Grupo CAT(0)

La noción adecuada de propiedad para acciones mediante isometrías en espacios métricos difiere ligeramente de la de una acción propiamente discontinua en topología. ^{[ 1 ]} Una acción isométrica de un grupo${\displaystyle G}$en un espacio métrico${\displaystyle X}$Se dice que es geométricamente propia si, para cada${\displaystyle {\ce {x\en X}}}$, existe${\displaystyle r>0}$de tal manera que ${\displaystyle \{g\in G|B(x,r)\cap g\cdot B(x,r)\neq \emptyset \}}$es finito.

Dado que un subconjunto compacto${\displaystyle K}$de${\displaystyle X}$puede ser cubierto por una cantidad finita de bolas${\displaystyle B(x_{i},r_{i})}$de tal manera que${\displaystyle B(x_{i},2r_{i})}$Si posee la propiedad anterior, la propiedad métrica implica una discontinuidad propia. Sin embargo, la propiedad métrica es una condición más fuerte en general. Ambas nociones coinciden para espacios métricos propios .

Si un grupo${\displaystyle G}$actúa (geométricamente) de forma propia y cocompacta mediante isometrías en un espacio de longitud${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle X}$es en realidad un espacio geodésico propio (véase el teorema métrico de Hopf-Rinow ), y${\displaystyle G}$es finitamente generado (véase el lema de Švarc-Milnor ). En particular, los grupos CAT(0) son finitamente generados y el espacio${\displaystyle X}$La implicación en la definición es realmente apropiada.

• Los grupos finitos son trivialmente CAT(0), y los grupos abelianos finitamente generados son CAT(0) al actuar sobre espacios euclidianos.
• Grupos cristalográficos
• Los grupos fundamentales de variedades riemannianas compactas que tienen curvatura seccional no positiva son CAT(0) gracias a su acción sobre el recubrimiento universal , que es una variedad de Cartan-Hadamard .
• En términos más generales, los grupos fundamentales de espacios métricos compactos y localmente CAT(0) son grupos CAT(0), como consecuencia del teorema métrico de Cartan-Hadamard . Esto incluye grupos cuyo complejo de Dehn puede tener una métrica euclidiana por partes de curvatura no positiva. Ejemplos de estos se proporcionan mediante presentaciones que satisfacen pequeñas condiciones de cancelación. ^{[ 2 ]}
• Cualquier grupo finitamente presentado es un cociente de un grupo CAT(0) (de hecho, de un grupo fundamental de un complejo CAT(-1) bidimensional) con núcleo finitamente generado. ^{[ 2 ]}
• Los productos libres de grupos CAT(0) y los productos amalgamados libres de grupos CAT(0) sobre subgrupos cíclicos finitos o infinitos son CAT(0). ^{[ 3 ]}
• Los grupos de Coxeter son CAT(0) y actúan de forma propiamente cocompacta sobre complejos cúbicos CAT(0) . ^{[ 4 ]}
• Grupos fundamentales de complementos de nudos hiperbólicos . ^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_ {2})}$, el grupo de automorfismos del grupo libre de rango 2, es CAT(0). ^{[ 5 ]}
• Los grupos de trenzas${\displaystyle B_{n}}$, para${\displaystyle n\leq 6}$, se sabe que son CAT(0). Se conjetura que todos los grupos de trenzas son CAT(0). ^{[ 6 ]}
• Los grupos límite sobre grupos libres son CAT(0) con planos aislados. ^{[ 7 ]}

• Mapeo de grupos de clases de superficies cerradas con género${\displaystyle \geq 3}$, o superficies con género${\displaystyle \geq 2}$y un límite no vacío o al menos dos perforaciones, no son CAT(0). ^{[ 8 ]}
• Algunos grupos libres por cíclicos no pueden actuar correctamente mediante isometrías en un espacio CAT(0), ^{[ 9 ]} aunque tengan una desigualdad isoperimétrica cuadrática. ^{[ 10 ]}
• Grupos de automorfismo de grupos libres de rango${\displaystyle \geq 3}$tienen función exponencial de Dehn y, por lo tanto (véase más abajo), no son CAT(0). ^{[ 11 ]}

Dejar${\displaystyle G}$Sea un grupo CAT(0). Entonces:

• Hay un número finito de clases de conjugación de subgrupos finitos en${\displaystyle G}$. ^{[ 12 ]} En particular, existe una cota para los cardinales de subgrupos finitos de${\displaystyle G}$.
• El teorema del subgrupo resoluble: cualquier subgrupo resoluble de${\displaystyle G}$es finitamente generado y virtualmente libre abeliano . Además, existe una cota finita en el rango de los subgrupos abelianos libres de${\displaystyle G}$. ^{[ 8 ]}
• Si${\displaystyle G}$es infinito, entonces${\displaystyle G}$contiene un elemento de orden infinito. ^{[ 13 ]}
• Si${\displaystyle A}$es un subgrupo abeliano libre de${\displaystyle G}$y${\displaystyle C}$es un subgrupo finitamente generado de${\displaystyle G}$que contiene${\displaystyle A}$en su centro , entonces un subgrupo de índice finito${\displaystyle D}$de${\displaystyle C}$se divide como producto directo${\displaystyle D\cong A\times B}$. ^{[ 14 ]}
• La función Dehn de${\displaystyle G}$es como máximo cuadrática. ^{[ 15 ]}
• ${\displaystyle G}$tiene una presentación finita con problema de palabras resoluble y problema de conjugación . ^{[ 15 ]}

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo que actúa de forma propiamente cocompacta mediante isometrías en un espacio CAT(0)${\displaystyle X}$.

• Cualquier subgrupo finito de${\displaystyle G}$corrige un conjunto convexo cerrado no vacío.
• Para cualquier elemento de orden infinito${\displaystyle g\in G}$, el conjunto${\displaystyle \min(g)}$de elementos${\displaystyle x\in X}$de tal manera que${\displaystyle d(g\cdot x,x)>0}$es mínimo es un no vacío, cerrado, convexo,${\displaystyle g}$-subconjunto invariante de${\displaystyle X}$, llamado el conjunto mínimo de${\displaystyle g}$Además, se divide isométricamente como un producto directo (l²).${\displaystyle \min(g)=A\times \mathbb {R} }$de un conjunto convexo cerrado${\displaystyle A\subset X}$y una línea geodésica, de tal manera que${\displaystyle g}$actúa trivialmente sobre el${\displaystyle A}$factor y por traducción en el${\displaystyle \mathbb {R} }$factor. Una línea geodésica en la que${\displaystyle g}$Los actos por traducción siempre son de la forma${\displaystyle \{a\}\times \mathbb {R} }$,${\displaystyle a\in A}$y se llama eje de${\displaystyle g}$Dicho elemento se denomina hiperbólico .
• El teorema del toro plano: cualquier subgrupo abeliano libre${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\cong A\subset G}$deja invariante un subespacio${\displaystyle F\subset X}$isométrico a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, y${\displaystyle A}$actúa de forma compacta en${\displaystyle F}$(de ahí el cociente)${\displaystyle F/A}$es un toro plano ). ^{[ 8 ]}
• En ciertas situaciones, una división de${\displaystyle G\cong G_{1}\times G_{2}}$como un producto cartesiano induce una división del espacio${\displaystyle X\cong X_{1}\times X_{2}}$y de la acción. ^{[ 14 ]}