Grupo libre por cíclico

En la teoría de grupos , especialmente en la teoría geométrica de grupos , la clase de grupos libres por cíclicos ha sido estudiada en profundidad como ejemplos importantes. Un grupo${\displaystyle G}$Se dice que es libre por cíclico si tiene un subgrupo normal libre .${\displaystyle F}$de tal manera que el grupo cociente${\displaystyle G/F}$es cíclico . En otras palabras,${\displaystyle G}$Un grupo es libre por cíclico si puede expresarse como una extensión de un grupo libre por un grupo cíclico (nota: existen dos convenciones para "por"). Por lo general, asumimos que${\displaystyle F}$es finitamente generado y el cociente es un grupo cíclico infinito. Equivalentemente, podemos definir un grupo libre por cíclico de forma constructiva: si${\displaystyle \varphi }$es un automorfismo de${\displaystyle F}$, el producto semidirecto${\displaystyle F\rtimes _ {\varphi}\mathbb {Z}}$es un grupo libre por cíclico.

Una clase de isomorfismo de un grupo libre por cíclico está determinada por un automorfismo externo . Si dos automorfismos${\displaystyle \varphi,\psi}$representan el mismo automorfismo externo, es decir,${\displaystyle \varphi =\psi \iota }$para algún automorfismo interno${\displaystyle \iota }$, los grupos libres por cíclicos${\displaystyle F\rtimes _ {\varphi}\mathbb {Z}}$y${\displaystyle F\rtimes _ {\psi }\mathbb {Z} }$son isomorfos.

El estudio de los grupos libres por cíclicos está fuertemente relacionado con el del automorfismo externo adjunto. Entre las preguntas motivadoras se encuentran las relativas a sus propiedades de curvatura no positivas, como ser CAT(0) .

• Un grupo libre por cíclico es hiperbólico si y solo si no contiene un subgrupo isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$, si y solo si ninguna clase de conjugación no trivial queda invariante por el automorfismo adjunto (caso irreducible: Bestvina y Feighn, 1992; caso general: Brinkmann, 2000). ^{[ 1 ]}

• Los grupos hiperbólicos libres por cíclicos son grupos fundamentales de complejos cúbicos compactos de curvatura no positiva (Hagen y Wise, 2015). ^{[ 2 ]}

• Algunos grupos libres por cíclicos son hiperbólicos con respecto a subgrupos libres abelianos . De manera más general, todos los grupos libres por cíclicos son hiperbólicos con respecto a una colección de subgrupos que son libres por cíclicos para un automorfismo de crecimiento polinomial. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• Cualquier subgrupo finitamente generado de un grupo libre por cíclico está finitamente presentado (Feighn y Handel, 1999). ^{[ 5 ]}

• El problema de conjugación para grupos libres por cíclicos está resuelto (Bogopolski, Martino, Maslakova y Ventura, 2006). ^{[ 6 ]} (Bridson y Groves 2010) ^{[ 7 ]}

• Los grupos libres por cíclicos son separables por conjugación (Dahmani, Hughes, Kudlinska y Touikan 2026) ^{[ 8 ]}

• Cabe destacar que existen grupos libres por cíclicos que no son CAT(0) (Gersten, 1994). ^{[ 9 ]}

• Sin embargo, todos los grupos libres por cíclicos satisfacen una desigualdad isoperimétrica cuadrática (Bridson y Groves, 2010) ^{[ 7 ]} .

• Todos los grupos libres por cíclicos donde el grupo libre subyacente tiene rango${\displaystyle 2}$son CAT(0) (Brady, 1995). ^{[ 10 ]}

• Se sabe que muchos ejemplos de grupos libres por cíclicos con mapas de adjunción de crecimiento polinomial son CAT(0). ^{[ 11 ] [ 12 ]}

• Los grupos libres por cíclicos son ecuacionalmente noetherianos y tienen tasas de crecimiento bien ordenadas (Kudlinska y Valiunas, 2025). ^{[ 13 ]}