Integral de Fresnel

Las integrales de Fresnel S ( x ) y C ( x ) , y sus funciones auxiliares F ( x ) y G ( x ) son funciones trascendentales que reciben su nombre de Augustin-Jean Fresnel y que se utilizan en óptica . Están estrechamente relacionadas con la función de error ( erf ). Surgen en la descripción de los fenómenos de difracción de Fresnel de campo cercano y se definen mediante las siguientes representaciones integrales :

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\F(x)&=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-S\left(x\right)\right)\cos \left(x^{2}\right)-\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-C\left(x\right)\right)\sin \left(x^{2}\right),\\G(x)&=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-S\left(x\right)\right)\sin \left(x^{2}\right)+\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-C\left(x\right)\right)\cos \left(x^{2}\right).\end{aligned}}}$$

La curva paramétrica${\displaystyle {\bigl (}S(t),C(t){\bigr )}}$⁠ es la espiral de Euler o clotoide, una curva cuya curvatura varía linealmente con la longitud del arco.

El término integral de Fresnel también puede referirse a la integral definida compleja.

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{\pm iax^{2}}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\pm i\pi /4}}$$

donde a es real y positivo; esto se puede evaluar cerrando un contorno en el plano complejo y aplicando el teorema integral de Cauchy .

Las integrales de Fresnel admiten las siguientes series de Maclaurin que convergen para todo x : $${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}}$$

Algunas tablas de uso común ^{[ 1 ] [ 2 ]} usan ⁠ π / 2 ⁠ t ² en lugar de t ² para el argumento de las integrales que definen S ( x ) y C ( x ) . Esto cambia sus límites en el infinito de ⁠ 1 / 2 ⁠ · √ ⁠ π / 2 ⁠ a ⁠ 1 / 2 ⁠ ^{[ 3 ]} y la longitud de arco para la primera vuelta de la espiral de √ 2 π a 2 (en t = 2 ). Estas funciones alternativas se conocen generalmente como integrales de Fresnel normalizadas .

Las funciones auxiliares F ( x ) y G ( x ) proporcionan cotas monótonas para las integrales de Fresnel: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-F(x)-G(x)\leq C(x)\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}+F(x)+G(x),\\{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}-F(x)-G(x)\leq S(x)\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}+F(x)+G(x).\end{aligned}}}$$

La espiral de Euler, también conocida como espiral de Cornu o clotoide, es la curva generada por una gráfica paramétrica de S ( t ) frente a C ( t ) . La espiral de Euler fue estudiada por primera vez a mediados del siglo XVIII por Leonhard Euler en el contexto de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli . Un siglo después, Marie Alfred Cornu construyó la misma espiral como nomograma para cálculos de difracción.

A partir de las definiciones de las integrales de Fresnel, los infinitesimales dx y dy son, por lo tanto: $${\displaystyle {\begin{aligned}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la longitud de la espiral medida desde el origen se puede expresar como $${\displaystyle L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.}$$

Es decir, el parámetro t es la longitud de la curva medida desde el origen (0, 0) , y la espiral de Euler tiene longitud infinita . El vector (cos( ​​t ² ), sin( t ² )) , donde θ = t ² , también expresa el vector tangente unitario a lo largo de la espiral. Dado que t es la longitud de la curva, la curvatura κ se puede expresar como $${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.}$$

Por lo tanto, la tasa de cambio de la curvatura con respecto a la longitud de la curva es $${\displaystyle {\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.}$$

Una espiral de Euler tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la espiral, medida desde el origen. Esta propiedad la hace útil como curva de transición en ingeniería de carreteras y ferrocarriles: si un vehículo sigue la espiral a velocidad unitaria, el parámetro t en las derivadas anteriores también representa el tiempo. En consecuencia, un vehículo que sigue la espiral a velocidad constante tendrá una tasa constante de aceleración angular .

Es común incorporar secciones de espirales de Euler en la forma de los bucles de las montañas rusas para crear lo que se conoce como bucles clotoides .

C ( x ) y S ( x ) son funciones impares de x ,

$${\displaystyle C(-x)=-C(x),\quad S(-x)=-S(x).}$$

lo cual se puede apreciar fácilmente por el hecho de que sus expansiones en series de potencias solo tienen términos de grado impar, o bien porque son antiderivadas de funciones pares que también son cero en el origen.

Las asintóticas de las integrales de Fresnel cuando x → ∞ vienen dadas por las fórmulas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{2x}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{2x}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right).\end{aligned}}}$$

Utilizando las expansiones en series de potencias anteriores, las integrales de Fresnel se pueden extender al dominio de los números complejos , donde se convierten en funciones enteras de la variable compleja z .

Las integrales de Fresnel se pueden expresar utilizando la función de error de la siguiente manera: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}}$$

o

$${\displaystyle {\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}}$$

El integral $${\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=\int \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}x^{m+nk}}{k!}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}}{(m+nk+1)}}{\frac {x^{m+nk+1}}{k!}}}$$ is a confluent hypergeometric function and also an incomplete gamma function^[7]$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}}$$ which reduces to Fresnel integrals if real or imaginary parts are taken: $${\displaystyle \int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right).}$$ The leading term in the asymptotic expansion is $${\displaystyle _{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},}$$ and therefore $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{m}e^{ix^{n}}\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.}$$

For m = 0, the imaginary part of this equation in particular is $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin \left(x^{a}\right)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),}$$ with the left-hand side converging for |a| > 1 and the right-hand side being its analytical extension to the whole plane less where lie the poles of Γ(a⁻¹).

The Kummer transformation of the confluent hypergeometric function is $${\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},}$$ with $${\displaystyle V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).}$$

For computation to arbitrary precision, the power series is suitable for small argument. For large argument, asymptotic expansions converge faster.^[8] Continued fraction methods may also be used.^[9]

For computation to particular target precision, other approximations have been developed. Cody^[10] developed a set of efficient approximations based on rational functions that give relative errors down to 2×10⁻¹⁹. A FORTRAN implementation of the Cody approximation that includes the values of the coefficients needed for implementation in other languages was published by van Snyder.^[11] Boersma developed an approximation with error less than 1.6×10⁻⁹.^[12]

The Fresnel integrals were originally used in the calculation of the electromagnetic field intensity in an environment where light bends around opaque objects.^[13] More recently, they have been used in the design of highways and railways, specifically their curvature transition zones, see track transition curve.^[14] Other applications are rollercoasters^[13] or calculating the transitions on a velodrome track to allow rapid entry to the bends and gradual exit.

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  Plot of the Fresnel integral function S(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
• 
  Plot of the Fresnel integral function C(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
• 
  Plot of the Fresnel auxiliary function G(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
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  Representación gráfica de la función auxiliar de Fresnel F(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores, creada con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1.

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