Sistema de orden fraccional

En los campos de los sistemas dinámicos y la teoría de control , un sistema de orden fraccionario es un sistema dinámico que puede modelarse mediante una ecuación diferencial fraccionaria que contiene derivadas de orden no entero . ^{[ 1 ]} Se dice que estos sistemas tienen dinámica fraccionaria . Las derivadas e integrales de órdenes fraccionarios se utilizan para describir objetos que pueden caracterizarse por no localidad de ley de potencias , ^{[ 2 ]} dependencia de largo alcance de ley de potencias o propiedades fractales . Los sistemas de orden fraccionario son útiles para estudiar el comportamiento anómalo de los sistemas dinámicos en física, electroquímica , biología, viscoelasticidad y sistemas caóticos . ^{[ 1 ]}

Un sistema dinámico general de orden fraccionario puede escribirse en la forma ^{[ 3 ].}

${\displaystyle H(D^{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}})(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{l})=G(D^{\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}})(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k})}$

dónde${\displaystyle H}$y${\displaystyle G}$son funciones del operador de derivada fraccionaria${\displaystyle D}$de órdenes${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$y${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}}$y${\displaystyle y_{i}}$y${\displaystyle u_{j}}$son funciones del tiempo. Un caso especial común de esto es el sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) en una variable:

${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{m}a_{k}D^{\alpha _{k}}\right)y(t)=\left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}D^{\beta _{k}}\right)u(t)}$

Las órdenes${\displaystyle \alpha _{k}}$y${\displaystyle \beta _{k}}$son en general cantidades complejas, pero dos casos interesantes son cuando los órdenes son conmensurables.

${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta \in R^{+}}$

y cuando también son racionales :

${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta ={\frac {1}{q}},q\in Z^{+}}$

Cuando${\displaystyle q=1}$Las derivadas son de orden entero y el sistema se convierte en una ecuación diferencial ordinaria . Por lo tanto, al aumentar la especialización, los sistemas LTI pueden ser de orden general, orden conmensurable, orden racional o orden entero.

Las leyes exponenciales constituyen un enfoque clásico para estudiar la dinámica de las densidades de población, pero existen muchos sistemas donde la dinámica se rige por leyes más rápidas o más lentas que las exponenciales. En tales casos, los cambios anómalos en la dinámica pueden describirse mejor mediante funciones de Mittag-Leffler . ^{[ 4 ]}

La difusión anómala es otro sistema dinámico en el que los sistemas de orden fraccional desempeñan un papel importante para describir el flujo anómalo en el proceso de difusión.

La viscoelasticidad es la propiedad de un material en la que este exhibe su naturaleza entre un comportamiento puramente elástico y un fluido puro. En el caso de materiales reales, la relación entre tensión y deformación dada por la ley de Hooke y la ley de Newton presentan desventajas evidentes. Por lo tanto, GW Scott Blair introdujo una nueva relación entre tensión y deformación dada por

${\displaystyle \sigma (t)=E{D_{t}^{\alpha }}\varepsilon (t),\quad 0<\alpha <1.}$

En la teoría del caos , se ha observado que el caos se produce en sistemas dinámicos de orden 3 o superior. Con la introducción de los sistemas de orden fraccional, algunos investigadores estudian el caos en sistemas de orden total inferior a 3. ^{[ 5 ]}

En neurociencia , se ha descubierto que las neuronas piramidales neocorticales individuales de la rata se adaptan con una escala temporal que depende de la escala temporal de los cambios en las estadísticas del estímulo. Esta adaptación a múltiples escalas temporales es consistente con la diferenciación de orden fraccional, de modo que la tasa de disparo de la neurona es una derivada fraccional de parámetros de estímulo que varían lentamente. ^{[ 6 ]}

Consideremos un problema de valor inicial de orden fraccional :

${\displaystyle {_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }}x(t)=f(t,x(t)),\quad t\in [0,T],\quad x(0)=x_{0},\quad 0<\alpha <1.}$

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• Aplicaciones del cálculo fraccional en el control automático y la robótica. Un tutorial sobre cálculo fraccional, sistemas de orden fraccional y teoría de control de orden fraccional.