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Articulo de referencia

Dimensión fractal

11,5 × 200 km = 2300 km 28 × 100 km = 2800 km 70 × 50 km = 3500 km Figura 1. A medida que la longitud de la regla de medición se hace cada vez más pequeña, la longitud total de ...

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Litoral de Gran Bretaña medido en una escala de 200 km.
11,5 × 200 km = 2300 km
Litoral de Gran Bretaña medido en una escala de 100 km.
28 × 100 km = 2800 km
Litoral de Gran Bretaña medido en una escala de 50 km.
70 × 50 km = 3500 km
Figura 1. A medida que la longitud de la regla de medición se hace cada vez más pequeña, la longitud total de la línea costera medida aumenta (véase Paradoja de la línea costera ).

En la teoría de la medida geométrica , las dimensiones fractales permiten obtener índices estadísticos consistentes de complejidad en los patrones . Dado que los patrones fractales pueden variar con la escala , debería ser posible medir la capacidad de llenado del espacio en dimensiones no enteras (fractales). [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

La idea principal de dimensiones "fracturadas" tiene una larga historia en matemáticas, pero el término en sí fue popularizado por Benoit Mandelbrot a partir de su artículo de 1967 sobre autosimilitud , donde analiza las dimensiones fraccionarias . [ 4 ] En ese artículo, Mandelbrot citó un trabajo previo de Lewis Fry Richardson que describe la noción contraintuitiva de que la longitud medida de una línea costera cambia con la longitud de la regla de medición utilizada (véase la Fig.  1 ). En términos de esa noción, la dimensión fractal de una línea costera cuantifica cómo cambia el número de reglas de medición escaladas necesarias para medir la línea costera con la escala aplicada a la regla. [ 5 ] Hay varias definiciones matemáticas formales de dimensión fractal que se basan en este concepto básico de cambio en el detalle con el cambio de escala, véase §  Ejemplos más adelante.

En última instancia, el término dimensión fractal se convirtió en la frase con la que Mandelbrot se sintió más cómodo para encapsular el significado de la palabra fractal , término que él mismo creó. Tras varias iteraciones a lo largo de los años, Mandelbrot optó por este uso del lenguaje: «utilizar fractal sin una definición pedante, utilizar dimensión fractal como un término genérico aplicable a todas las variantes». [ 6 ]

Un ejemplo no trivial es la dimensión fractal de un copo de nieve de Koch . Tiene una dimensión topológica de 1, pero no es rectificable en absoluto : la longitud de la curva entre dos puntos cualesquiera del copo de nieve de Koch es infinita . Ningún pequeño fragmento es como una línea, sino que está compuesto por un número infinito de segmentos unidos en diferentes ángulos. La dimensión fractal de una curva se puede explicar intuitivamente pensando en una línea fractal como un objeto demasiado detallado para ser unidimensional, pero demasiado simple para ser bidimensional. [ 7 ] Por lo tanto, su dimensión podría describirse mejor no por su dimensión topológica habitual de 1, sino por su dimensión fractal, que suele ser un número entre uno y dos; en el caso del copo de nieve de Koch, es aproximadamente 1,2619.

Introducción

Figura 2. Un fractal cuádrico de 32 segmentos escalado y visto a través de cajas de diferentes tamaños. El patrón ilustra la autosimilitud . La dimensión fractal teórica para este fractal es 5/3 ≈ 1,67; su dimensión fractal empírica a partir del análisis de conteo de cajas es de ±1 % [ 8 ] utilizando software de análisis fractal .

Una dimensión fractal es un índice para caracterizar patrones o conjuntos fractales cuantificando su complejidad como una relación entre el cambio en detalle y el cambio en escala. [ 5 ] : 1 Se pueden medir varios tipos de dimensión fractal teórica y empíricamente (véase la Fig. 2 ). [ 3 ] [ 9 ] Las dimensiones fractales se utilizan para caracterizar un amplio espectro de objetos que van desde lo abstracto [ 1 ] [ 3 ] hasta fenómenos prácticos, incluyendo turbulencia, [ 5 ] : 97–104 redes fluviales, : 246–247 crecimiento urbano, [ 10 ] [ 11 ] fisiología humana, [ 12 ] [ 13 ] medicina, [ 9 ] y tendencias del mercado. [ 14 ] La idea esencial de dimensiones fraccionarias o fractales tiene una larga historia en matemáticas que se remonta al siglo XVII, [ 5 ] : 19 [ 15 ] pero los términos fractal y dimensión fractal fueron acuñados por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. [ 1 ] [ 2 ] [ 5 ] [ 9 ] [ 14 ] [ 16 ] 

Las dimensiones fractales se aplicaron inicialmente como un índice que caracterizaba formas geométricas complejas en las que los detalles parecían más importantes que la imagen general. [ 16 ] Para conjuntos que describen formas geométricas ordinarias, la dimensión fractal teórica es igual a la dimensión euclidiana o topológica habitual del conjunto . Así, es 0 para conjuntos que describen puntos (conjuntos de dimensión 0); 1 para conjuntos que describen líneas (conjuntos de dimensión 1 con solo longitud); 2 para conjuntos que describen superficies (conjuntos de dimensión 2 con longitud y anchura); y 3 para conjuntos que describen volúmenes (conjuntos de dimensión 3 con longitud, anchura y altura). Pero esto cambia para los conjuntos fractales. Si la dimensión fractal teórica de un conjunto supera su dimensión topológica, se considera que el conjunto tiene geometría fractal. [ 17 ]

A diferencia de las dimensiones topológicas, el índice fractal puede tomar valores no enteros , [ 18 ] lo que indica que un conjunto llena su espacio cualitativa y cuantitativamente diferente de cómo lo hace un conjunto geométrico ordinario. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Por ejemplo, una curva con una dimensión fractal muy cercana a 1, digamos 1.10, se comporta bastante como una línea ordinaria, pero una curva con dimensión fractal de 1.9 serpentea de forma convoluta por el espacio muy casi como una superficie. De manera similar, una superficie con dimensión fractal de 2.1 llena el espacio muy como una superficie ordinaria, pero una con dimensión fractal de 2.9 se pliega y fluye para llenar el espacio casi como un volumen. [ 17 ] : 48 [ notas 1 ] Esta relación general se puede observar en las dos imágenes de curvas fractales de la Fig.  2 y la Fig.  3 : el contorno de 32 segmentos de la Fig. 2, convolucionado y que llena el espacio, tiene una dimensión fractal de 1,67, en comparación con la curva de Koch perceptiblemente menos compleja de la Fig. 3, que tiene una dimensión fractal de aproximadamente 1,2619.   

una animación de la curva de Koch
Figura 3. La curva de Koch es una curva fractal iterada clásica . Se crea partiendo de un segmento de línea y escalando iterativamente cada segmento en un tercio, obteniendo cuatro piezas nuevas dispuestas una tras otra, con dos piezas centrales inclinadas entre sí a lo largo de un triángulo equilátero, de modo que el nuevo segmento abarca la distancia entre los extremos del segmento original. La animación solo muestra algunas iteraciones, pero la curva teórica se escala de esta manera infinitamente.

La relación entre una dimensión fractal creciente y el llenado del espacio podría interpretarse como que las dimensiones fractales miden la densidad, pero no es así; ambas no están estrictamente correlacionadas. [ 8 ] En cambio, una dimensión fractal mide la complejidad, un concepto relacionado con ciertas características clave de los fractales: la autosimilitud y el detalle o irregularidad . [ nota 2 ] Estas características son evidentes en los dos ejemplos de curvas fractales. Ambas son curvas con dimensión topológica de 1, por lo que cabría esperar poder medir su longitud y derivada de la misma manera que con las curvas ordinarias. Pero no podemos hacer ninguna de estas cosas, porque las curvas fractales tienen complejidad en forma de autosimilitud y detalle que las curvas ordinarias no tienen. [ 5 ] La autosimilitud reside en la escala infinita, y el detalle en los elementos definitorios de cada conjunto. La longitud entre dos puntos cualesquiera de estas curvas es infinita, por muy cerca que estén, lo que significa que es imposible aproximar la longitud de dicha curva dividiéndola en muchos segmentos pequeños. [ 19 ] Cada pieza más pequeña está compuesta por un número infinito de segmentos escalados que se ven exactamente como la primera iteración. Estas no son curvas rectificables , lo que significa que no se pueden medir descomponiéndolas en muchos segmentos que aproximen sus respectivas longitudes. No se pueden caracterizar de manera significativa calculando sus longitudes y derivadas. Sin embargo, se pueden determinar sus dimensiones fractales, lo que muestra que ambas ocupan más espacio que las líneas ordinarias pero menos que las superficies, y permite compararlas en este sentido.

Las dos curvas fractales descritas anteriormente muestran un tipo de autosimilitud que es exacta con una unidad repetitiva de detalle que se visualiza fácilmente. Este tipo de estructura puede extenderse a otros espacios (por ejemplo, un fractal que extiende la curva de Koch al espacio 3D tiene un D teórico = 2,5849). Sin embargo, esta complejidad tan claramente contable es solo un ejemplo de la autosimilitud y el detalle que están presentes en los fractales. [ 3 ] [ 14 ] El ejemplo de la línea costera de Gran Bretaña, por ejemplo, exhibe autosimilitud de un patrón aproximado con escala aproximada. [ 5 ] : 26 En general, los fractales muestran varios tipos y grados de autosimilitud y detalle que pueden no ser fácilmente visualizados. Estos incluyen, por ejemplo, atractores extraños , cuyo detalle se ha descrito como, esencialmente, apilamientos de porciones suaves, [ 17 ] : 49 el conjunto de Julia , que puede verse como remolinos complejos sobre remolinos, y frecuencias cardíacas, que son patrones de picos irregulares repetidos y escalados en el tiempo. [ 20 ] La complejidad fractal no siempre se puede resolver en unidades de detalle y escala fácilmente comprensibles sin métodos analíticos complejos, pero aún así es cuantificable a través de dimensiones fractales. [ 5 ] : 197, 262

Historia

Los términos dimensión fractal y fractal fueron acuñados por Mandelbrot en 1975, [ 16 ] aproximadamente una década después de que publicara su artículo sobre la autosimilitud en la costa de Gran Bretaña. Varias autoridades históricas le atribuyen también la síntesis de siglos de matemáticas teóricas y trabajos de ingeniería complicados y su aplicación de una manera nueva para estudiar geometrías complejas que desafiaban la descripción en términos lineales habituales. [ 15 ] [ 21 ] [ 22 ] Las raíces más antiguas de lo que Mandelbrot sintetizó como la dimensión fractal se han rastreado claramente hasta escritos sobre funciones no diferenciables, infinitamente autosimilares, que son importantes en la definición matemática de fractales, alrededor de la época en que se descubrió el cálculo a mediados del siglo XVII. [ 5 ] : 405 Hubo una pausa en la publicación de trabajos sobre tales funciones durante un tiempo después de eso, luego una renovación que comenzó a finales del siglo XIX con la publicación de funciones y conjuntos matemáticos que hoy se llaman fractales canónicos (como los trabajos epónimos de von Koch , [ 19 ] Sierpiński y Julia ), pero en el momento de su formulación a menudo se consideraban "monstruos" matemáticos antitéticos. [ 15 ] [ 22 ] Estos trabajos estuvieron acompañados por quizás el punto más crucial en el desarrollo del concepto de dimensión fractal a través del trabajo de Hausdorff a principios del siglo XX, quien definió una dimensión "fraccional" que ha llegado a ser nombrada en su honor y se invoca con frecuencia para definir fractales modernos . [ 4 ] [ 5 ] : 44 [ 17 ] [ 21 ]

Consulte la historia de los fractales para obtener más información.

Definición matemática

Líneas, cuadrados y cubos.
Figura 4. Nociones tradicionales de geometría para definir la escala y la dimensión. 1{\displaystyle 1},12=1{\displaystyle 1^{2}=1},13=1;{\displaystyle 1^{3}=1;}2{\displaystyle 2},22=4{\displaystyle 2^{2}=4},23=8;{\displaystyle 2^{3}=8;}3{\displaystyle 3},32=9{\displaystyle 3^{2}=9},33=27.{\displaystyle 3^{3}=27.}[ 23 ]

La definición matemática de dimensión fractal se puede derivar observando y luego generalizando el efecto de la dimensión tradicional en los cambios de medición bajo escala. [ 24 ] Por ejemplo, supongamos que tenemos una línea y una regla de medición de igual longitud. Ahora reducimos la regla a 1/3 de su tamaño; ahora podemos colocar 3  reglas en la línea. De manera similar, en dos dimensiones, supongamos que tenemos un cuadrado y una "escuadra de medición" idéntica. Ahora reducimos el lado de la escuadra de medición a 1/3 de su longitud; ahora podemos colocar 3^2 = 9  escuadras de medición en el cuadrado. Estas relaciones de escala familiares obedecen la ecuación ( 1 ) , donde  ε{\displaystyle \varepsilon }es el factor de escala,D{\displaystyle D}la dimensión ynorte{\displaystyle N}el número resultante de unidades (varillas, cuadrados, etc.) en el objeto medido:

En el ejemplo de la línea, la dimensiónD=1{\displaystyle D=1}porque haynorte=3{\displaystyle N=3}unidades cuando el factor de escalaε=1/3{\displaystyle \varepsilon =1/3}. En el ejemplo del cuadrado,D=2{\displaystyle D=2}porquenorte=9{\displaystyle N=9}cuandoε=1/3{\displaystyle \varepsilon =1/3}.

Contorno fractal de un copo de nieve de Koch
Figura 5. Las primeras cuatro iteraciones del copo de nieve de Koch , que tiene una dimensión de Hausdorff de aproximadamente 1,2619.

La dimensión fractal generaliza la dimensión tradicional en el sentido de que puede ser fraccionaria, pero tiene exactamente la misma relación con la escala que la dimensión tradicional; de hecho, se deriva simplemente reordenando la ecuación ( 1 ) :

D{\displaystyle D}puede considerarse como la potencia del factor de escala de la medida de un objeto dado algún escalado de su "radio".

Por ejemplo, el copo de nieve de Koch tieneD=1.26185…{\displaystyle D=1.26185\ldots }, lo que indica que al alargar su radio, su medida crece más rápido que si fuera una figura unidimensional (como un polígono), pero más lento que si fuera una figura bidimensional (como un polígono relleno). [ 3 ]

Cabe destacar que las imágenes que se muestran en esta página no son fractales verdaderos debido a la escala descrita porD{\displaystyle D}no pueden extenderse más allá del punto de su componente más pequeño, un píxel. Sin embargo, los patrones teóricos que representan las imágenes no tienen piezas discretas similares a píxeles, sino que están compuestos por un número infinito de segmentos de escala infinita y, de hecho, poseen las dimensiones fractales alegadas. [ 5 ] [ 24 ]

D no es un descriptor único

Figura 6. Dos fractales ramificados de sistemas L que se forman produciendo 4 partes nuevas por cada escala de 1/3 , teniendo así la misma teoríaD{\displaystyle D}como la curva de Koch, y para la cual el conteo de cajas empíricoD{\displaystyle D}Se ha demostrado con una precisión del 2%. [ 8 ]

Al igual que ocurre con las dimensiones determinadas para líneas, cuadrados y cubos, las dimensiones fractales son descriptores generales que no definen patrones de forma unívoca. [ 24 ] [ 25 ] El valor de D para el fractal de Koch mencionado anteriormente, por ejemplo, cuantifica la escala inherente del patrón, pero no lo describe de forma unívoca ni proporciona suficiente información para reconstruirlo. Se podrían construir muchas estructuras o patrones fractales que tengan la misma relación de escala, pero que sean radicalmente diferentes de la curva de Koch, como se ilustra en la Fig.  6 .

Para ver ejemplos de cómo se pueden construir patrones fractales, consulte Fractal , Triángulo de Sierpinski , Conjunto de Mandelbrot , Agregación limitada por difusión , Sistema L.

Estructuras de superficie fractal

Figura 7: Ilustración del aumento de la fractalidad de la superficie. Superficies autoafines (izquierda) y perfiles de superficie correspondientes (derecha) que muestran una dimensión fractal creciente D f .

El concepto de fractalidad se aplica cada vez más en el campo de la ciencia de superficies , proporcionando un puente entre las características de la superficie y las propiedades funcionales. [ 26 ] Se utilizan numerosos descriptores de superficie para interpretar la estructura de superficies nominalmente planas, que a menudo exhiben características autoafines en múltiples escalas de longitud. La rugosidad superficial media , generalmente denotada R A , es el descriptor de superficie más comúnmente aplicado; sin embargo, se aplican regularmente muchos otros descriptores, incluyendo la pendiente media, la rugosidad cuadrática media (R RMS ) y otros. Sin embargo, se ha descubierto que muchos fenómenos físicos de la superficie no pueden interpretarse fácilmente con referencia a dichos descriptores, por lo que la dimensión fractal se aplica cada vez más para establecer correlaciones entre la estructura de la superficie en términos de comportamiento de escala y rendimiento. [ 27 ] Las dimensiones fractales de las superficies se han empleado para explicar y comprender mejor fenómenos en áreas de mecánica de contacto , [ 28 ] comportamiento friccional , [ 29 ] resistencia de contacto eléctrico [ 30 ] y óxidos conductores transparentes . [ 31 ]

Ejemplos

El concepto de dimensión fractal descrito en este artículo ofrece una visión básica de una construcción compleja. Los ejemplos aquí presentados se eligieron para mayor claridad, y la unidad de escala y las proporciones se conocían de antemano. Sin embargo, en la práctica, las dimensiones fractales pueden determinarse mediante técnicas que aproximan la escala y el detalle a partir de límites estimados mediante líneas de regresión en gráficos logarítmicos de tamaño frente a escala. A continuación se enumeran varias definiciones matemáticas formales de diferentes tipos de dimensión fractal. Si bien para conjuntos compactos con autosimilitud afín exacta todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes.

  • La dimensión de conteo de cajas se estima como el exponente de una ley de potencias :
    D0=límiteε→0registro⁡norte(ε)registro⁡1ε.{\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}
  • La dimensión de información considera cómo la información promedio necesaria para identificar una caja ocupada se escala con el tamaño de la caja (pag{\displaystyle p}es una probabilidad):
    D1=límiteε→0−⟨registro⁡pagε⟩registro⁡1ε.{\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}
  • La dimensión de correlación se basa enMETRO{\displaystyle M}como el número de puntos utilizados para generar una representación de un fractal y g ε , el número de pares de puntos más cercanos entre sí que ε:
    D2=límiteMETRO→∞límiteε→0registro⁡(gramoε/METRO2)registro⁡ε.{\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}.}
  • Dimensiones generalizadas o de Rényi: las dimensiones de conteo de cajas, información y correlación pueden considerarse casos especiales de un espectro continuo de dimensiones generalizadas de orden α, definidas por
    Dα=límiteε→01α−1registro⁡(∑ipagiα)registro⁡ε.{\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}.}
  • Dimensión de Higuchi [ 32 ]
    D=dregistro⁡L(k)dregistro⁡k.{\displaystyle D={\frac {d\log L(k)}{d\log k}}.}
  • dimensión de Lyapunov
  • Dimensiones multifractales : un caso especial de dimensiones de Rényi donde el comportamiento de escala varía en diferentes partes del patrón.
  • Exponente de incertidumbre
  • Dimensión de Hausdorff : Para cualquier subconjuntoS{\displaystyle S}de un espacio métricoincógnita{\displaystyle X}yd≥0{\displaystyle d\geq 0}, el contenido de Hausdorff d -dimensional de S se define pordoHd(S):=inf{∑irid: hay una portada de S por bolas con radios ri>0}.{\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ existe una cobertura de }}S{\text{ por bolas con radios }}r_{i}>0{\Bigr \}}.}La dimensión de Hausdorff de S se define por
    oscuroH⁡(incógnita):=inf{d≥0:doHd(incógnita)=0}.{\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}
  • Dimensiones del embalaje
  • Dimensión de Assouad
  • Dimensión conectada local [ 33 ]
  • La dimensión de grado describe la naturaleza fractal de la distribución de grados de los grafos. [ 34 ]
  • Dimensión parabólica de Hausdorff

Estimación a partir de datos del mundo real

Muchos fenómenos del mundo real presentan propiedades fractales limitadas o estadísticas, así como dimensiones fractales que se han estimado a partir de datos muestreados mediante técnicas de análisis fractal computarizadas . En la práctica, las mediciones de la dimensión fractal se ven afectadas por diversos problemas metodológicos y son sensibles al ruido numérico o experimental, así como a las limitaciones en la cantidad de datos. No obstante, el campo está creciendo rápidamente ya que las dimensiones fractales estimadas para fenómenos estadísticamente autosimilares pueden tener muchas aplicaciones prácticas en varios campos, incluyendo astronomía, [ 35 ] acústica, [ 36 ] [ 37 ] arquitectura, [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] geología y ciencias de la tierra, [ 41 ] imágenes de diagnóstico, [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] ecología, [ 45 ] procesos electroquímicos, [ 46 ] análisis de imágenes, [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ] biología y medicina, [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ] neurociencia, [ 54 ] [ 13 ] análisis de redes , fisiología, [ 12 ] física, [ 55 ] [ 56 ] y ceros zeta de Riemann . [ 57 ] También se ha demostrado que las estimaciones de dimensión fractal se correlacionan con la complejidad de Lempel-Ziv en conjuntos de datos del mundo real de psicoacústica y neurociencia. [ 54 ] [ 36 ]

Una alternativa a la medición directa consiste en considerar un modelo matemático que se asemeje a la formación de un objeto fractal del mundo real. En este caso, también se puede realizar una validación comparando otras propiedades, además de las fractales, implícitas en el modelo, con datos medidos. En física coloidal , surgen sistemas compuestos por partículas con diversas dimensiones fractales. Para describir estos sistemas, conviene hablar de una distribución de dimensiones fractales y, eventualmente, de una evolución temporal de estas últimas: un proceso impulsado por una compleja interacción entre agregación y coalescencia . [ 58 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Consulte la Lista de fractales por dimensión de Hausdorff para obtener una representación gráfica de las diferentes dimensiones fractales.
  2. ↑ Véase Características de los fractales §  .

Referencias

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Lecturas adicionales

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  • El software Benoit de TruSoft , especializado en análisis fractal, calcula las dimensiones fractales y los exponentes de Hurst.
  • Un applet de Java para calcular dimensiones fractales archivado el 26/01/2011 en la Wayback Machine.
  • Introducción al análisis fractal
  • Bowley, Roger (2009). "Dimensión fractal" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
  • " Los fractales normalmente no son autosimilares" . 3Azul1Marrón .