ecuaciones de Fresnel

Existen dos conjuntos de coeficientes de Fresnel para dos componentes de polarización lineal diferentes de la onda incidente. Dado que cualquier estado de polarización puede descomponerse en una combinación de dos polarizaciones lineales ortogonales, esto es suficiente para cualquier problema. Del mismo modo, la luz no polarizada (o polarizada aleatoriamente) tiene la misma potencia en cada una de las dos polarizaciones lineales.

La polarización s se refiere a la polarización del campo eléctrico de una onda perpendicular al plano de incidencia (la dirección z en la derivación que se muestra a continuación); en este caso, el campo magnético se encuentra en el plano de incidencia. La polarización p se refiere a la polarización del campo eléctrico en el plano de incidencia (el plano xy en la derivación que se muestra a continuación); en este caso, el campo magnético es perpendicular al plano de incidencia. Los nombres "s" y "p" para las componentes de polarización hacen referencia a los términos alemanes "senkrecht" (perpendicular o normal) y "paralelo" (paralelo al plano de incidencia).

Aunque la reflexión y la transmisión dependen de la polarización, en incidencia normal ( θ = 0 ) no hay distinción entre ellas, por lo que todos los estados de polarización están regidos por un único conjunto de coeficientes de Fresnel (y más adelante se menciona otro caso especial en el que esto es cierto).

En la fórmula anterior para r _s , si ponemos${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$(Ley de Snell) y multiplicamos el numerador y el denominador por ⁠ 1 / n ₁ ⁠ sin θ _t , obtenemos ^{[ 10 ] [ 11 ]} $${\displaystyle r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

Si hacemos lo mismo con la fórmula para r _p , se demuestra fácilmente que el resultado es equivalente a ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

Estas fórmulas ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} se conocen respectivamente como la ley del seno de Fresnel y la ley de la tangente de Fresnel . ^{[ 17 ]} Aunque en incidencia normal estas expresiones se reducen a 0/0, se puede ver que dan los resultados correctos en el límite cuando θ _i → 0 .

Para calcular coeficientes de Fresnel significativos, debemos suponer que el medio es (aproximadamente) lineal y homogéneo . Si el medio también es isotrópico , los cuatro vectores de campo E , B , D , H están relacionados por $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\epsilon \mathbf {E} \\\mathbf {B} &=\mu \mathbf {H} \,,\end{aligned}}}$$ donde ϵ y μ son escalares, conocidos respectivamente como la permitividad (eléctrica) y la permeabilidad (magnética) del medio. Para el vacío, estos tienen los valores ϵ ₀ y μ ₀ , respectivamente. Por lo tanto, definimos la permitividad relativa (o constante dieléctrica ) ϵ _rel = ϵ / ϵ ₀ , y la permeabilidad relativa μ _rel = μ / μ ₀ .

En óptica, es común suponer que el medio es no magnético, de modo que μ _rel = 1. Para materiales ferromagnéticos en frecuencias de radio/microondas, deben tenerse en cuenta valores mayores de μ _rel . Pero, para medios ópticamente transparentes, y para todos los demás materiales en frecuencias ópticas (excepto posibles metamateriales ), μ _rel es de hecho muy cercano a 1; es decir, μ ≈ μ ₀ .

En óptica, se suele conocer el índice de refracción n del medio, que es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío ( c ) y la velocidad de la luz en el medio. En el análisis de la reflexión y transmisión parciales, también interesa la impedancia de onda electromagnética Z , que es la relación entre la amplitud de E y la amplitud de H. Por lo tanto, es conveniente expresar n y Z en términos de ε y μ , y a partir de ahí relacionar Z con n . Esta última relación, sin embargo, facilitará la derivación de los coeficientes de reflexión en términos de la admitancia de onda Y , que es la recíproca de la impedancia de onda Z.

En el caso de ondas sinusoidales planas uniformes , la impedancia o admitancia de onda se conoce como impedancia o admitancia intrínseca del medio. Este es el caso para el cual se derivan los coeficientes de Fresnel.

En una onda electromagnética sinusoidal plana uniforme , el campo eléctrico E tiene la forma

donde E _k es el vector de amplitud compleja (constante), i es la unidad imaginaria , k es el vector de onda (cuya magnitud k es el número de onda angular ), r es el vector de posición , ω es la frecuencia angular , t es el tiempo, y se entiende que la parte real de la expresión es el campo físico. ^{[ Nota 1 ]}  El valor de la expresión no cambia si la posición r varía en una dirección normal a k ; por lo tanto, k es normal a los frentes de onda .

Para avanzar la fase en el ángulo ϕ , reemplazamos ωt por ωt + ϕ (es decir, reemplazamos − ωt por − ωt − ϕ ), con el resultado de que el campo (complejo) se multiplica por e ^−iϕ . Así, un avance de fase es equivalente a la multiplicación por una constante compleja con un argumento negativo . Esto se hace más evidente cuando el campo ( 1 ) se factoriza como E _k e ^{i k ⋅ r} e ^−iωt , donde el último factor contiene la dependencia temporal. Ese factor también implica que la diferenciación con respecto al tiempo corresponde a la multiplicación por −iω . ^{[ Nota 2 ]} 

Si ℓ es la componente de r en la dirección de k , el campo ( 1 ) se puede escribir como E _k e ^{i ( kℓ − ωt )} . Si el argumento de e ^{i (⋯)} debe ser constante, ℓ  debe aumentar a la velocidad${\displaystyle \omega /k\,,\,}$conocida como velocidad de fase ( v _p ) . Esto a su vez es igual a${\displaystyle c/n}$Al despejar k se obtiene

Como es habitual, omitimos el factor dependiente del tiempo e ^{− iωt} , que se entiende que multiplica a toda magnitud de campo compleja. El campo eléctrico para una onda sinusoidal plana uniforme estará entonces representado por el fasor dependiente de la posición.

For fields of that form, Faraday's law and the Maxwell-Ampère law respectively reduce to^[33]$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$

Putting B = μH and D = ϵE, as above, we can eliminate B and D to obtain equations in only E and H: $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$ If the material parameters ϵ and μ are real (as in a lossless dielectric), these equations show that k, E, H form a right-handed orthogonal triad, so that the same equations apply to the magnitudes of the respective vectors. Taking the magnitude equations and substituting from (2), we obtain $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{aligned}}}$$ where H and E are the magnitudes of H and E. Multiplying the last two equations gives

Dividing (or cross-multiplying) the same two equations gives H = YE, where

This is the intrinsic admittance.

From (4) we obtain the phase velocity ${\displaystyle c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}}$. For vacuum this reduces to ${\displaystyle c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$. Dividing the second result by the first gives $${\displaystyle n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,.}$$ For a non-magnetic medium (the usual case), this becomes ⁠${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}}$⁠. (Taking the reciprocal of (5), we find that the intrinsic impedance is ${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$. In vacuum this takes the value ${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,}$ known as the impedance of free space. By division, ${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$. For a non-magnetic medium, this becomes ${\displaystyle Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.}$)

En coordenadas cartesianas ( x , y , z ) , sea la región y < 0 con índice de refracción n ₁ , admitancia intrínseca Y ₁ , etc., y sea la región y > 0 con índice de refracción n ₂ , admitancia intrínseca Y ₂ , etc. Entonces el plano xz es la interfaz, y el eje y es normal a la interfaz (ver diagrama). Sean i y j (en negrita ) los vectores unitarios en las direcciones x e y , respectivamente. Sea el plano de incidencia el plano xy (el plano de la página), con el ángulo de incidencia θ _i medido desde j hacia i . Sea el ángulo de refracción, medido en el mismo sentido, θ _t , donde el subíndice t significa transmitido (reservando r para reflejado ).

En ausencia de desplazamientos Doppler , ω no cambia en la reflexión o refracción. Por lo tanto, según ( 2 ), la magnitud del vector de onda es proporcional al índice de refracción.

Así pues, para un ω dado , si redefinimos k como la magnitud del vector de onda en el medio de referencia (para el cual n = 1 ), entonces el vector de onda tiene magnitud n ₁ k en el primer medio (región y < 0 en el diagrama) y magnitud n ₂ k en el segundo medio. A partir de las magnitudes y la geometría, encontramos que los vectores de onda son $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\end{aligned}}}$$ donde el último paso utiliza la ley de Snell. Los productos escalares correspondientes en forma fasorial ( 3 ) son

Por eso:

Para la polarización s , el campo E es paralelo al eje z y, por lo tanto, puede describirse mediante su componente en la dirección z . Sean r _s y t _{s los coeficientes de reflexión y transmisión, respectivamente. Entonces, si se considera que el campo} E incidente tiene amplitud unitaria, la forma fasorial ( 3 ) de su componente z es

y los campos reflejados y transmitidos, en la misma forma, son

Según la convención de signos utilizada en este artículo, un coeficiente de reflexión o transmisión positivo es aquel que conserva la dirección del campo transversal , es decir (en este contexto) el campo normal al plano de incidencia. Para la polarización s , eso significa el campo E. Si los campos E incidente, reflejado y transmitido (en las ecuaciones anteriores) están en la dirección z ("fuera de la página"), entonces los respectivos campos H están en las direcciones de las flechas rojas, ya que k , E , H forman una tríada ortogonal dextrógira. Por lo tanto, los campos H pueden describirse mediante sus componentes en las direcciones de esas flechas, denotadas por H _i , H _r , H _t . Entonces, dado que H = YE ,

En la interfaz, según las condiciones habituales de interfaz para campos electromagnéticos , las componentes tangenciales de los campos E y H deben ser continuas; es decir,

Cuando sustituimos de las ecuaciones ( 8 ) a ( 10 ) y luego de ( 7 ), los factores exponenciales se cancelan, de modo que las condiciones de interfaz se reducen a las ecuaciones simultáneas.

que se resuelven fácilmente para r _s y t _s , obteniendo

y

En incidencia normal ( θi = θt = 0) , indicada por un subíndice adicional 0, estos resultados se convierten _{en :}

y

En incidencia rasante ( θ _i → 90° ) , tenemos cos θ _i → 0 , por lo tanto r _s → −1 y t _s → 0 .

Para la polarización p , los campos E incidente, reflejado y transmitido son paralelos a las flechas rojas y, por lo tanto, pueden describirse mediante sus componentes en las direcciones de dichas flechas. Sean esas componentes E _i , E _r , E _t (redefiniendo los símbolos para el nuevo contexto). Sean los coeficientes de reflexión y transmisión r _p y t _{p . Entonces, si se considera que el campo} E incidente tiene amplitud unitaria, tenemos

Si los campos E están en las direcciones de las flechas rojas, entonces, para que k , E , H formen una tríada ortogonal dextrógira, los respectivos campos H deben estar en la dirección −z ("hacia adentro de la página") y , por lo tanto, pueden describirse mediante sus componentes en esa dirección. Esto es consistente con la convención de signos adoptada, a saber, que un coeficiente de reflexión o transmisión positivo es aquel que conserva la dirección del campo transversal ( el campo H en el caso de la polarización p ) . La concordancia del otro campo con las flechas rojas revela una definición alternativa de la convención de signos: que un coeficiente de reflexión o transmisión positivo es aquel para el cual el vector de campo en el plano de incidencia apunta hacia el mismo medio antes y después de la reflexión o transmisión. ^{[ 34 ]}

Entonces, para los campos H incidente, reflejado y transmitido , sean los componentes respectivos en la dirección − z H _i , H _r , H _t . Entonces, dado que H = YE ,

En la interfaz, las componentes tangenciales de los campos E y H deben ser continuas; es decir,

Cuando sustituimos a partir de las ecuaciones ( 17 ) y ( 18 ) y luego de ( 7 ), los factores exponenciales se cancelan nuevamente, de modo que las condiciones de interfaz se reducen a

Resolviendo para r _p y t _p , encontramos

y

En incidencia normal ( θ _i = θ _t = 0), indicada por un subíndice adicional 0, estos resultados se convierten en:

y

En incidencia rasante ( θ _i → 90° ) , nuevamente tenemos cos θ _i → 0 , por lo tanto r _p → −1 y t _p → 0 .

Al comparar ( 23 ) y ( 24 ) con ( 15 ) y ( 16 ), observamos que, en incidencia normal , según la convención de signos adoptada, los coeficientes de transmisión para ambas polarizaciones son iguales, mientras que los coeficientes de reflexión tienen magnitudes iguales pero signos opuestos. Si bien esta discrepancia de signos representa una desventaja de la convención, la ventaja es que los signos coinciden en incidencia rasante .

El vector de Poynting para una onda es un vector cuya componente en cualquier dirección es la irradiancia (potencia por unidad de área) de esa onda en una superficie perpendicular a esa dirección. Para una onda sinusoidal plana, el vector de Poynting es ⁠ 1 / 2 ⁠ ‍ Re { E × H ^∗ } , donde E y H se deben solo a la onda en cuestión, y el asterisco denota la conjugación compleja. Dentro de un dieléctrico sin pérdidas (el caso habitual), E y H están en fase y son perpendiculares entre sí y al vector de onda k ; por lo tanto, para la polarización s, usando las componentes z y xy de E y H respectivamente (o para la polarización p, usando las componentes xy y − z de E y H ), la irradiancia en la dirección de k viene dada simplemente por EH /2 , que es E ² /2 Z en un medio de impedancia intrínseca Z = 1/ Y . Para calcular la irradiancia en la dirección normal a la interfaz, como necesitaremos en la definición del coeficiente de transmisión de potencia, podríamos usar solo la componente x (en lugar de la componente xy completa) de H o E o, equivalentemente, simplemente multiplicar EH /2 por el factor geométrico apropiado, obteniendo ( E ² /2 Z ) cos θ .

A partir de las ecuaciones ( 13 ) y ( 21 ), tomando magnitudes al cuadrado, encontramos que la reflectividad (relación entre la potencia reflejada y la potencia incidente) es

para la polarización s, y

para la polarización p. Cabe destacar que, al comparar la potencia de dos ondas de este tipo en el mismo medio y con el mismo cos θ , los factores de impedancia y geométricos mencionados anteriormente son idénticos y se cancelan. Sin embargo, al calcular la transmisión de potencia (que se describe más adelante), estos factores deben tenerse en cuenta.

La forma más sencilla de obtener el coeficiente de transmisión de potencia ( transmisividad , la relación entre la potencia transmitida y la potencia incidente en la dirección normal a la interfaz , es decir, la dirección y ) es usar R + T = 1 (conservación de la energía). De esta manera encontramos

para la polarización s, y

para la polarización p.

En el caso de una interfaz entre dos medios sin pérdidas (para los cuales ϵ y μ son reales y positivos), se pueden obtener estos resultados directamente utilizando las magnitudes al cuadrado de los coeficientes de transmisión de amplitud que encontramos anteriormente en las ecuaciones ( 14 ) y ( 22 ). Pero, para una amplitud dada (como se indicó anteriormente), la componente del vector de Poynting en la dirección y es proporcional al factor geométrico cos θ e inversamente proporcional a la impedancia de onda Z. Aplicando estas correcciones a cada onda, obtenemos dos razones que multiplican el cuadrado del coeficiente de transmisión de amplitud:

para la polarización s, y

para la polarización p. Las dos últimas ecuaciones se aplican solo a dieléctricos sin pérdidas y solo en ángulos de incidencia menores que el ángulo crítico (más allá del cual, por supuesto, T = 0 ).

Para luz no polarizada: $${\displaystyle T={1 \over 2}(T_{s}+T_{p})}$$$${\displaystyle R={1 \over 2}(R_{s}+R_{p})}$$ dónde${\displaystyle R+T=1}$.

De las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ), vemos que dos medios disímiles tendrán el mismo índice de refracción, pero diferentes admitancias, si la relación de sus permeabilidades es la inversa de la relación de sus permitividades. En esa situación inusual tenemos θ _t = θ _i (es decir, el rayo transmitido no se desvía), de modo que los cosenos en las ecuaciones ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) y ( 25 ) a ( 28 ) se cancelan, y todas las relaciones de reflexión y transmisión se vuelven independientes del ángulo de incidencia; en otras palabras, las relaciones para incidencia normal se vuelven aplicables a todos los ángulos de incidencia. ^{[ 35 ]} Cuando se extiende a la reflexión o dispersión esférica, esto resulta en el efecto Kerker para la dispersión de Mie .

Dado que las ecuaciones de Fresnel se desarrollaron para la óptica, generalmente se dan para materiales no magnéticos. Dividiendo ( 4 ) entre ( 5 ) se obtiene $${\displaystyle Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}\,.}$$ Para medios no magnéticos podemos sustituir la permeabilidad del vacío μ ₀ por μ , de modo que $${\displaystyle Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{\,c\mu _{0}}}\,;}$$ Es decir, las admitancias son simplemente proporcionales a los índices de refracción correspondientes. Cuando hacemos estas sustituciones en las ecuaciones ( 13 ) a ( 16 ) y en las ecuaciones ( 21 ) a ( 26 ), el factor cμ ₀ se cancela. Para los coeficientes de amplitud obtenemos: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

En el caso de incidencia normal, estos se reducen a:

Los coeficientes de reflexión de potencia se convierten en:

Las transmisiones de potencia se pueden encontrar entonces a partir de T = 1 − R .

Para permeabilidades iguales (por ejemplo, medios no magnéticos), si θ _i y θ _t son complementarios , podemos sustituir sin θ _t por cos θ _i y sin θ _i por cos θ _t , de modo que el numerador de la ecuación ( 31 ) se convierte en n ₂ sin θ _t − n ₁ sin θ _i , que es cero (por la ley de Snell). Por lo tanto, r _p = 0 y solo se refleja el componente polarizado en s. Esto es lo que sucede en el ángulo de Brewster . Sustituyendo cos θ _i por sin θ _t en la ley de Snell, obtenemos fácilmente

desde el punto de vista de Brewster.

Aunque no se encuentra en la práctica, las ecuaciones también pueden aplicarse al caso de dos medios con una permitividad común pero diferentes índices de refracción debido a diferentes permeabilidades. De las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ), si ϵ es fijo en lugar de μ , entonces Y se vuelve inversamente proporcional a n , con el resultado de que los subíndices 1 y 2 en las ecuaciones ( 29 ) a ( 38 ) se intercambian (debido al paso adicional de multiplicar el numerador y el denominador por n ₁ n ₂ ). Por lo tanto, en ( 29 ) y ( 31 ), las expresiones para r _s y r _p en términos de índices de refracción se intercambiarán, de modo que el ángulo de Brewster ( 39 ) dará r _s = 0 en lugar de r _p = 0 , y cualquier haz reflejado en ese ángulo estará polarizado en p en lugar de polarizado en s. ^{[ 36 ]} De manera similar, la ley del seno de Fresnel se aplicará a la polarización p en lugar de a la polarización s, y su ley de la tangente a la polarización s en lugar de a la polarización p.

Este cambio de polarizaciones tiene un análogo en la antigua teoría mecánica de las ondas de luz (véase § Historia , arriba). Se podían predecir coeficientes de reflexión que coincidieran con la observación suponiendo (como Fresnel) que los diferentes índices de refracción se debían a diferentes densidades y que las vibraciones eran normales a lo que entonces se denominaba el plano de polarización , o suponiendo (como MacCullagh y Neumann ) que los diferentes índices de refracción se debían a diferentes elasticidades y que las vibraciones eran paralelas a ese plano. ^{[ 37 ]} Así pues, la condición de permitividades iguales y permeabilidades desiguales, aunque no realista, tiene cierto interés histórico.