrada es periódica o aperiódica en su dominio.

La quinta variante, la DFT, se utiliza únicamente cuando la función de entrada es discreta en su dominio y está limitada a una región de soporte finita. La DFT es la única variante que se puede calcular numéricamente y se puede usar para aproximar las otras cuatro variantes.

Transformada de Fourier de tiempo continuo (CTFT)

Con mayor frecuencia, el término no calificado transformada de Fourier se refiere a la transformada de funciones de un argumento real continuo , y produce una función continua de frecuencia, conocida como distribución de frecuencia o espectro . Una función se transforma en otra, y la operación es reversible. Cuando el dominio de la función de entrada (inicial) es el tiempo ( $t$ ), y el dominio de la función de salida (final) es la frecuencia ordinaria , la transformada de la función $s(t)$ a frecuencia $f$ viene dado por el número complejo :

S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.

Evaluar esta cantidad para todos los valores de $f$ produce la función en el dominio de la frecuencia . Luego $s(t)$ puede representarse como una recombinación de exponenciales complejas de todas las frecuencias posibles :

s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,

que es la fórmula de la transformada inversa. El número complejo, $S(f),$ transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia $f.$

Consulte la transformada de Fourier para obtener mucha más información, incluyendo :

Convenciones para la normalización de amplitud y el escalado/unidades de frecuencia.
propiedades de transformación
transformaciones tabuladas de funciones específicas
una extensión/generalización para funciones de múltiples dimensiones, como las imágenes.

Series de Fourier de tiempo continuo (CTFS)

La transformada de Fourier de una función periódica, $s_{_{P}}(t),$ con período $P,$ se convierte en una función peine de Dirac , modulada por una secuencia de coeficientes complejos :

S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{_{P}}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,

(dónde

\int _{P}

es la integral sobre cualquier intervalo de longitud

P

).

La transformada inversa, conocida como serie de Fourier , es una representación de $s_{_{P}}(t)$ en términos de una suma de un número potencialmente infinito de funciones sinusoidales o exponenciales complejas relacionadas armónicamente , cada una con una amplitud y una fase especificadas por uno de los coeficientes :

s_{_{P}}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.

Cualquier $s_{_{P}}(t)$ puede expresarse como una suma periódica de otra función, $s(t)$ :

s_{_{P}}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),

y los coeficientes son proporcionales a las muestras de $S(f)$ a intervalos discretos de ${\frac {1}{P}}$ :

S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).

^{[ A ]}

Tenga en cuenta que cualquier $s(t)$ cuya transformación tiene los mismos valores de muestra discretos se puede utilizar en la suma periódica. Una condición suficiente para recuperar $s(t)$ (y por lo tanto $S(f)$ ) a partir de estas muestras (es decir, de la serie de Fourier) es que la porción no nula de $s(t)$ estar limitado a un intervalo de duración conocido $P,$ que es el dual en el dominio de la frecuencia del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon .

Consulte la serie de Fourier para obtener más información, incluido su desarrollo histórico.

Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT)

La DTFT es la dual matemática de la serie de Fourier en el dominio del tiempo. Por lo tanto, una suma periódica convergente en el dominio de la frecuencia puede representarse mediante una serie de Fourier, cuyos coeficientes son muestras de una función de tiempo continuo relacionada :

S_{\tfrac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier series (DTFT)}}} _{\text{Poisson summation formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,

que se conoce como DTFT. Por lo tanto, la DTFT de la $s[n]$ La secuencia es también la transformada de Fourier de la función de peine de Dirac modulada . ^{[ B ]}

Los coeficientes de la serie de Fourier (y su transformada inversa) se definen mediante :

s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.

Parámetro $T$ corresponde al intervalo de muestreo, y esta serie de Fourier ahora puede reconocerse como una forma de la fórmula de suma de Poisson . Por lo tanto, tenemos el importante resultado de que cuando una secuencia de datos discretos, $s[n],$ es proporcional a muestras de una función continua subyacente, $s(t),$ se puede observar una suma periódica de la transformada continua de Fourier, $S(f).$ Tenga en cuenta que cualquier $s(t)$ Con los mismos valores de muestra discretos se obtiene la misma DTFT. Pero bajo ciertas condiciones idealizadas, teóricamente se puede recuperar $S(f)$ y $s(t)$ exactamente. Una condición suficiente para una recuperación perfecta es que la porción no nula de $S(f)$ estar confinado a un intervalo de frecuencia conocido de ancho ${\tfrac {1}{T}}.$ Cuando ese intervalo es $\left[-{\tfrac {1}{2T}},{\tfrac {1}{2T}}\right],$ La fórmula de reconstrucción aplicable es la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon . Esta es una piedra angular en los fundamentos del procesamiento digital de señales .

Otra razón para estar interesado en $S_{\tfrac {1}{T}}(f)$ La razón es que a menudo proporciona información sobre la cantidad de aliasing causada por el proceso de muestreo.

Las aplicaciones de la DTFT no se limitan a funciones muestreadas. Consulte Transformada de Fourier de tiempo discreto para obtener más información sobre este y otros temas, incluidos :

unidades de frecuencia normalizadas
segmentación (secuencias de longitud finita)
propiedades de transformación
transformaciones tabuladas de funciones específicas

Series de Fourier de tiempo discreto (DTFS)

Transformada discreta de Fourier (DFT)

Similar a una serie de Fourier, la DTFT de una secuencia periódica, $s_{_{N}}[n],$ con período $N$ , se convierte en una función peine de Dirac, modulada por una secuencia de coeficientes complejos (véase DTFT § Datos periódicos ) :

S[k]=\sum _{n}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,

(dónde

\sum _{n}

es la suma sobre cualquier secuencia de longitud

N.

)

El $S[k]$ La secuencia se conoce habitualmente como la DFT de un ciclo de $s_{_{N}}.$ También lo es $N$ -periódico, por lo que nunca es necesario calcular más que $N$ coeficientes. La transformada inversa, también conocida como serie discreta de Fourier , viene dada por :

s_{_{N}}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},

dónde

\sum _{k}

es la suma sobre cualquier secuencia de longitud

N.

Cuando $s_{_{N}}[n]$ se expresa como una suma periódica de otra función :

s_{_{N}}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],

y

s[n]\,\triangleq \,T\cdot s(nT),

Los coeficientes son muestras de $S_{\tfrac {1}{T}}(f)$ a intervalos discretos de ${\tfrac {1}{P}}={\tfrac {1}{NT}}$ :

S[k]=S_{\tfrac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).

Por el contrario, cuando uno quiere calcular un número arbitrario $(N)$ de muestras discretas de un ciclo de una DTFT continua, $S_{\tfrac {1}{T}}(f),$ Se puede hacer calculando la DFT relativamente simple de $s_{_{N}}[n],$ como se definió anteriormente. En la mayoría de los casos, $N$ se elige igual a la longitud de la porción no nula de $s[n].$ Creciente $N,$ conocido como relleno de ceros o interpolación , da como resultado muestras más próximas entre sí de un ciclo de $S_{\tfrac {1}{T}}(f).$ Decreciente $N,$ causa superposición (adición) en el dominio del tiempo (análogo al aliasing ), lo que corresponde a la decimación en el dominio de la frecuencia. (ver Transformada de Fourier de tiempo discreto § L=N×I ) En la mayoría de los casos de interés práctico, la $s[n]$ La secuencia representa una secuencia más larga que fue truncada mediante la aplicación de una función de ventana de longitud finita o una matriz de filtros FIR .

La transformada discreta de Fourier (DFT) se puede calcular utilizando un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT), lo que la convierte en una transformación práctica e importante en las computadoras.

Consulte la Transformada discreta de Fourier para obtener mucha más información, incluyendo :

propiedades de transformación
aplicaciones
transformaciones tabuladas de funciones específicas

Resumen

Para funciones periódicas, tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) constan únicamente de un conjunto discreto de componentes de frecuencia (series de Fourier), y las transformadas divergen en dichas frecuencias. Una práctica común (no mencionada anteriormente) consiste en abordar esta divergencia mediante funciones delta y peine de Dirac . Sin embargo, la misma información espectral puede obtenerse a partir de un solo ciclo de la función periódica, dado que todos los demás ciclos son idénticos. De manera similar, las funciones de duración finita pueden representarse como una serie de Fourier, sin pérdida real de información, salvo que la periodicidad de la transformada inversa es un mero artefacto.

En la práctica, es común que la duración de s (•) se limite al período $P$ o $N.$ Pero estas fórmulas no requieren esa condición.

Propiedades de simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, denotadas a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y existe una correspondencia biunívoca entre las cuatro componentes de una función de tiempo compleja y las cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja : ^{[ 11 ]}

{\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}

De esto se desprenden diversas relaciones, por ejemplo :

La transformación de una función de valor real $(s_{_{RE}}+s_{_{RO}})$ es la función simétrica conjugada $S_{RE}+i\ S_{IO}.$ Por el contrario, una transformación simétrica conjugada implica un dominio temporal de valores reales.
La transformada de una función de valor imaginario $(i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})$ es la función antisimétrica conjugada $S_{RO}+i\ S_{IE},$ y lo contrario también es cierto.
La transformada de una función simétrica conjugada $(s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})$ es la función de valor real $S_{RE}+S_{RO},$ y lo contrario también es cierto.
La transformada de una función antisimétrica conjugada $(s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})$ es la función de valor imaginario $i\ S_{IE}+i\ S_{IO},$ y lo contrario también es cierto.

Historia

Una forma temprana de series armónicas se remonta a las matemáticas babilónicas antiguas , donde se utilizaban para calcular efemérides (tablas de posiciones astronómicas). ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

Los conceptos griegos clásicos de deferente y epiciclo en el sistema astronómico ptolemaico estaban relacionados con las series de Fourier (véase Deferente y epiciclo § Formalismo matemático ).

En tiempos modernos, variantes de la transformada discreta de Fourier fueron utilizadas por Alexis Clairaut en 1754 para calcular una órbita, ^{[ 16 ]} que ha sido descrita como la primera fórmula para la DFT, ^{[ 17 ]} y en 1759 por Joseph Louis Lagrange , para calcular los coeficientes de una serie trigonométrica para una cuerda vibrante. ^{[ 17 ]} Técnicamente, el trabajo de Clairaut fue una serie solo de cosenos (una forma de transformada discreta de coseno ), mientras que el trabajo de Lagrange fue una serie solo de senos (una forma de transformada discreta de seno ); una verdadera DFT de coseno+seno fue utilizada por Gauss en 1805 para la interpolación trigonométrica de órbitas de asteroides . ^{[ 18 ]} Euler y Lagrange discretizaron el problema de la cuerda vibrante, utilizando lo que hoy se denominaría muestras. ^{[ 17 ]}

Un desarrollo temprano de la era moderna hacia el análisis de Fourier fue el artículo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations de Lagrange, que en el método de resolventes de Lagrange utilizó una descomposición de Fourier compleja para estudiar la solución de una ecuación cúbica : ^{[ 19 ]} Lagrange transformó las raíces $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3}$ en las resolventes :

{\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}

donde $ζ$ es una raíz cúbica de la unidad , que es la DFT de orden 3.

Varios autores, en particular Jean le Rond d'Alembert y Carl Friedrich Gauss, utilizaron series trigonométricas para estudiar la ecuación del calor , ^{[ 20 ]} pero el avance decisivo fue el artículo de 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides de Joseph Fourier , cuya idea crucial fue modelar todas las funciones mediante series trigonométricas, introduciendo así la serie de Fourier. Independientemente de Fourier, el astrónomo Friedrich Wilhelm Bessel también introdujo la serie de Fourier para resolver la ecuación de Kepler . Su trabajo se publicó en 1819, sin tener conocimiento del trabajo de Fourier, que permaneció inédito hasta 1822. ^{[ 21 ]}

Los historiadores están divididos en cuanto a cuánto crédito se le debe a Lagrange y otros por el desarrollo de la teoría de Fourier : Daniel Bernoulli y Leonhard Euler habían introducido representaciones trigonométricas de funciones, y Lagrange había dado la solución de la ecuación de onda mediante series de Fourier, por lo que la contribución de Fourier fue principalmente la audaz afirmación de que una función arbitraria podía representarse mediante una serie de Fourier. ^{[ 17 ]}

El desarrollo posterior de este campo se conoce como análisis armónico , y es también un ejemplo temprano de teoría de la representación .

El primer algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT) para la transformada discreta de Fourier (DFT) fue descubierto alrededor de 1805 por Carl Friedrich Gauss al interpolar mediciones de la órbita de los asteroides Juno y Pallas , aunque ese algoritmo FFT en particular se atribuye con mayor frecuencia a sus redescubridores modernos Cooley y Tukey . ^{[ 18 ]}^{[ 16 ]}

Transformaciones tiempo-frecuencia

En términos de procesamiento de señales , una función (del tiempo) es una representación de una señal con una resolución temporal perfecta , pero sin información de frecuencia, mientras que la transformada de Fourier tiene una resolución de frecuencia perfecta , pero sin información de tiempo.

Como alternativas a la transformada de Fourier, en el análisis tiempo-frecuencia se utilizan transformadas tiempo-frecuencia para representar señales de forma que contengan información temporal y frecuencial; según el principio de incertidumbre , existe una compensación entre ambas. Estas transformadas pueden ser generalizaciones de la transformada de Fourier, como la transformada de Fourier de tiempo corto , la transformada de Gabor o la transformada fraccional de Fourier (FRFT), o bien pueden utilizar funciones diferentes para representar señales, como en las transformadas wavelet y chirplet , siendo la transformada wavelet continua el análogo wavelet de la transformada de Fourier (continua) .

transformadas de Fourier en grupos topológicos abelianos localmente compactos arbitrarios

Las variantes de Fourier también pueden generalizarse a transformadas de Fourier en grupos topológicos abelianos localmente compactos arbitrarios , que se estudian en el análisis armónico ; allí, la transformada de Fourier transforma funciones de un grupo en funciones del grupo dual. Este tratamiento también permite una formulación general del teorema de convolución , que relaciona las transformadas de Fourier con las convoluciones . Véase también la dualidad de Pontryagin para conocer los fundamentos generalizados de la transformada de Fourier.

Más específicamente, el análisis de Fourier se puede realizar en clases laterales, ^{[ 22 ]} incluso en clases laterales discretas.

Notas

↑ $\int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt} _{\triangleq \,S\left({\frac {k}{P}}\right)}$
↑ También podemos observar que :
${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(nT)\delta (t-nT)&=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(t)\delta (t-nT)\\&=s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}$
En consecuencia, una práctica común es modelar el "muestreo" como una multiplicación por la función peine de Dirac , lo cual, por supuesto, solo es "posible" en un sentido puramente matemático.

Referencias

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Lecturas adicionales

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Kamen, EW; Heck, BS (2 de marzo de 2000). Fundamentos de señales y sistemas mediante la web y Matlab (2.ª ed.). Prentiss-Hall. ISBN 978-0-13-017293-8.
Müller, Meinard (2015). La transformada de Fourier en pocas palabras (PDF) . Springer. En Fundamentos del procesamiento musical , Sección 2.1, pp. 40–56. doi : 10.1007/978-3-319-21945-5 . ISBN 978-3-319-21944-8. S2CID 8691186 . Archivado (PDF) del original el 8 de abril de 2016.
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Enlaces externos

Tablas de transformadas integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
Una explicación intuitiva de la teoría de Fourier, por Steven Lehar.
Conferencias sobre procesamiento de imágenes: Una colección de 18 conferencias en formato PDF de la Universidad de Vanderbilt. La conferencia 6 trata sobre la transformada de Fourier unidimensional y bidimensional. Las conferencias 7 a 15 hacen uso de ella. Por Alan Peters.
Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "Suma Σ (y análisis de Fourier)" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
Introducción al análisis de Fourier de series temporales en nivel intermedio

[11] $\int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt} _{\triangleq \,S\left({\frac {k}{P}}\right)}$

[12] También podemos observar que :
${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(nT)\delta (t-nT)&=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(t)\delta (t-nT)\\&=s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}$
En consecuencia, una práctica común es modelar el "muestreo" como una multiplicación por la función peine de Dirac , lo cual, por supuesto, solo es "posible" en un sentido puramente matemático.

[1] "Fourier" . Dictionary.com Unabridged (Online). nd

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